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1、必修4三角函数及三角恒等变换学生用高一数学必修4 三角函数及三角恒等变换 1弧度制与角度制的换算公式： 1802p=360，1=，1=57.3o 180poopo2任意角的三角函数： 设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是rr=x2+y20，则sina=3函数的诱导公式： ()yxy，cosa=，tana=(x0) rrx(1)sin(2kp+a)=sina，cos(2kp+a)=cosa，tan(2kp+a)=tana(kZ) (2)sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa，tan(p+a)=tana (3)sin(-a)=-sin
2、a，cos(-a)=cosa，tan(-a)=-tana (4)sin(p-a)=sina，cos(p-a)=-cosa，tan(p-a)=-tana (5)sinp-a=cosa，cos-a=sina 22ppp，6sin+a=cosacos()+a=-sina 224三角函数的基本关系： (1)sin2a+cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a) (2)sina=tanacosasinasina=tanacosa,cosa= tana第 1 页 共 15 页 5正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域
3、 R R pxxkp+,kZ 2R 值域 -1,1 当x=2kp+-1,1 (kZ)当x=2kp(kZ)时， p2时，ymax=1； 最值 当x=2kp-p2(kZ)ymax=1；当x=2kp+p 既无最大值也无最小值 (kZ)时，ymin=-1 2p 偶函数 时，ymin=-1 周期性 奇偶性 2p 奇函数 在2kp-p 奇函数 p2,2kp+p 2(kZ)上是增函数；在单调性 在2kp-p,2kp(kZ)上是增函数；在2kp,2kp+p 在kp-p2,kp+p 2p3p 2kp+,2kp+22(kZ)上是减函数 (kZ)上是增函数 (kZ)上是减函数 对称中心(kp,0)(kZ) 对称性
4、对称轴x=kp+对称中心kp+pp2,0(kZ) 对称中心kp,0(kZ) 22无对称轴 (kZ) 对称轴x=kp(kZ) 6A，w，j对y=Asin(wx+j)的图象的影响 第 2 页 共 15 页 y=sinx的图象上所有点向左平移j个单位长度，得到函数y=sin(x+j)的图象；再将函数y=sin(x+j)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的1w倍，得到函数y=sin(wx+j)的图象；再将函数y=sin(wx+j)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，得到函数y=Asin(wx+j)的图象 7函数y=Asin(wx+j)(A0,w0)的性质： 振幅：A；周期：T=2pw；频率：f=1w
5、=；相位：wx+j；初相：j T2p函数y=Asin(wx+j)+B，当x=x1时，取得最小值为ymin ；当x=x2时，取得最大值为ymax，则A=11T(ymax-ymin)，B=(ymax+ymin)，=x2-x1(x10)，y=f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于p，则f(x)的单调递增区间是 A.kp-p,kp+5p,kZ B.kp+5p,kp+11p,kZ 12121212C.kp-p,kp+p,kZ D.kp+p,kp+2p,kZ 3663第 5 页 共 15 页 6函数f(x)=(1+3tanx)cosx的最小正周期为 A2p B3pp Cp D 227函数f(x
6、)=sinxcosx最小值是 ( ) A1 B. -11 C. D.1 228已知函数f(x)=sin(vx+p4)(xR,v0)的最小正周期为p，为了得到函数g(x)=cosvx的图象，只要将y=f(x)的图象 pp个单位长度 B、向右平移个单位长度 88ppC、向左平移个单位长度 D、向右平移个单位长度 44A、向左平移9已知函数y=2sin(wx+j)(w0)在区间0，2p的图像如下：那么w A1 210已知函数f(x)=(1+cos2x)sinx,xR，则f(x)是 B2 C1 2 D 1 3y 1 O 1 2 x p的奇函数 2pC、最小正周期为p的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
7、2A、最小正周期为p的奇函数 B、最小正周期为11函数f(x)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为 A. 3，1 B. 2，2 C. 3，3 2 D. 2，3 212已知函数f(x)=sinwx+p(w0)的最小正周期为p，则该函数的图象 3B关于直线x=A关于点，0对称 p3p对称 4p对称 3C关于点，0对称 p4D关于直线x=第 6 页 共 15 页 13若函数f(x)=sinx-A最小正周期为21(xR)，则f(x)是 2B最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数 的奇函数 2C最小正周期为2的偶函数 14函数y=sin2x-在区间的简图是 -，3215若函数f(x)=2
8、sin(wx+j)，xR p）的最小正周期是p，且f(0)=32，1p，j= 26pCw=2，j= 6Aw=21p，j= 23p Dw=2，j= 3Bw=16为了得到函数y=sinx+3sinxcosx的图象，可以将函数y=sin2x的图象( ) p1个单位长度，再向下平移个单位长度 26p1B.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 26p1C.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 122p1D.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 122A.向左平移 第 7 页 共 15 页 17把函数y=是 2(cos3x-sin3x)的图象适当变化就可以得到y=-sin3x的图象，这个变化可
9、以2 A.沿x轴方向向右平移pp B.沿x轴方向向左平移 44pp D.沿x轴方向向左平移 1212 C.沿x轴方向向右平移18设函数f(x)=sin(2x+p3)，则下列结论正确的是 Af(x)的图像关于直线x=Bf(x)的图像关于点(p3对称 p4,0)对称 p个单位，得到一个偶函数的图像 12pDf(x)的最小正周期为p，且在0,上为增函数 6pp19已知函数f(x)=sin(x+)cos(x+),则下列判断正确的是 66p Af(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为x= 12p Bf(x)的最小正周期为2，其图象的一条对称轴为x= 6p Cf(x)的最小正周期为，其图象的一条对称
10、轴为x= 12p Df(x)的最小正周期为，其图象的一条对称轴为x= 6p20f(x)=Asin(wx+j)xR，A0，w0，j0，|j|0)的最小正周期为2p 3p个单位长度得到，求y=g(x)的单2第 11 页 共 15 页 0j0，其图像经过点M， 求f(x)的解析式； 132已知a，b0，且f(a)= 7已知函数f(x)=sin(2x+2312，f(b)=，求f(a-b)的值 513p6)+sin(2x-p6)-cos2x+a(aR,a为常数） 求函数f(x)的最小正周期；求函数f(x)的单调递增区间； 若x0, p2时，f(x)的最小值为-2，求a的值 第 12 页 共 15 页 8
11、已知函数f(x)=sinxcosx-3cosx+求f(x)的最小正周期； 求f(x)的单调递增区间； 213(xR) 2求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标 9已知函数f(x)=Asin(ax+j),(A9,w0,|j|0,x(-,+),0jp)在x=p122p12(1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式； (3) 若f( +)=，求sin 312513某港口海水的深度y(米)是时间t(时)(0t24)的函数，记为：y=f(t) 已知某日海水深度的数据如下： 时取得最大值4 t(时) y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Asinwt+b的图象 (I)试根据以上数据，求出函数y=f(t)=Asinwt+b的振幅、最小正周期和表达式； (II)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 第 15 页 共 15 页
