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1、第三章 三角恒等变换一、课标要求：本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化
2、积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.二、编写意图与特色1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点
3、的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约8课时，具体分配如下：3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时3.2简单的恒等变换 约3课时复习 约2课时3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探
4、索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.第一课时 两角和与差的余弦教学目标：掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：余弦的差角公式及简单应用教学难点：余弦的差角公式的推导教学过
5、程：.课题导入在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角、的三角函数值，如何求、或2的三角函数值?即：、或2的三角函数值与、的三角函数值有什么关系?.讲授新课接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（）用、的三角函数来表示的问题.在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角、，其终边分别与单位圆交于P1（cos，sin）、P2（cos，sin），则P1OP2.由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以，我们只需考虑0的情况.设向量a（cos，sin），b（cos，sin），则：ababcos （）cos （）另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
6、abcoscossinsin所以：cos （）coscossinsin （C（）两角和的余弦公式对于任意的角、都是成立的，不妨，将此公式中的用代替，看可得到什么新的结果?cos （）cos cos （）sinsin（）cos cos sinsin即：cos （）cos cos sinsin （C（）请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?(1)这一式子表示的是任意两角与的差的余弦与这两角的三角函数的关系.(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.请同学们仔细观察它们各自的特点.(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.(2)两角之差的
7、余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.如：求cos 15可化为求cos（4530)或cos（6045）利用这一式子而求得其值.即：cos 15cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30或：cos 15cos （6045）cos 60cos 45sin60sin45请同学们将此公式中的用代替，看可得到什么新的结果?cos（）coscos sinsinsin即：cos（）sin再将此式中的用代替，看可得到什么新的结果.cos（）cossin（）即：sin（）cos.课堂练习1.求下列三角函数值cos （4530
8、）cos 105解：cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30cos 105cos （6045）cos 60cos 45sin60sin452.若cos cos ，cos（）1，求sinsin.解：由cos（）coscossinsin得：sinsincoscoscos（）将coscos，cos（）1代入上式可得：sinsin3.求cos 23cos 22sin23sin22的值.解：cos 23cos 22sin23sin22cos（2322）cos 454.若点P(3，4)在角终边上，点Q（1，2）在角的终边上，求cos （）的值.解：由点P（3，4）为角终边上一点；点Q
9、（1，2)为角终边上一点，得：cos ，sin；cos，sin.cos（）coscossinsin（）（）（）5.已知cos（），cos（），求：tantan的值.解：由已知cos（），cos（）可得：cos（）cos（）即：2coscoscos（）cos（）1即：2sinsin1由得tantantantan的值为.6.已知coscos，sinsin，求：cos （）的值.解：由已知coscos得：cos 22cos cos cos 2 由sinsin得：sin22sinsinsin2由得：22（coscossinsin）即：22cos（）cos（）.课时小结两公式的推导及应用.课后作业课本P
10、96习题 1，2，3两角和与差的余弦1下列命题中的假命题是 （ ）A.存在这样的和的值，使得cos（）coscossinsinB.不存在无穷多个和的值，使得cos（）coscossinsinC.对于任意的和，都有cos（）coscossinsinD.不存在这样的和值，使得cos（）coscossinsin2在ABC中，已知cos Acos BsinAsin，则AB一定是钝角三角形吗？3已知sinsin，求coscos的最大值和最小值.4已知：（，），（0，），且cos（），sin（）求：cos （）.5已知：、为锐角，且cos，cos（），求cos的值.6在ABC中，已知sinA，cosB，求
11、cos C的值.两角和与差的余弦答案1B2在ABC中，已知cos Acos BsinAsin，则AB一定是钝角三角形吗？解：在ABC中，0C，且ABC即：ABC由已知得cos Acos BsinAsinB0，即：cos（AB）0cos（C）cos C0，即cos C0C一定为钝角ABC一定为钝角三角形.3已知sinsin，求coscos的最大值和最小值.分析：令coscosx，然后利用函数思想.解：令coscosx，则得方程组：22得22cos ()x2cos ()|cos ()|1， | |1解之得：xcoscos的最大值是，最小值是.4已知：（，），（0，），且cos（），sin（）求：c
12、os （）.解：由已知：（，）（，）（，0）又cos （）， sin（）由（0，）（，）又sin（）sin（）sin（）即sin（）， cos（）又（）（）cos（）cos（）（）cos（）cos（）sin（）sin（）（）5已知：、为锐角，且cos，cos（），求cos的值.解：0，0由cos （），得sin（）又cos，sincoscos（）cos（）cos sin（）sin（）评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.6在ABC中，已知sinA，cosB，求cos C的值.分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.解：由sinA知0A4
13、5或135A180，又cos B，60B90，sinB若135A180则AB180不可能.0A45，即cos A.cos Ccos（AB）.第二课时 两角和与差的正弦教学目标：掌握S（）与S（）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正弦公式及推导过程.教学难点：灵活应用所学公式进行求值证明.教学过程：.课题导入首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （）s
14、in中的用代替，看会得到什么新的结论?.讲授新课一、推导公式由sincos（）得：sin（）cos （）cos（）cos（）cos sin（）sin又cos（）sin，sin（）cos sin（）sincos cos sin这一式子对于任意的，值均成立.将此式称为两角和的正弦公式：S（）：sin（）sincoscossin在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（）时，将其中的用代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（）中的用代替，看会得到什么新的结论?sin（）sincos（）cossin（）sincoscossin即：sin（）sincoscossin这一式子对于任意的，的值均成立.
