《微分算子法实用整理总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分算子法实用整理总结.docx（14页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、微分算子法实用整理总结微分算子法 微分算子法分类小结 一、n阶微分方程 d2ydy 1、二阶微分方程： +p(x)+q(x)y=f(x) dx2 dx 2、n阶微分方程： y+a1y二、微分算子法 1、定义符号：(n)(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ . +any=f(x) d=D，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x dx111 求导n次；表示积分，如x=2DD 对x 积分n次，不要常数。 2、计算 将n阶微分方程改写成下式： x2 , 1nx表示 D Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ . +an-1Dy+any=f(x) 即 y=f(x)
2、记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an 规定特解：y*1=F(D)f(x) 1 3、的性质 F(D)1 (1)性质一：F(D)ekx 1kx=F(k)e (F(k) 不等于0） 注：若k为特征方程的m重根时，有 1 11kx kx kx 1mm e= xF(m)(D)e= xF(m)(k)eF(D)1(2)性质二：F(D)ev(x)= ekx kx1v(x) F(D+k)11 (3)性质三：特解形如F(D)sin(ax)和 F(D)cos(ax) 1 i.考察该式：F(D)eiax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注
3、：欧拉公式 e2 iax= cos(ax)+isin(ax) 虚数 i= -1 11 ii.若特解形如F(D 2)sin(ax)和F(D 2)cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若F(-a2) 0，则 11 sin(ax) 2sin(ax)=F(-a2)F(D)11 F(D2)cos(ax)=F(-a2)cos(ax) 若F(-a2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2) 的m重根，则 11m sin(ax)=xF(m)(D2)sin(ax) F(D2) 2 11m F(D2)cos(ax)=xF(m)(D 2)cos(ax) (4)性质四： 1pp-1p-2 F(D) =
4、 Q(D) p-1p-2 注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。 (5)性质五: 111f(x)f(x) f(x)= =F(D)F2(D)F1(D)F1(D)F2(D)(6)性质六: 111f1(x)+f2(x) (f1(x)+f2(x)= F(D)F(D)F(D) 三、例题练习 xd2y例1. 2+4y= dxe 则(D2+4)y=e,特解yx *=21D+4ex1=21+4ex1=5e(性质一)x 例2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x） 3 特解y*=112cos(3x）= 2cos(3x） 44D+1D+111cos(3x）=co
5、s(3x）(性质三) (-32)2+141 = 22x 2x d2ydy222例3、24+4y= x,则(D4D+4)y= xdx dx-e-e特解y*2x 2x112=2x= x2 2D-4D+4ee = e2x142x12x = x 212Ded3ydyd2y例4、332+3dx dx dx- y=e ,则(D-3D+3D-1)y=ex32x 11x x1 特解y=e=e33*x =e113x1=xe (性质二） 3D6d3y*1例5、3y=sinx ,则(D31)y=sinx ,特解y=3sinx dxD-1- 考察1D3e-1ix 1D3e=-1ix 11ixi-1ix ix-e=e=
6、e32i-1i+1i-1=2(cosx+isinx) 11 =(cosx+sinx)+i(cosxsinx) 221* 取虚部为特解y=(cosxsinx) (性质一、三) 2-4 1d2y*2例6、2+y=cosx ，则(D+1)y=cosx ，特解y=2cosx dxD+1ix 1 考察2eD+1111ix ixix e=(D-i)(D +i)e=(D-i)(D+i)eD2+111 ixix2i(D+i-i)=(D-i)2ie=e1 i1ix1 =-xe=xsinx-ixcosx 2221 取实部为特解y=xsinx (性质一、二、三） 2*xxd4y4 例7、4y= ，则(D1)y= d
7、x-e*-e 特解y=1D4-1e=x1(D-1)(D+1)(D2+1)ex =1(D-1)(1+1)(12+1)ex 111x 11x =D-122e=D-14e1x 11x =4eD+1-11=4xe d2y222例8、+y=x-x+2 , 则(D+1)y= x-x+2 dx2 5 特解y*=12(x-x+2) 2D+122 =(1-D2)(x-x+2)=x-x (性质四) d2ydy2-x例9、2+2+2y=xdx dxe ,则(D+2D+2)y=xe22-x 特解y*11-x2-x=(D+1)2+1xe=e(D-1+1)2+1x2 -x =e1-x-x2222x=e(1-D)x=e(x-2) D2+1d2y例10、2+y=xcosx ，则(D2+1)y=xcosx ， dx 特解y*ix 11=2xcosx ，考察2xD+1D+1e ix1xD2+1e11ixix=(D-i)(D+i)xe=e(D+i-i)(D+i+i)x ix =e1ix11D(+)x x=eD(D+2i)D2i4211x1ixx(+)x =e(+x)x 4i4D2i4 =eixx21 =(cosx+isinx)(4i+4x)x =1122(xcosx+xsinx)+i(xsinx-xcosx) 44*1 取实部为特解y=4(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四） 6 7
