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1、抛物线焦点弦的性质抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点A(x1,y1)B(x2,y2)，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(若p0) 抛物线y2=2px，AB=p+(x1+x2)抛物线y2=-2px，AB=p-(x1+x2) 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(若p0) 抛物线x2=2py，AB=p+(y1+y2)抛物线x2=-2py，AB=p-(y1+y2) 3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：d=2p 4、焦点弦常用结论： p2
2、py=k(x-)2y-y-p2=0 结论1：韦达定理2k2y=2pxk2p2222=0 和kx-(kp+2p)x+4py1y2=-p2和x1x2= 4结论2：AB=x1+x2+p pp)+(x2+)=x1+x2+p 222p结论3：若直线L的倾斜角为q，则弦长AB= 2sinq证：AB=AF+BF=(x1+证: (1)若q=p2 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,AB=2p结论得证 2pp2py=k(x-)y1+y2=22y-p=0(2)若q时, 则k 2y-2k22y=2pxy1y2=-pp12p4p22p2AB=y-y= y1-y2=+4p=1222sinqsinqsinqk
3、结论4： 过焦点的弦中通径长最小 2p2p AB的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短. 2sinqS2DoABp3结论4： =(为定值) AB811SDOAB=SDOBF+SD0AF=OFBFsinq+OFAFsinJ 222p2SDP3111p2pOAB =OF(AF+BF)sinq=OFABsinq=2sinq=2222sinq2sinqAB8Qsin2q1结论5：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1， 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 MM1=AA1+BB12=AF+BF2=AB2
4、 故结论得证 结论6：连接A1F、B1 F 则 A1FB1F QAA1=AF,AA1F=AFA1QAA1/OFAA1F=A1FOA1FO=A1FA 同理B1FO=B1FBA1FB1=90 A1FB1 F 结论7：AM1BM1 M1FAB M1FAM122=AFBF 设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 +M1B=4M1M 22证：由结论知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1 QDA1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 A1M1=M1FM1FA1=M1A1FQAA1F=AFA1 QAA1F+FA1M1=AA1M1=90 AFA
5、1+A1FM1=90 M1FAB M1F2=AFBF Q AM1BM1 AM1B=90又QA1FB1F 2 A1FB1=90 所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1 =AF+BF+M1B=AB 222()=(AA21+BB1)=(2MM1)=4MM1 22结论8： A、O、B1 三点共线 B，O，A1 三点共线 设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴 设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴 y1yy2y2p=12=,koB1=2=-2，而y1y2=-p2 px1y1py1-22p2y22p所以koA= =-=koB1所以三点共线。同理可征p-p2y2112结论9： += FAFBp证：因为koA=证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为L的倾斜角为q E,因为直线则ER=EF+FR=P+AFcosq=AFAF=同理可得 P11-cosq =1-cosqAFP11+cosq112 =+= BFPFAFBp