15、这一式子被称为两角差的正弦公式：S（）：sin（）sincoscossin下面，看他们的应用.二、例题讲解例1利用和(差)角公式求75，15的正弦、余弦、正切值.分析：首先应将所求角75，15分解为某些特殊角的和或差.解：sin75sin（4530）sin45cos 30cos 45sin30cos 75cos（4530）cos 45cos 30sin45sin30tan752sin15sin（4530)sin45cos 30cos 45sin30或sin15sin（6045）sin60cos 45cos 60sin45或sin15sin（9075）cos 75cos 15cos （4530）
16、cos 45cos 30sin45sin30或cos 15cos （6045）或cos 15cos（9075）sin75tan152例2已知sin，（，），cos，（，），求sin（），cos（），tan（）.分析：观察此题已知条件和公式C（），S（），要想求sin（），cos （），应先求出cos，sin.解：由sin且（，) 得：cos ；又由cos且（，）得：sin.sin（）sincoscossin（）（）（）cos（）coscossinsin（）（）（）由公式S（）可得sin（）tan（）.课堂练习1.求证：证明：右左.原式得证.2.在ABC中，sinA (0A45)，cos B (
17、45B90)，求sinC与cos C的值.解：在ABC中，ABC180即C180（AB）又sinA且0A45 cos Acos B且45B90 sinBsinCsin180（AB）sin（AB）sinAcos Bcos AsinBcos Ccos 180（AB）cos （AB）sinAsinBcos Acos B对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.课时小结在前面推导出的C（）与cos（）sin的基础上又推导出两公式，即：sin（）sincosco
18、ssin (S（）sin（）sincoscossin（S（）同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.课后作业课本P100习题 1，2，3.第三课时 两角和与差的正切教学目标：掌握T（），T（)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：两角和与差的正切公式的推导及特征.教学难点：灵活应用公式进行化简、求值.教学过程：.复习回顾sin（）sincoscossin（S（）sin（）sincoscossin（S（）cos（）coscossinsin（C（）cos（）coscossinsi
19、n（C（）要准确把握上述各公式的结构特征.讲授新课一、推导公式上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：当cos（）0时tan（） 如果coscos0，即cos0且cos0，我们可以将分子、分母都除以coscos，从而得到：tan（）不难发现，这一式子描述了两角与的和的正切与这两角的正切的关系.同理可得：tan（）或将上式中的用代替，也可得到此式.这一式子又描述了两角与的差的正切与这两角的正切的关系.所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，简记为T（），T（）.但要注意：运用公式T（）时必须限定、都不等于k（kZ），因为tan（k）不存在.下面我们看一下它们的应
20、用二、例题讲解例1不查表求tan75，tan15的值.解：tan75tan（4530）2tan15tan（4530）2例2求下列各式的值（1） （2）(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.解：tan（7126）tan451(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.解：由tan150tan（7575）得：222cot1502cot（18030）2cot302说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.例3利用和角公式计算的值.分析：因为tan451，所以原式可看成这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（4515）,从而求得原
21、式的值.解：tan451tan（4515)tan60说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.例4若tan（），tan（），求tan（）的值.分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（）（），所以可将化为（）（），从而求得tan（）的值.解：tan（）tan（）（)将tan（），tan（)代入上式，则，原式例5已知tan，tan（），求tan（2).解：（）2tan（2）tan（2）tan（2）tan（)4.证明tantan分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：2x，xsinxsincoscossin cosxcos2x2coscos即得：tantan.课堂练习1.化简下列各式
22、(1)tan（）（1tantan） (2) 1(3) 解：（1）tan（）（1tantan）（1tantan）tantan(2) 11 1tantan1tantan(3) tan（）tan说明：这一题目若将tan（）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思想.2.求值：(1) (2) (3)tan21（1tan24）tan24解：(1) tan（3525）tan60 (2) tan（8626）tan60（3）分析：因为tan21tan（4524）又因为tan451所以，1tan241tan45tan24这样，可将原式化为：tan（4524）（1tan45tan24）tan24从而求得原
23、式的值.解：tan21（1tan24）tan24tan（4524）（1tan45tan24）tan24（1tan45tan24）tan241 .课时小结正切的和、差角公式以及它们的等价变形.即：tan（）Tantantan（）1tantan1tantan这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.课后作业课本P105习题 1，2，3，43.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程
24、中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力教学难点
25、：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台第四课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(一)教学目标：掌握S（），（)及T（）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.教学重点：S（），C（），T（）的灵活应用.教学难点：灵活应用和、差角公
26、式进行化简、求值、证明.教学过程：.复习回顾请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.sin（）sincoscossin(S（）cos（）coscossinsin(C（）tan（）（T（）.讲授新课这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式（），然后按如下顺序推导其余公式：（）（）S（）S（）T（）T（）.它们又有什么内在联系呢?下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：例1求证1分析：证明三角恒等式，一般要遵循“
