教学片断与案例.docx

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1、教学片断与案例教学片断与案例 1、综合法和分析法的一个教学片断 师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？ 引例1已知a,b0,求证a(b+c)+b(c+a)4abc 证明：因为b+c2bc,a0，所以a(b+c)2abc， 因为c+a2ac,b0，所以b(c+a)2abc. 因此, a(b+c)+b(c+a)4abc. 引例2已知a,bR，求证：证明：要证+2222222222222222a+bab 2a+bab，只需证a+b2ab， 2只需证a+b-2ab0，只需证(a-b)20 因为(a-b)20显然

2、成立，所以原不等式成立 a,b,c0 引例3已知a+b+c0,ab+bc+ca0,abc0.求证：证：设a0，bc0，则b+c=-a0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，必有a0. 同理可证：b0,c0 设计意图：通过三种证明方法案例的展示，引导学生观察、比较、辨析、思考三种证明方法的形式、特点，为归纳、抽象、概括三种证明方法提供感性认识，也为理解不同证明方法的表述形式打下基础引例1、2的方法是本课要学习的重点内容，引例3的方法是下一课的学习任务，在此给出引例3有两方面的作用，一方面，让学生对不同方法有一个整体认识与了解，另一方面，为下一课的学习作好铺垫 对三个引例，引导学生分两个层

3、次比较、归纳第一层次的比较，是否直接针对结论进行证明？得出直接证明与间接证明；第二层次的比较，是引例1、2之间，证明的起点及逻辑推理形式，由此可引导学生归纳、概括出本课重点学习的两种方法：综合法与分析法 2、归纳探索的一个教学片断 问题情境：传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 每次只能移动1个圆环； 较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 请你推测：把64个圆环从1号针移到3号针,最少需要

4、移动多少次? 2 启发性思考：首先，你是否理解了这个问题？是否理解清楚了圆环的移动规则？是否明白了问题要求什么？然后，你打算怎样考虑这个问题？能否把问题化简单、化容易一些？怎样的情况会更简单、更容易呢？ 这一系列的启发性思考问题，在于引导学生在面对一个新问题或较难的问题时，首先要准确理解好问题，然后学会寻找问题的切入点 生成预设：片数较少的情况会更简单、更容易，先考虑片数较少的情况，看看1片、2片、3片、，等情况，再找找方法规律或联系，考虑解决更难、更一般的情况. 操作实验：可先让学生进行适当的思想实验，想明白1片、2片、3片时的情况，并引进符号an表示n片圆环的移动次数； 再用课前备好的四个

5、大小不一的圆环，让两位学生对2个、3个、4个圆环的情况分别进行实际操作试验，其他学生注意观察并思考规律 生成预设：表面的试验观察结果可能只是 a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,L， 进而发现规律 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1，猜想a64=264-1 更进一步的试验、观察可能发现：a1=1,a2=1+2,a3=1+2+4,a4=1+2+4+8,L 即：对于两个圆环，底下一个只要移动1次，上面一个则要移动2次；对于3个圆环，由下到上，第1个只要移动1次，第2个需要移动2次，第3个则要移动4次；对于4个圆环的情况可作同样解释 进而猜想a64=1+2+22+L+26

6、3=264-1 1 3 更深入的试验、观察、思考可能发现更本质的移动规律，在理性的层面上解决问题：移动n个圆环时，只要化归为移动n-1个圆环即可，第一步，先把上面的n-1个圆环按要求移到2号针上，需移an-1次；第二步，把最底下的第n个圆环移到3号针上，需要移1次；第三步，再把2号针的n-1个圆环移到3号针，需要再移an-1次，从而得an=2an-1+1，这样就可依次求得各种圆环数的移动次数，或转化为等比数列an+1=2(an-1+1)，结合a1=1，求得通项an+1=22n-1，即an=2n-1 移动3个、4个圆环的情况，学生可能会有一些困难要根据学生的实际情况，给予适当的点拨、提示，或质疑

7、启发 缺乏思维指导的学生可能只是盲目地、孤立地试验各种情况，这样，要试验求出a3、a4就更困难，而求出a3、a4对于归纳猜想又是关键所在 预设体现了更进步的观察、归纳，是注意到试验中每个圆环的移动次数规律性，从这样的角度，可能更有利于得出a3、a4 预设则体现了更深的理性思考，这要从联系与转化的角度进行观察、思考 让学生进行实际的试验操作，给学生以感性体验，并通过动手操作，促进思维领悟，这也体现了一种思维训练，在这过程中，也能体现学生不同的思维层次与多种思维品质，对激发学生的探究兴趣也可能有积极的作用另外，从省时的角度，也可考虑运用多媒体课件进行移动圆环的演示实验，并引导学生进行观察、思考，这

8、种技术手段同样能产生较好的直观效果，也有利于学生的观察发现，但这种观察有一定的被动性 在教学中，如何挖掘不同层次的学生思维潜能，让学生感受不同角度、不同层次的观察、思考，归纳、概括，是值得我们教师下功夫的地方，相信这对学生的思维训练是大有好处的 3、案例 案例1：头上戴的帽子的颜色 有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。 聪明的你，想想看，他们是怎样推

