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1、微积分 第一章习题解答习题11解答 1 设f(x,y)=xy+x11x1，求f(-x,-y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)解f(-x,-y)=xy+111yx1yx+;f(xy,)=x2+y2;=2；f(,)= xyxyxyf(x,y)xy+xy2 设f(x,y)=lnxlny，证明：f(xy,uv)=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v) f(xy,uv)=ln(xy)ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=f(x,u)+f(x,v)+f(y,u)+f(y,v)3 求下列函数的定义域，并画出
2、定义域的图形： f(x,y)=1-x+f(x,y)=2y2-1; ; 4x-y2ln(1-x2-y2)x2y2z2f(x,y)=1-2-2-2; abcf(x,y,z)=x+y+z1-x-y-z222. 解D=(x,y)x1,y1 y 1 -1 O -1 1 x D=(x,y)0x+y1,y4x 222 y 1 -1 O -1 1 x 1 x2y2z2D=(x,y)2+2+21 abcz c -a -b a x O b y D=(x,y,z)x0,y0,z0,x2+y2+z20,2(P0)=-2 2xxyxy故P0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8. 2.
3、f2=3x-6y-39令0x2-2y-13=0x解：由 有 驻点：(5,6)和(1,-6) fy-3x+9=0=2y-6x+18令0y2f2f2fQ2=6x 2=2 =-6 xxyyD(5,6)=6x2-(-6)2(5,6)=(12x-36)(5,6)2f=240，而2x=6x(5,6)=30 (5,6)f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)=-88 又D(1,-6)=6x2-(-6)2(1,-6)=(12x-36)(1,-6)=-240 2当x=1时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值 2x-x2-2212d1=2=72 8故抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短
4、距离为72 85、求抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。 解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为d=x2+y2+z2 z=x2+y2此问题即是求d=x+y+z在条件下的最大值和最小值。 x+y+z=1222令L=x+y+z+l(x+y-z)+m(x+y+z-1) L=2x+2lx+m令0xLy=2y+2ly+m令0由Lz=2z-l+m令022Ll=x+y-z令0L=x+y+z-1令0m 22222由-得2(1+l)(x-y)=0 若l=-1代入，得m=0， 16 1再代入，z=-0, 不合题意 2l-1，有x=y 2x2=z-13
5、代入，由，解得y=x=， z=23 22x+z=1驻点为：P1(-1+3-1+3-1-3-1-3,-1+3)和P2(,-1-3) 2222P1dP=x2+y2+z21=9+53，dP=x2+y2+z22=9-53 P2由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为6. 9+53和9-53 解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=prH+222p3r2h, 故:3V-pr(3H+2h)=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=2prH+2prr2+h2=2pr(H+r2+h2) 令L(r,h,H)=2pr(H+r2+h2)+l3V-pr(3H+2h) 2 L由=2p(H
6、+r2+h2)+2pr 有lr=r2r+h22-2rpl(3H+2h)=0 L=2phrhr2+h2-2plr2=0 (3) L=2pr-3plr2=0 (4) Hh2r52-=0, 故=, 代入有, r=223h23r+hh,再由，有H=h, h=25r, ( r,25r,25r)为S(r,h,H) 唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,17 r5=时,材料最省。 h27 解设S=BC=a, 则横截面积S(2a+2hctgq )h=(a+h ctgq )h,a= -hctgq,湿周hhSh F( q)h=,a+2C=Da+2=-hcqt+g2sqinhsqinfS2由=-2-ctgq+=0 (1) (BC+AD)h=1212hhsinq fq=1-2cosqsin2q=0 由(2)有1-2cosq=0,q=p3, 由(1), h=S43, h=S43 时，湿周最小. 18 (2) (p3,S43)为唯一驻点，故当q=p3, 即
