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1、指数对数的导数指数对数的导数 求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1y=lnx2+1；2y=log2(2x2+3x+1)； 3y=esin(ax+b)； 4y=a3xcos(2x+1). 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数 解：1解法一：可看成y=lnu,u=v,v=x2+1复合而成 11-1yv2(2x)x=yuuvvx=u21-112 =(x+1)22x x2+12 =xx2+1x2+1=x.x2+1解法二：y=lnx+1=
2、21x2+1(x2+1) =1-12(x+1)2(x2+1)x2+1211=1x2+1221x2+12x=x.2x+1解法三：y=lnx+1=1ln(x2+1)， 21112xxy=ln(x2+1)=2(x2+1)=2=2. 22x+12x+1x+12解法一：设y=log2u,u=2x+3x+1，则 21log2e(4x+3) uloge(4x+3)log2e=22(4x+3)=. 2x+3x+12x2+3x+1log2e22(2x+3x+1) 解法二：y=log2(2x+3x+1)=22x+3x+1yx=yuux= =log2e(4x+3)log2e(4x+3)=. 2x2+3x+12x2+
3、3x+13解法一：设y=eu,u=sinv,v=ax+b，则 uy=yuu=ecosvaxuvx =acos(ax+b)e解法二：y=e sin(ax+b)sin(ax+b)=esin(ax+b)sin(ax+b) =esin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b)=acos(ax+b)esin(ax+b)4y=a3xcos(2x+1) =(a3x)cos(2x+1)+a3xcos(2x+1)=a3xlna(3x)cos(2x+1)+a3x-sin(2x+1)(2x+1)=3alnacos(2x+1)-2asin(2x+1)=a3x3lnacos2(x+1)-2sin2(x+1).3x3x说
4、明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开 变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数： x3+x2+21-xy=2； y=ln； x-x+11+xy=(tanx)sinx2； y=x-x-6 分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量 x3+x2+2x=x+2+2. 解：y=2x-x+1x-x+1x2-x+
5、1-x(2x-1)-x2+1 y=1+=1+2(x2-x+1)2(x-x+1)2y=1ln(1-x)-ln(1+x)， 21-1111+x+1-x1y=-=2. =-21-x1+x2(1-x)(1+x)x-1y=esinxln(tanx) y=esinxln(tanx)sinxln(tanx) =(tanx)sinxcosxln(tanx)+sinx1 tanx(tanx)sinx =(tanx)sinxcosxln(tanx)+cos cos =cosx(tanx)sinxcos2x-sinx(-sinx)ln(tanx)+ cosx1ln(tanx)+. cosx =cosx(tanx)s
6、inx2-x+x+6, x-2,3,y=2 x-x-6, x-2,3.-2x+1, x(2,3), y=2x-1, x(-,-2)U(3,+).当x=-2,3时y不存在 说明：求y=P(x)的导数时，若P(x)的次数不小于Q(x)Q(x)的次数，则由多项式除法可知，存在S(x)、R(x)，使P(x)=Q(x)S(x)+R(x)从而P(x)R(x)=S(x)+，这里S(x)、R(x)均为多项式，且R(x)的次数小于Q(x)的次数再R(x)Q(x)求导可减少计算量 对函数变形要注意定义域如y=lg(x-1)-ln(x+1)，则定义域变为x(1,+)，所以虽然y=lnx(-1)+lnx(+1)的导数
7、112x1-x+=2与y=ln的导数x-1x+1x-11+x1+x1-x1+x-(1+x)-(1-x)2x结果相同，但我们还是应避免这种解法 =221-x1+x1-x(1+x)x-1函数求导法则的综合运用 例 求下列函数的导数： 1y=x1+x2；2y=(x2-2x+3)e2x； 3y=3x-2x；4y=3. 2x+31-x分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误 解：1取y的绝对值，得y=xx+1，两边取寻数，得lny=l
8、nx+根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得 21lnx2+1. 2112x2x2+1， y=+=22yx2(x+1)x(x+1)2x2+12x2+12x2+12y=y=xx+1=. 2x(x2+1)x(x2+1)x+12注意到y0，两端取对数，得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x. 1(x2-2x+3)2x-22(x2-x+2)y=2 +2=2+2=2yx-2x+3x-2x+3x-2x+32(x2-x+2)2(x2-x+2)2y=2(x-2x+3)e2x y=2x-2x+3x-2x+3 =2(x-x+2)e. 3两端取对数，得 22x
9、lny=ln3x-2-ln2x+3， 两端对x求导，得 1(3x-2)(2x+3)32y=-=-y3x-22x+33x-22x+313 =.(3x-2)(2x+3)4两端取对数，得 1lny=(lnx-ln1-x)， 3两边对x求导，得 111-111y=(-)=. y3x1-x3x(1-x)y=111x3y=. 3x(1-x)3x(1-x)1-x说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果解决这类问题常见的错误是不注意lny是关于x的复合函数 指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决
