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1、微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法) gj(x)j(x)dx=g(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C. 二、常用凑微分公式 积分类型换元公式a1mm-1mm2.f(x)xdx=f(x)d(x)(m0)m13.f(lnx)dx=f(lnx)d(lnx)xxxxx4.f(e)edx=f(e)de第一1xxxx5.f(a)adx=f(a)da换lna元6.f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx积7.f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx分28.f(tanx)secxdx=f(tanx)dtanx法29.f(cotx)cscxdx=-f(cotx)dco
2、tx10.f(arctanx)11.f(arcsinx) 三、第二换元法 1.f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b)(a0)u=ax+bu=xmu=lnxu=exu=axu=sinxu=cosxu=tanxu=cotxu=arctanxu=arcsinx11+x12dx=f(arctanx)d(arctanx)1-x2dx=-f(arcsinx)d(arcsinx)f(x)dx=fj(t)j(t)dt=F(t)+C=Fy(x)+C, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) b) c) a2-x2, 可令 x=asi
3、nt; x2+a2, 可令 x=atant; x2-a2, 可令 x=asect. 1当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换x=. t 四、积分表续 4.3分部积分法 分部积分公式： udv=uv-vdu (3.1) uvdx=uv-uvdx (3.2) xnsinmxenxsinmxxnemxxnarcsinmxxncosmxenxcosmxxn(lnx)xnarccosmxxnarctanmx等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数). 5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 两点补充规
4、定：(a) 当a=b时, 性质1 性质2 性质3 baf(x)dx=0; (b) 当ab时, baf(x)dx=-f(x)dx. babaf(x)g(x)dx=kf(x)dx=kf(x)dx=baf(x)dxg(x)dx. abbabaf(x)dx, (k为常数). babcaf(x)dx+f(x)dx. cb性质4 1dx=dx=b-a. aab性质5 若在区间a,b上有f(x)g(x), 则推论1 若在区间a,b上f(x)0, 则 推论2 baf(x)dxg(x)dx, (ab). abbaf(x)dx0, (ab). baf(x)dx|f(x)|dxab(a0,b0,c0) (1.4)
5、abcx2y2椭圆抛物面 z= +2p2qx2y2双曲抛物面 -+=z ( p与q同号) 2p2qx2y2z2 单叶双曲面 2+2-2=1 (a0,b0,c0) abcx2y2z2 双叶双曲面 2-2+2=-1 (a0,b0,c0) abcx2y2z2二次锥面 2+2-2=0 (a0,b0,c0) abc6.2多元函数的基本概念 一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念 定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，
6、即z=f(x,y)，其中x，y称为自变量， z称为因变量. 点集D称为该函数的定义域，数集z|z=f(x,y),(x,y)D称为该函数的值域. 类似地，可定义三元及三元以上函数. 当n2时, n元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义 三、二元函数的极限 定义2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y)无限趋于点P0(x0,y0)时，函数f(x,y)无限趋于一个常数A，则称A为函数z=f(x,y)当(x,y) (x0,y0)时的极限. 记为 xx0yy0limf(x,y)=A. 或 f(x,y)A 也记作 limf(P)=A 或 f(P)A (
7、PP0) PP0 二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限. 四、二元函数的连续性 定义3 设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果 xx0yy0limf(x,y)=f(x0,y0), 则称z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续. 如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则称函数z=f(x,y)在(x0,y0)处间断. 与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二
8、元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可. 特别地，在有界闭区域D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理. 定理1 在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次. 定理2在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界. 定理3在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏
9、导数 一、偏导数的定义及其计算法 定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量 f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0), 如果limDx0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)存在, 则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处Dx对x的偏导数, 记为 zx例如，有 x=x0y=y0,fxx=x0y=y0,zxx=x0y=y0或fx(x0,y0). fx(x0,y0)=limDx0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0). Dx类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为 Dy0
10、limf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0), Dy记为 zf,yx=x0yy=y0x=x0y=y0,zyx=x0或y=y0fy(x0,y0). 上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明： 对一元函数而言，导数数的记号dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商. 但偏导dxu是一个整体. x 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求. 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而
11、言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 例如，二元函数 xy,(x,y)(0,0)22 f(x,y)=x+y0,(x,y)=(0,0)在点(0,0)的偏导数为 fx(0,0)=limDx0f(0+Dx,0)-f(0,0)0=lim=0, Dx0DxDxfy(0,0)=limDy0f(0,0+Dy)-f(0,0)0=lim=0. Dx0DyDy但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续. 三、偏导数的几何意义 设曲面的方程为z=f(x,y)，M0(x0,y0,f(x0,y0)是该曲面上一点，过点M0作平面y=y0，截此曲面得一条曲线，其方程为 z=f(x,y0) y=y0
