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1、振动学彭为习21 如图所示系统中，已知m1,m2,k1,k2,a1,a2,a3,a4,水平刚杆的质量忽略不计。以m2的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度ke。 解：设m2的线位移为x，由能量法 1aUa=k122a41ax+k232a42221k1a22+k2a312x=x又U=kx ee22a42222k1a2+k2a3故ke= 2a42.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。 求系统的等效刚度。 解：k1、k2串联 keq1=k1k2 k1+k2+k 3keq1、k3并联 keq2=ke1qkeq2、k4串联 keq=keq2k4keq2+k4keq=keqk4keq+k4=(k1k2
2、+k2k3+k3k1)k4 k1k2+(k1+k2)(k3+k4)2.3 图示振动系统中，弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。假定滑轮转动时无摩擦作用，求系统的等效刚度。 解：设滑轮中心位移分别为x1、x2 由滑轮系运动分析可知x=2(x1+x2) 设绳中张力为T0，则 2T0=k1x1=k2x2x1=由能量法Ua=k1x2(k1+k2)x2=k2x2(k1+k2)1211k1k222k1x1+k2x2=x2224(k1+k2)k1k21Ue=kex2ke=24(k1+k2)2.4 设有一均质等截面简支梁如图。在中间有一集中质量m。如把梁本身质量M考虑在内，试计算此系统的等效质量。假定梁在自由振动
3、时的动挠度曲线和简支梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。 解： 设y为中点动挠度，即简支梁中点自由振动的位移。3l2x-4x33l2x-4x3梁在自由振动过程中离端点距离为x的截面在垂直方向的位移为y则速度为y3ll3Ta=2l2013l2x-4x31211721172rydx+my=rl+my=M+my 2l322352352117Te=mey2me=M+m 235 2.5若以平衡位置为坐标原点，且令该位置的势能为零，则如图所示各系统中质量离开静平衡位置的角度为q时的总势能为多少？并写出各自的振动方程。 12 系统作微振动sinqq; 1-cosqq2 解：a：U=112k(asinq
4、)+mgl(1-cosq)(ka2+mgl)q2 22112b：U=k(asinq)ka2q2 22112c：U=k(asinq)-mgl(1-cosq)(ka2-mgl)q2 22a: ml2q+(ka2+mgl)q=0 b: ml2q+ka2q=0 c: ml2q+(ka2-mgl)q=0 2.6 一只用于流体力学试验室的压力表，具有均匀内径，截面积为A。内装一长度为L、密度为的水银柱，如图所示。求液面在其平衡位置附近振动的频率。忽略水银与管壁间的摩擦。 解： 1LArx+2Argx=0wn=2gLf=2gL 2p2.7 确定图示系统的固有频率。圆盘质量为m。 karOxk解： 113Ta
5、=mx2+Jq2=mr2q2 2242122Ua=2kr+aq=kr+aq ()()24k(r+a)d1q=0f=(Ua+Ta)=0q+t3mr22p24k(r+a)1r+a4k =3mr22pr3m22.8两个滑块在光滑的机体槽内滑动，机体在水平面内绕固定轴o以角速度转动。每个滑块质量为m，各用弹簧常数为k的弹簧支承。试确定其固有频率。 解：在离心力作用下系统达到平衡时有： 以新平衡位置作为坐标原点，则有 kDx=mw2(l0+Dx)mx+k(x+Dx)-mw2(l0+Dx+x)=0mx+kx-mw2x=0f=12pk-w2m2.9 提升机系统如图所示。，重物重量W=1.47105N,钢丝绳
6、的弹簧刚度k=5.78104N/cm, 重物以15m/min的速度均匀下降。绳的上端突然被卡住时， 求：重物的振动频率，钢丝绳中的最大张力。 解：1）重物的振动圆频率wn=wgk=19.6rad/s f=n=3.1HzW2p2）钢丝绳中的最大张力 重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置，t=0时，x0=0,x0=v x=x0wnsinwnt=1.28sin19.6t(cm) Tmax=Ts+kA=W+kA=1.47105+5.781041.28=2.21105N 2.10 一有粘性阻尼的单自由度系统，在振动时测得周期为1.8s，相邻两振幅之比为4.2：1。求此系
7、统的固有频率 解： 2pd=ln4.2=1.44 z=1+1=0.05 d22Td=1.8T=1-z2Td=1.754f =0.572.11 图示一弹性杆支承的圆盘，弹性杆扭转刚度为kt，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为Td 。求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系。解： Jq+mq+ktq=0 wnm2kt2pm21-z=1-TdJ4Jkt24p2=2Td4p2J4p2J2=1-m=2Jkt-24JktktTdTd2 4p2J2M=2Jkt-qTd22.12 在图示振动系统中，假定阻尼为临界阻尼。已知k=175N/m，m=1.75kg，
8、初位移x=1cm，初速度x=-12cm/s。当t=0时放松质量块。求： 第一次到达静平衡位置的时间？ 过静平衡位置后的最大幅值为多少？所需时间为多少？ 解: 临界阻尼状态下系统自由振动的解为 x=e-wntx0+(x0+wnx0)t平衡位置x=0wn=km=10rad/s代入式中，t=-x0x=0.5s0+wnx0最大幅值时x=0代入式中，t=-x0xw=0.6s0+nx0xmax=0.000496cm2.13图示振动系统中有一小阻尼，因此wdwn。质量块的质量为9kg，其在自然静止状态的弹簧伸长为12mm。在系统的自由振动20周内观察到振幅由10mm衰减到25mm。求：(1)系统的阻尼系数?
