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1、微分方程数值解法第四章 抛物型方程的有限差分法 l 模型问题 常系数线性抛物型方程初边值问题 2uu=a+f(x,t),0tT, (1.1)2xtu(x,0)=f(x),0xl, (1.3)u(0,t)=u(l,t)=0,0tT, (1.3)12书中，f(x,t):=f(x)即与t无关。 作业讲解： P130： 将向前差分格式和向后差分格式作加权平均，得到下列格式： ujk+1-ujkt=ah2q(uj+1-2ujkk+1k+1+uj-1)+kkk+1(1-q)(uj+1-2uj+uj-1) 其中0q1，试计算其截断误差，并证明当q=24截断误差的阶最高。 12-112r时，解法： 本题的计算
2、格式对应的微分方程是： ut=aux22,f=0 u(xj+1,tk)=u(xj,tk)+h+16h11203xu(xj,tk)+124h124h222x44u(xj,tk)33xh5u(xj,tk)+55x6u(xj,tk)xu(xj,tk)+O(h)(1) u(xj-1,tk)=u(xj,tk)-h-16h11203xu(xj,tk)+124h124h222x44u(xj,tk)33xh5u(xj,tk)+55x6u(xj,tk)xu(xj,tk)+O(h)(2) (1)+(2)得到： u(xj+1,tk)+u(xj-1,tk)=2u(xj,tk)+h+112h4222x6u(xj,tk)
3、44xu(xj,tk)+O(h)即 1h2u(xj+1,tk)-2u(xj,tk)+u(xj-1,tk)=+112h222xu(xj,tk)44xu(xj,tk)+O(h)4 (3) 同理： 1h2u(xj+1,tk+1)-2u(xj,tk+1)+u(xj-1,tk+1)=+112h222xu(xj,tk+1)44xu(xj,tk+1)+O(h)4(4) u(xj,tk+1)=u(xj,tk)+t+12tu(xj,tk)3t222tu(xj,tk)+O(t)22xu(xj,tk+1)=22xu(xj,tk)+t23xtu(xj,tk)+O(t) 244xu(xj,tk+1)=44xu(xj,t
4、k)+t45xtu(xj,tk)+O(t) 2由，得到： u(xj,tj+1)-u(xj,tj)t+12=tu(xj,tj)2t22tu(xj,tj)+O(t)将和代入，又得到： 1h2u(xj+1,tk+1)-2u(xj,tk+1)+u(xj-1,tk+1)=+11222xu(xj,tk)+t23xt1122u(xj,tk)+ht2h444x2u(xj,tk)+45xtu(xj,tk)+O(t+h) 由于 u(x,t)=u(x,t)jkjk22xtxt4 2a=u(xj,tk)=au(xj,tk)224xxx322u(xj,tk)=u(xj,tk)2ttt23a=u(xj,tk)=au(xj
5、,tk)22txxt 2=a244xu(xj,tk)又由于要求网比r是常数，所以t=O(h)2，则有 1h2u(xj+1,tk+1)-2u(xj,tk+1)+u(xj-1,tk+1)=22xu(xj,tk)+(ta+24112h)244xu(xj,tk)+O(t+h)u(xj,tk+1)-u(xj,tk)t+12=44tu(xj,tk)2ta2xu(xj,tk)+O(t)重写 1h2u(xj+1,tk)-2u(xj,tk)+u(xj-1,tk)=+112h422xu(xj,tk)44xu(xj,tk)+O(h)4故我们最后求截断误差： R(xj,tj)=-aqu(xj,tk+1)-u(xj,t
6、k)tu(xj+1,tk+1)-2u(xj,tk+1)+u(xj-1,tk+1)h+(1-q)2u(xj+1,tk)-2u(xj,tk)+u(xj-1,tk)h442=tu(xj,tj)+12ta2xu(xj,tj) -aq22xu(xj,tk)-aq(ta+22112h)112244xhu(xj,tk) 44-a(1-q)2xu(xj,tk)-a(1-q)2xu(xj,tk) +O(t+h)=12at-qat-24224112qah-2112ah+2112qah244xu(xj,tk)+O(t+h)=at=at221212-q-q-1h1212atx12rx4444u(xj,tk)+O(t+
7、h)2424u(xj,tk)+O(t+h)所以当 at212-q-12-1112rx44u(xj,tk)=0 也即当q=12r时，截断误差阶可以达到最高阶O(t+h) 24 证明完毕 P136 1 1. 求证差分格式(4.1.17)当当0q1212q1时恒稳定 时稳定的充要条件是 12(1-2q)。 r证明 首先将(4.1.17)写成如下形式： ujk+1-ujkt=ah2q(uj+1-2ujk+1k+1+uj-1)+k+1(1-q)(uj+1-2uj+uj-1)kkk-qruk+1j+1+(1+2qr)ujkj+1k+1-qruk+1j-1kjkj-1=(1-q)ru+(1-2(1-q)r)
8、u+(1-q)ru这里网格比是：r=令 ath201S=0KUk10O0k10OO1k2L010uTkN-1=u(uL)则可以写成矩阵形式： (1+2qr)I-qrSUk+1=(1-2(1-q)r)I+(1-q)SUk从而 Uk+1=(1+2qr)I-qrS(1-2(1-q)r)I+(1-q)SU -1k其递增矩阵为 C=(1+2qr)I-qrS(1-2(1-q)r)I+(1-q)rS -1由于S的特征值为： S lj=2cosjph,j=1,2,.,N-1,h=1/N, 所以C的特征值为： l=Cj1-2(1-q)r+2(1-q)rcosjph1+2qr-2qrcosjph1-2(1-q)r
9、(1-cosjph)1+2qr(1-cosjph)1-4(1-q)rsin2jph2=1+4qrsin1-cosA=2sin22jph2A2为使lj1+Mt,就有 1-4(1-q)rsin-11+4qrsin22Cjph21jph2(&) 1)当 12q1时: 01-q1/2 4qrsin|1-4(1-q)rsin22jph24(1-q)rsin2jph20jph2|1+4qrsin2jph2即恒成立,也就是当 定 12q1时，所讨论的格式恒稳2) 当 0q1/2时: 1/21-q1,1-2q0 由于 -1-4qrsin2jph21-4(1-q)rsin2jph21+4qrsin2jph2显然后一不等式恒成立 -24(2q-1)rsin4(1-2q)rsin(1-2q)r1/2r1/2(1-2q)22jph2jph22