12、则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率. 同理，偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率. 四、偏导数的经济意义 设某产品的需求量Q=Q(p,y), 其中p为该产品的价格, y为消费者收入. 记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为 DpQ=Q(p+Dp,y)-Q(p,y), 和 DyQ=Q(p,y+Dy)-Q(p,y). 易见，DpQDp表示Q对价格p由p变到p+Dp的平均变化率. 而 DpQQ =limpDp0Dp表示当价格为p、消费者收入为y时, Q对于p的变化率. 称 Ep=li
13、m为需求Q对价格p的偏弹性. 同理，DpQ/QDp/pDp0=-Qp pQDyQDy表示Q对收入y由y变到y+Dy的平均变化率. 而 DyQQ =limyDy0Dy表示当价格p、消费者收入为y时, Q对于y的变化率. 称 Ey=limDyQ/QDy/yDy0=-Qy yQ为需求Q对收入y的偏弹性. 五、科布-道格拉斯生产函数 在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数 p(x,y)=cxay1-a,c0且0a1， 其中p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数量。偏导数 pp和 xy分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。 六、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域
14、D内具有偏导数 zz=fx(x,y), =fy(x,y), xy则在D内fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数： z2zz2z=fxy(x,y), =2=fxx(x,y),=xxxyxxyz2zz2z=yx=fyx(x,y),yy=y2=fyy(x,y), xy其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 类似地，可以定义三阶、四阶、L以及n阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 2z2z定理1 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域
15、D内连续, 则yxxy2z2z在该区域内有. =yxxy6.4全微分 一、微分的定义 定义1 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y) 可以表示为 Dz=ADx+BDy+o(r), (4.2) 其中A,B不依赖于Dx,Dy而仅与x, y有关,r=(Dx)2+(Dy)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, ADx+BDy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分, 记为dz, 即 dz=ADx+BDy. (4.3) 若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分. 二、函数可微的条件 定理1 (必要条件) 如果函数z=f(
16、x,y)在点(x,y)处可微分, 则该函数在点(x,y)的偏导数zz,必存在, 且z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分 xydz=zzDx+Dy. (4.4) xy我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有： 定理2 (充分条件) 如果函数z=f(x,y)的
17、偏导数点处可微分. 三、微分的计算 习惯上，常将自变量的增量Dx、Dy分别记为dx、dy，并分别称为自变量的微分. 这zz,在点(x,y)连续, 则函数在该xy样，函数z=f(x,y)的全微分就表为 dz=zzdx+dy. (4.5) xy上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去. 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分可表为 du=uuudx+dy+dz. (4.6) xyz 四、全微分在近似计算中的应用 设二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y), fy(x,y)连续, 且|Dx|,|Dy|都较小时, 则根据
18、全微分定义，有 Dzdz 即 Dzfx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy. 由Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)，即可得到二元函数的全微分近似计算公式 f(x+Dx,y+Dy)f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy (4.7) 6.5复合函数微分法与隐函数微分法 一、多元复合函数微分法 1复合函数的中间变量为一元函数的情形 设函数z=f(u,v),u=u(t),v=v(t)构成复合函数z=fu(t),v(t) 公式(5.1)中的导数dzzduzdv=+. dtudtvdtdz称为全导数. dt 2、复合函数的中间变量为多元函数的情形 设z=f(u,v),u=u(x,y)
19、,v=v(x,y)构成复合函数z=fu(x,y),v(x,y), zzuzv=+, (5.3) xuxvxzzuzv=+, (5.4) yuyvy3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 定理3 如果函数u=u(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=v(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数, 则复合函数z=fu(x,y),v(y)在对应点(x,y)的两个偏导数存在, 且有 zzu=, (5.7) xuxzzuzdv=+. (5.8) yuyvdy注：这里zfz与是不同的，是把复合函数z=fu(x,y),x,y中的y看作不变而xxxfz
20、f是把函数z=f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数. 与xyy对x的偏导数，也有类似的区别. 在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号: f(u,v)f(u,v)2f(u,v)=f1=, f2=,f12,L vuuv这里下标1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理有,f22,L 等等. f11 二、全微分形式的不变性 根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设 z=f(u,v), u=u(x,y),v=v(x,y) 是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有 dz=zuzvzzzuzvdx+dy=+dx+dy
21、 xyuxvxuyvy=zuuzvv dx+dy+dx+dyuxyvxyzzdu+dv. uv由此可见，尽管现在的u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果. 三、 隐函数微分法 在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程 F(x,y)=0 (5.11) 来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法. 定理4 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一
22、邻域内具有连续的偏导数, 且Fy(x0,y0)0,F(x0,y0)=0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x), 它满足y0=f(x0), 并有 dyF=-x. (5.12) dxFy定理5 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数, 且 F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0, 则方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y), 它满足条件z0=f(x0,y0),并有 zF=-x,xFz6.6多元函数的