9、(2)衰减系数；(3)阻尼比；(4)临界阻尼。 解： k=99.80.012=7350N/mw=knm=28.58rad/s2z=12pd+1d=11020ln2.5=0.069 z=0.011n=zwn=0.314cc=2km=514.4c=zcc=5.66214 图示弹簧质量振动系统，假设均质杆杆长为l，质量为m，且杆端有集中质量m。试写出运动微分方程并求出临界阻尼系数和阻尼固有频率。 l1mx12解：Ta=mx+02ll24me=m3214xdx=mx22321b1b22b2Ua=kx=2kxke=2k2l2ll1a1a22a2Da=cx=2kxce=2c2l2ll4a2cb2kmx+2
10、x+2x=03ll4bkmcc=2meke=l32ce3a4c22z=2=cc16b2l2km2wn=b3kw fd=n1-z22lm2p2.15 一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用。求发生加速度共振时的频率比 。 解：设激振力为Fx=0k1(1-l)+(2zl)222f(t)=F0sinwt Fsin(wt-y)x=0ml2(1-l)+(2zl)222sin(wt-y+p) 即为求f(l)=l2(1-l)+(2zl)222当l为何值时取极大值 m=1l2f(m)=1(1-m)2+4z2m11-2z2=1m2-2(1-2z2)m+1m=1-2z2l= 时发生加速度共振2.16在图示
11、的弹簧-质量系统中，在两弹簧连接处作用一激励力。试求质量块m的振幅。不考虑自由振动。 解： mx+kx+k(x-x1)=0 Fsinwt+kxFsinwtx k(x1-x)+kx1=Fsinwtx1=+ 2k2k2 31 mx+kx=Fsinwt 22 3k wn=2m 1F1F1Fx=2sinwt=sinwt=sinwt 2231-l22mw3k3k-2mwk1-23kFB=3k-2mw22.17 计算初始条件，以使mx+kx=F0sinwt的响应只以频率w振动。 解： x0lB0B0x=x0coswnt+sinwnt-sinwnt+ 22w1-l1-l nx0lB0 x0coswnt+si
12、nwnt-sinwnt=02 wn1-l x0=0 x0lB0lB0wnB0wF0w =x0=222 wn1-l1-l1-lk-mw2218 图示振动系统的物理参数均为已知。上面sinwt的支座进行简谐振动xs=a0sinwt求：(1)质量块稳态振幅与a0。的比值；(2)质量块的稳态响应。 解：mx+cx+kx=cxsH(w)=B(1)=a0cwcwik-mw2+cwi(k-mw)22+c2w2mw2-k(2)y=arctancwx=Bsin(wt-y)2.19 求系统在图示简谐运动作用下的响应。 解： Jq+kb(bq-ecoswt)-mgaq=0ma2q+(kb2-mga)q=kbecos
13、wt1H(w)=2kb-mga-ma2w2 kbeq=2coswt 22kb-mga-maw2.20 求系统在图示简谐运动作用下的运动方程。 x-esinwt=q 解：ax-esinwtmxa+kb(bq-esinwt)=0mxa+kbb-esinwt=0ama2x+kb2x=kb(a+b)esinwt2.21 15千克的电动机由四个相等的弹簧支承，每个弹簧的刚度为2.5KN/m。电动机组件相对于其轴线的回转半径为100mm，转速1800转/分。分别求垂直和扭转振动时的隔振率。 解： 1800w=2p=188.5rad/s 60垂直振动： wn=4kw=25.8rad/s l=7.3mwn 1