9、算出来的呢？他们怎样能够从别人头上帽子的颜色，正确地推断出自己头上帽子的颜色的呢？ “为了解决上面的伺题，我们先考虑“2个人，1顶黑帽，2顶白帽”问题因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子看到这里。同学们可能会拍手称妙吧 后来，华罗庚还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干顶白帽子”的问题怎样解决呢？运

10、用同样的方法，便可迎刃而解他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃 简化问题：有位老师想辨别他的二个学生谁更聪明. 他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色. 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” . 聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？ 这里的思维方式就是推理. 案例2：探索活动是如何进行的？ 面对着一个装有不明物的袋子，观察者问自己

11、，这袋子里装的是什么？于是探索活动开始了。 从一个袋子里摸出的第一个是红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时，我们会出现另一种猜想：“是不是袋里的东西全都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时，我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还必须继续加以检验，要把袋里的东西全部摸出来，才能见个分晓。 袋子里的东西是有限的，迟早总可以把它摸完，由此可以得到一个肯定的结论，但是，

12、当东西是无穷的时候，那怎么办？ 如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的东西，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证之下，就不必费力去一个一个地摸了。只要第一次摸出来的确实是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西全部是红玻璃球”。 华罗庚举的这个例子，是对简单枚举归纳推理结论性质的一个通俗说明。 人们应用简单枚举归纳推理，当然可以从为数不多的事例中推导出普遍的规律性来，然而这还是一个“猜想”。这种猜想对不对，还必须进一步加以验证。因为对于不完全归纳推理来说，结论所断定的范围超过了前提所断定的范围，所以，它的结论就不具有必然性，它可能真，也可能假。

13、从一个袋子里摸球，连续摸了五次，摸的都是红玻璃球，这时候，我们可以通过简单枚举归纳推理得出结论：“这个袋子里装的都是红玻璃球。”但是，你在得出这个结论时，必须清醒地认识到这个结论是不可靠的。正如这个例子所表明的，你第六次摸出的，却是白玻璃球了，这就把你的这个结论推翻了。因此，当你摸了六个球时，虽然可以得出“这个袋子里装的都是玻璃球”的结论；摸第七个球时，可以得出“这个袋子里装的都是球”的结论，但必须明白，这些结论同样都是或然的。总而言之，我们在进行简单枚举归纳推理时，必须充分估计到其结论的或然性。 案例3：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此

14、，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油； 案例4：三角形的内角和为，四边形的内角和为，五边形的内角和为，所以边形的内角和为； 0，. 案例52014北京卷 已知函数f(x)xcos xsin x，x2(1)求证：f(x)0； sin x0，恒成立，求a的最大值与b的最小值 (2)若ab对x2xsinx，探索g(x)的上界与下界， xxcosx-sinxf(x)0，上递减， =0考虑单调性g(x)=，在g(x)2x2x2pp22故有gg(x)g(0)，又g=，从而下界是； 22pp思考：设g(x)=0， 但g(0)没有意义，这就得不到上界。联想到sinxxtanx，x2sinxsinx1，猜想：上界

15、是否为1？即x0,是否1？ xxsinxsinxcosx1，x0时，cosx1，再由sinxx18若a1=6，写出集合M的所有元素； 若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； 求集合M的元素个数的最大值 2a，a18，由已知an+1=nn可知：2a-36，a18nna1=6,a2=12,a3=24,a4=12,M=6,12,24 因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍2a，a18，数，由已知an+1=nn，可用数学归纳法证明对任意nk，2a-36，a18nnan是3的倍数，当k=1时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果k1时，因为ak=2ak-1或2a

16、k-1-36，所以2ak-1是3的倍数，于是ak-1是3的倍数，类似可得，ak-2,L,a1都是3的倍数，从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数. 另外，用反证法可有多种灵活的证法。 参考文献：杨平、王文英：XX年北京高考理科数学压轴题精彩回放，中小学数学201510，数学通讯201511下； 首先M中的元素都不超过36。由a136，易得a236，类似可得an36；其次，M中的元素最多除前两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必为偶数，故第三个数及后面的数都必是4的倍数；又，an+1与2an除以9的余数相同。 若M中的元素有3的倍数，则由知，所有的an都是3的倍数，考察an

17、除以9的余数，只能是3，6，3，6，或6，3，6，3，或0，0，0，0，。而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36。于是，M中的数从第三项起，最多只有两项，即M中最多只有4个元素。 若M中的元素没有3的倍数，则所有的an都不是3的倍数，考察an除以9的余数，只能在1，2，4，5，7，8中取值，又，an+1与2an除以9的余数相同，故a1,a2,，an除以9的余数，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，中前6个数的某一个开始依次取值，从a3起，又是4的倍数，且不超36，故只有28，20，4，8，16，32。因M中最多可有8个元素，此，且a1=1时，有M=1,2,4,8,16,32,28,20。 另外，也可用穷举法，对首项分36种情况，把集合M的所有情况穷举出来，进行说明；或者用穷举法结合分析法以减少穷举的数量。 本题考查数列的有关知识，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，涉及整数性质等数论知识与方法，问题的解决充满了数学实验的成分，体现了解决方法的灵活性，思维入口宽，既可以从合情推理入手再进行演绎推理，证明结论；也可直接通过演绎推理解决问题；还可用数学实验和完全归纳法进行归纳.