《微分方程稳定性理论简介.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程稳定性理论简介.docx（4页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、微分方程稳定性理论简介微分方程稳定性理论简介 1、一阶自治方程 &(t)=f(x) x使代数方程f(x)=0的实根x=x0称为的平衡点或奇点。x=x0也是方程的解。 设x(t)是方程的解，若从x0的 某邻域的任一初值出发都有limx(t)=x0，则称x0t+是方程(1)的稳定平衡点；否则，称x0是方程(1) 的不稳定平衡点。 例 dx=-x dt判断平衡点稳定性的方法 间接法：利用定义，需要求出方程的解 直接法：不求方程的解 方程的近似方程为： &(t)=f(x0)(x-x0) x对于一阶方程与的平衡点x0的稳定性有如下结论： 若f(x0)0，则x0是与的不稳定平衡点 2、二阶方程 可用两个一
2、阶方程表示为 &(t)=f(x,y)x 二维自治系统 &y(t)=g(x,y)=0f(x,y)使 的实根P的平衡点。同样，若存在P0(x0,y0)称为0(x0,y0)=0g(x,y)的某个邻域的任一初值(x(0),y(0)出发，当t+时 (x(t),y(t)(x0,y0)，则称P0(x0,y0)是稳定的平衡点。 应用直接法讨论的稳定性，先看线性常系数方程 &(t)=ax+byx 二维线性自治系统 &y(t)=cx+dyab系数矩阵记做 A= ，设detA0，此时有唯一平衡点P0(0,0)。cd它的稳定性由的特征方程 det(A-lI)=0 的根所决定。 a-lbdet(A-lI)=l2-(a+
3、d)l+ad-bc=0 cd-l- 同号结点相异+ 异号鞍点 (U)实根- (S)临界结点+ (U)重根结论： - (S)退化结点+ (U)- (S)实部不为0焦点复根+ (U)实部为0中心进一步，令p=-(a+d),q=ad-bc=detA，则特征方程为l2+pl+q=0，特征根为 12l1,2=(-pp2-4q) 1)p2-4q0 i) q0 p0结点 p0结点 ii) q0临界结点p0临界结点 3) p2-4q0焦点p0焦点 p=0中心根据特征方程的系数p,q判断平衡点的稳定性准则： 若p0,q0则平衡点稳定；若p0或q0则平衡点不稳定。 对于一般的非线性方程，可以用线性近似方法判断平衡
4、点P0(x0,y0)的稳定性。在P0点将f(x,y)和g(x,y)做Taylor展开，只取一次项，得的近似线性方程 &x(t)=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)&y(t)=gx(x0,y0)(x-x0)+gy(x0,y0)(y-y0)令X=x-x0，Y=y-y0则上式可化为 &X(t)=fx(x0,y0)X+fy(x0,y0)YY&(t)=gx(x0,y0)X+gy(x0,y0)Y系数矩阵记作 fx A=gx特征方程的系数为 fygyP0(x0y,0) p=-(fx+gy)P0，q=detA P0点对于方程的稳定性可由上面的准则决定。 若方程的特征根不为零或实部部不为零，则P0点对于方程的稳定性与对于近似方程的稳定性相同。