14、ha=2=0.019e=(1-ha)100%=98.1%l-1扭转振动： Jq+4kR2q=0342.510(0.14)4kRw2wn=36.1rad/s l=5.222J150.1wn22ha=1=0.038e=(1-ha)100%=96.2%2l-12.22图示振动系统的各物理参数均为己知量。(1)写出系统的振动微分方程；(2)写出激励函数的前面四项；(3)写出系统稳态响应的前三项。 解:(1)mx+cx+2kx=kxs1112p (2)xs=d(-sin nwt) w=2pn=1nT dd2pd4pd6pxs=-sint-sint-sint-2pT2pT3pT2kcwn= z=m22km
15、 dd12nzl x=-H(nw)sin(nwt-yn) yn=arctan4pn=1n1-n2l2 k1/2=(3)H(w)=22k-wm+cwi1-l2+2zliddx=-42pd4p1(1-l12222)+(2zl)222zl2psint-arctan-21-lT2.23用杜哈美积分求无阻尼弹簧质量系统对简谐激励f(t)=F0sint 的响应。设初始条件为零。 (1-4l)+(4zl)t4zl4psint-arctan-21-4l TFx=0mwnF01twt-wn(t-t)-coswt+wn(t-t)dt0sinwtsinwn(t-t)dt=mwn20cosF01t=cos(w+wn)
16、t-wnt-cos(w-wn)t+wntdtmwn20F0kF0wnw=2sinwt-lsinwnt)sinwt-sinwnt=2(mwnwn-w2wn1-l 2.24 无阻尼弹簧质量系统受到图示梯形脉冲激励作用。质量的初始位移为0，但具有初始速度v0。求系统在t=0.03s时的响应。 解:x(t)=v0wnv0sinwnt+1mwn0.0100.01f(t)sinwn(t-t)dtF0(1-50t)sinwn(t-t)dt1 =sinwnt+wnmwnv000.01F050 =sinwnt+coswn(t-t)0.01-50tcosw(t-t)+sinw(t-t)nn20wnmwnwn0F=
17、sinwnt+02wnmwnt=0.03代入F=sin0.03wn+02wnmwn=v0v05050(cos0.02wn-cos0.03wn)-0.5cos0.02wn+wsin0.02wn-wsin0.03wnnnv05050(coswn(t-0.01)-coswnt)-0.5coswn(t-0.01)+wsinwn(t-0.01)-wsinwnt nnwnsin0.03wn+F0k50500.5cos0.02w-cos0.03w-sin0.02w+sin0.03wnnnnwwnn说明：多自由度系统的运动方程都应写成矩阵形式。 31 图示不计质量的刚杆，长度为2l，在其中点和左端附以质量m1
18、,m2，两端的弹簧刚度为k1,k2。求此系统的运动方程。 x 1 解： x 2 m1x1l+k1x1l-k2(2x2-x1)l=0m2x2l+k2(2x2-x1)2l=0m1x1+(k1+k2)x1-2k2x2=0m2x2-2k2x1+4k2x2=0m100x1k1+k2+m2x2-2k2-2k2x10=4k2x20m1x12l+k1x12l+m2x2l=0m2x2l+k2(2x2-x1)2l=02m1x1+m2x2+2k1x1=0 m2x2-2k2x1+4k2x2=00x102m1m2x12k10mx+-2k4kx=0222223.2推导图示系统的运动方程。 解： m1000m200x1k1+k2x+-k022m3x30-k2k2+k3+k5+k6-k3x1p1(t)x=pt-k322()k3+k4x3p3(t)03.3 推导图示系统的运动方程。绳与圆盘间无相对滑动. m1x+k1(x-rq)=0 解：1mr2q+kr2q+krq-xr=0 )221(2m10xk1+12m2rq-k1r20-k1rx02= (k1+k2)rq0