23、极值及求法 一、二元函数极值的概念 Fyz=-. (5.14) yFz定义1 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于(x0,y0)的任意一点(x,y), 如果 f(x,y)f(x0,y0), 则称函数在(x0,y0)有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数, 且在点(x0,y0)处有极值, 则它在该点的偏导数必然为零，即 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0. (6.1) 与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为
24、函数的驻点. 定理2 (充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.令 fxx(x0,y0)=A,2fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C. (1) 当AC-B0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处有极值， 且当A0时有极小值f(x0,y0)；A0时有极大值f(x0,y0)； (2) 当AC-B0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处没有极值; (3) 当AC-B=0时，函数f(x,y)在(x0,y0)处可能有极值，也可能没有极值. 根据定理1与定理2，如果函数f(x,y)具有二阶连续偏导
25、数，则求z=f(x,y)的极值的一般步骤为： 第一步 解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0, 求出f(x,y)的所有驻点； 第二步 求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据22AC-B2的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值. 二、二元函数的最大值与最小值 求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为: 求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值; 求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值; 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，
26、可以判断出函数f(x,y)的最大值一定在D的内部取得，而函数f(x,y)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值. 三、条件极值 拉格朗日乘数法 前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的的极值问题. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 拉格朗日乘数法 设二元函数f(x,y)和j(x,y)在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f(x,y)在D内满足条件j(x,y)=0的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数 L(x,y,l)=f(x,y)
27、+lj(x,y) 的无条件极值问题. 于是，求函数z=f(x,y)在条件j(x,y)=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为： (1) 构造拉格朗日函数 L(x,y,l)=f(x,y)+lj(x,y) 其中l为某一常数; (2) 由方程组 Lx=fx(x,y)+ljx(x,y)=0,Ly=fy(x,y)+ljy(x,y)=0, Ll=j(x,y)=0解出x,y,l, 其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点. 注：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否为极值点, 还需要加以讨论. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点. 拉
28、格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形: 四、数学建模举例 6.7 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 定义1 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域Ds1,Ds2,L,Dsn, 其中Dsi表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个Dsi上任取一点(xi,hi), 作乘积 f(xi,hi)Dsi,(i=1,2,L,n) 并作和 f(x,h)Ds, iiii=1n如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)ds, 即 Df(x,y)dsD=lim
29、f(xi,hi)Dsi (7.2) l0i=1n其中f(x,y)称为被积函数,f(x,y)ds称为被积表达式, ds称为面积微元, x和y称为积分变量,D称为积分区域, 并称f(x,h)Dsiii=1ni为积分和. 对二重积分定义的说明: (1) 如果二重积分f(x,y)ds存在，则称函数f(x,y)在区域D上是可积的. 可以证D明，如果函数f(x,y)区域D上连续，则f(x,y)在区域D上是可积的. 今后，我们总假定被积函数f(x,y)在积分区域D上是连续的; (2) 根据定义，如果函数f(x,y)在区域D上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴
30、和y轴的两组直线来分割积分区域D，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域Dsi的边长为Dxi和Dyj，于是Dsi=DxiDyj. 故在直角坐标系中，面积微元ds可记为dxdy. 即ds=dxdy. 进而把二重积分记为f(x,y)dxdy，这里我们把dxdy称为直角坐标系下的面积微元. D 二、二重积分的性质 类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似. 6.8在直角坐标系下二重积分的计算 一、区域分类 X-型区域：(x,y)|axb,j1(x)yj2(x). 其中函数j1(x),j2(x)在区间a,b上连续. 这
31、种区域的特点是：穿过区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点. Y-型区域：(x,y)|cyd,y1(y)xy2(y). 其中函数y1(x),y2(x)在区间c,d上连续. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于x轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点. 二、二重积分的计算 假定积分区域D为如下X-型区域: (x,y)|axb,j1(x)yj2(x). 则有 f(x,y)dxdy=dxjDabj2(x)1(x)f(x,y)dy (8.2) 类似地，如果积分区域D为Y-型区域： (x,y)|cyd,y1(y)xy2(y). 则有 Df(x,y)dxdy=dycdy2(y)y1(y)f(x
32、,y)dx. (8.3) 特别地，当区域D为矩形区域(x,y)|axb,cyd时，有 f(x,y)dxdy=dxDabdcf(x,y)dy=dyf(x,y)dx cadb 三、交换二次积分次序的步骤 一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤为： 对于给定的二重积分 dxjabj2(x)1(x)f(x,y)dy, 先根据其积分限 axb,j1(x)yj2(x), 画出积分区域D 根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限 cyd,y1(y)xy2(y), 写出结果 bdxjaj2(x)1(x)f(x,y)dy=dycdy2(y)y1(y)f(x,y)dx. 四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数f(x,y)的奇偶性和积分区域D的对称性两方面. 为应用方便，我们总结如下： 1. 如果积分区域D关于y轴对称，则 (1) 当f(-x,y)=-f(x,y)(x,y)D)时，有 f(x,y)dxdy=0. D(2) 当f(-x,y)=f(x,y)(x,y)D)时，有 f(x,y)dxdy=2f(x,y)dxdy DD1其中D1=(x,y)|(x,y)
