指数函数对数函数专题讲解.docx

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1、指数函数对数函数专题讲解高中专题讲解指数函数、对数函数问题专题讲解高考要求指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图像和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题重难点归纳 (1)运用两种函数的图像和性质去解决基本问题此类题目要求考生熟练掌握函数的图像和性质并能灵活应用 (2)综合性题目此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 (3)应用题目此类题目要求考生具有较强的建模能力典型题例示范讲解例1已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图像交于C、D两点 (1)

2、证明点C、D和原点O在同一条直线上； (2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标命题意图本题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力知识依托 (1)证明三点共线的方法 kOC=kOD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标错解分析不易考虑运用方程思想去解决实际问题技巧与方法本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标 (1)证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2, 由题意知 x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2 因为A、B在过点O的直线

3、上，所以log8x1x1=log8x2x2,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2), 由于log2x1=log8x1log82=3log8x1,log2x2=log8x2log82=3log8x2, 所以OC的斜率 k1=log2x1x2log=3log8x1x1, OD的斜率 k2=2x2x2=3log8x2x2，由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一条直线上第1页共7页高中专题讲解 (2)解由BC平行于x轴知 log2x1=log8x2 即 log2x1=13log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1

4、, 由于x11知log8x10,x13=3x1 又x11,x1=3,则点A的坐标为(3，log83) 例2在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(a10)x(0a1)的图像上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形 (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式； (2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； (3)设Cn=lg(bn)(nN),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由 *命题意图本题把平

5、面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力知识依托指数函数、对数函数及数列、最值等知识错解分析考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口技巧与方法本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题解 (1)由题意知 an=n+12,bn=2000(a10)n+12(2)函数y=2000(a10)x(0abn+1bn+2 则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn, 即(a10)2+(a10)10, 解得a5(

6、51) 5(51)a10 (3)5(51)a10,a=7 第2页共7页高中专题讲解 bn=2000(710)n+12 数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,Bn=bnBn1 于是当bn1时，BnBn1,当bn1时，BnBn1, 因此数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1且bn+1nn+1; (3)若F(x)的反函数F1(x),证明方程F1(x)=0有惟一解解 (1)由1+x1-x0,且2x0得F(x)的定义域为(1，1)，设1x1x21,则 F(x2)F(x1)=(12-x2-12-x1)+(log21+x21-x2-log1+x121-x1) =x2-x1(2-x1)

7、(2-x2)+log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2), x2x10,2x10,2x20,上式第2项中对数的真数大于1 因此F(x2)F(x1)0,F(x2)F(x1),F(x)在(1，1）上是增函数 (2)证明由y=f(x)=log21+x1-x得 2=y1+x1-x,x=2-12+1yy, f(x)=12-12+1xx,f(x)的值域为R，f-1(x)的定义域为R 当n3时，数学驿站 f(n)-1nn+12-12+1nnnn+11-22+1n1-1n+122n+1 n用数学归纳法易证2n2n+1(n3),证略第3页共7页高中专题讲解 (3)证明 F(0)=12,F(

8、112)=0,x=1212是F(x)=0的一个根 1假设F1(x)=0还有一个解x0(x0是F(0)=x0(x0学生巩固练习 ),则F-1(x0)=0,于 12) 这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解 1 定义在(,+)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x(,+),那么( ) A g(x)=x,h(x)=lg(10+10+2) xxB g(x)=12x2lg(10x+1)+x,h(x)= ,h(x)=lg(10x+1)x2x12lg(10x+1)x C g(x)=x2x2D g(x)=,h(x)=lg(10+1

9、)+ 2 当a1时，函数y=logax和y=(1a)x的图像只可能是( ) yo1yxAo1yyo1xBxCo1xD2x (x0)3 已知函数f(x)= 则f-1(x1)=_ log2(-x) (-2x0且a1),当点y2=a-ae-nt桶2P(x,y)是函数y=f(x)图像上的点时，点Q(x2a,y)是函数y=g(x)图像上的点 (1)写出函数y=g(x)的解析式； (2)若当xa+2,a+3时，恒有|f(x)g(x)|1,试确定a的取值范围 6 已知函数f(x)=logax(a0且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判断12f(x1)+f(x2)与f(x1+x22)的大小，并加

10、以证明第4页共7页高中专题讲解 7 已知函数x,y满足x1,y1 logax+logay=loga(ax)+loga(ay)(a02222且a1),求loga(xy)的取值范围 8 设不等式2(log1x)2+9(log1x)+90的解集为M，求当xM时函数22f(x)=(log2x)(log2x)的最大、最小值 28参考答案 1 解析由题意 g(x)+h(x)=lg(10x+1) 又g(x)+h(x)=lg(10x+1) 即g(x)+h(x)=lg(10x+1) 由得 g(x)=x2,h(x)=lg(10x+1)x2答案 C数学驿站 2 解析当a1时，函数y=logax的图像只能在

12、ax+3a)在a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),0a1时，有logax1x2loga(即1212x1+x2212logax1x2loga(x1+x222)，(logax1+logax2)loga, f(x1)+f(x2)f(x1+x2)(当且仅当x1=x2时取“=”号) x1+x2212当0a1时，有logax1x2loga(12)2, x1+x22(logax1+logax2)logax1+x22,即f(x1)+f(x2)f(当且仅当x1=x2时取“=”号） 7 解由已知等式得 loga2x+loga

13、2y=(1+2logax)+(1+2logay), 即(logax1)2+(logay1)2=4, 令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v 在直角坐标系uOv内，圆弧(u1)+(v1)=4(uv0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论数学驿站 22(1)当u0,v0时，即a1时，结合判别式法与代点法得第6页共7页高中专题讲解 1+3k2(1+2); (2)当u0,v0,即0a1时，同理得到2(12)k13 综上，当a1时，logaxy的最大值为2+22，最小值为1+3；当0a1时，logaxy的最大值为13，最小值为222 8 解 2(log1x)+9(log1x)+90 222(2log1x+3)( log1x+3)0 3log1x32222即log1 (212)log1xlog1(22312)-32 (12)-32x(12)3,22x8 即M=x|x22,8 又f(x)=(log2x1)(log2x3)=log22x4log2x+3=(log2x2)21 22x8,32log2x3 当log2x=2,即x=4时ymin=1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0 课前后备注第7页共7页

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