27、由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.证明：左边11右边， 原式成立.或：右边1 左边 原式成立.例2已知sinmsin（2），求证：tan（）tan分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2可化为结论式中的与的和，不妨将作为一整体来处理.证明：由sinmsin（2）sin（）sin（）sin（）coscos（）sinsin（）coscos（）sin（1m）sin（）cos（1m）cos（）sintan（）tan评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.例3求tan70ta
28、n50tan50tan70的值.分析：观察所求式子，联想有关公式T（），注意到它的变形式：tantantan（）（1tantan）.运用之可求解.解：原式tan（7050）（1tan70tan50）tan50tan70（1tan70tan50）tan50tan70tan70tan50tan50tan70原式的值为.课堂练习1.化简下列各式：(1)cos（）cossin（）sin(2)sinxcosx解：(1)cos（）cossin（）sincos（）cos这一题可能有些学生要将cos（）与sin（）按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个
29、式子直接运用公式以化简.(2) sinxcosxsinxcosx（sinxcosx）（sinxcosx）0这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.2.证明下列各式(1) (2)tan（）tan（）（1tan2tan2）tan2tan2(3) 2cos（） 证明：(1)右边左边 (2）左边tan（）tan（）（1tan2tan2）（1tan2tan2）（1tan2tan2）tan2tan2右边(3)左边2cos（）右边3.(1)已知sin（45），45135，求sin.(2)求tan11tan34tan11tan34的值.解：(1)45135， 9045180又sin（45）， c
30、os（45）sinsin（45）45sin（45）cos45cos（45）sin45这题若仔细分析已知条件，可发现所给的取值范围不能确定cos的取值，所以需要将化为（45）45，整体运用45的三角函数值，从而求得sin的值.（2）tan11tan34tan11tan34tan（1134）（1tan11tan34）tan11tan34tan45（1tan11tan34）tan11tan341tan11tan34tan11tan341注意运用公式的等价变形式.课时小结通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.课后作业课本P106 5，6，7，8第五课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
31、教学目标：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin，为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.教学重点：利用两角和与差的正、余弦公式将asinbcos形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.教学难点：使学生理解并掌握将asinbcos形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.教学过程：.复习回顾同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用.讲授新课
32、例1求证cossin2sin()证明：右边2sin()2(sincoscossin)2(cossin)左边由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.也可这样考虑：左边cossin2(cossin)2(sincoscossin)2sin()右边(其中令sin，cos)例2求证cossin2cos()分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.若从左边推证，则要仔细分析，构造形式即：左cossin2(cossin)2(coscossinsin)2cos()(其中令cos，sin)综合上两
33、例可看出对于左式cossin可化为两种形式2sin()或2cos()，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于asinbcos的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?推导公式：asinbcos (sincos)由于()2()21，sin2cos21(1)若令sin，则cosasinbcos (sinsincoscos)cos()或原式cos()(2)若令cos，则sinasinbcos (sincoscossin)sin()例如：2sincos (sincos)若令cos，则sin2sincos(sincoscossin)sin()若令sin，则cos2sincos(coscoss
34、insin)cos()或原式cos()看来，asinbcos均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式.课堂练习1.求证：(1) sincossin() (2)cossinsin()(3) (sinxcosx)2cos(x)证明：(1) sincossin()证法一：左边sincoscossinsin()右边证法二：右边sincoscossinsincos左边(2)cossinsin()证法一：左边(cossin)(sincoscossin)sin()右边证法二：右边(sincoscossin)(sincos)cossin左边(3) (sinx+cosx)2cos(x)证法一：左边(sinx
35、cosx)2(sinxcosx)2(cosxcossinxsin)2cos(x)右边证法二：右边2cos(x)2(cosxcossinxsin)2(cosxsinx)(cosxsinx)左边2.利用和(差)角公式化简：(1) sinxcosx (2)3sinx3cosx(3) sinxcosx (4) sin(x)cos(x)解：(1) sinxcosxsinxcoscosxsinsin(x)或：原式sinxsincosxcoscos(x)(2)3sinx3cosx6(sinxcosx) 6(sinxcoscosxsin)6sin(x)或：原式6(sinsinxcoscosx)6cos(x)(
36、3) sinxcosx2(sinxcosx)2sin(x)2cos(x)(4) sin(x)cos(x)sin(x)cos(x)sinsin(x)coscos(x)cos(x)cos(x)或：原式sin(x)coscos(x)sinsin(x)sin(x).课时小结通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：asinbcossin()(其中cos，sin)mcosnsincos()(其中cos，sin)进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题.课后作业课本P96 4，6；P101 4，5.两角和与差的余弦、正弦、正切(一)1若0，sincosa，sincosb，则 ( )A.ab1 B.ab C.ab D.ab2
