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1、数列极限的解法doc0.引言 在数学分析的学习过程中, 极限的思想和方法起着基础性的作用，极限的基本思 想自始至终对解决分析学中面临的问题起关键作用，而数列极限又是极限的基础.涉及到数列极限的问题有很多，包括数列极限的求法、给定数列极限存在性的证明等.数列极限的证明和求解是较为常见的一种题型，数列极限反应的是数列变化的趋势，其证明和求解也是数学分析题中的重点，主要原因是其证法与求法没有固定的程序可循，方法多样，技巧性强，涉及知识面较广，因此在数学刊物上常可看到这类文章，但大多是对某一些或某一类数列极限的证明或求解，很少系统地探索数列极限证法和求法的基本技巧和方法. 随着社会的快速发展及数学本身
2、的发展,迫切地需要对这些方法进行归纳. 当前,有不少文献对数列极限求解方法做了一些探讨,如文献1-10,但是方法的应用举例较少,不全面. 在高等数学竞赛及研究生入学考试中, 数列极限求解方法是经常出现的一种题型. 这些都说明: 数列极限求解方法是一个重要的研究课题. 本文作者将对有关数列极限求解的方法做比较全面系统的归纳,同时举例进行说明. 本文归纳了十五种方法. 1.定义法 e-N定义：设an为数列，a为定数，若对任给的正数e，总存在正数N，使liman=a.否则称an得当nN时，有an-a0. n1n 证：当a=1时，结论显然成立. 当a1时，记a=a-1，则a0，由a=(1+a)1+na
3、=1+n(a-1) 1a-1a-1=N时，就有an-10，则当nne1n1nn1na-1e即lima=1, n1n1n 当 1110a1,由上易知limbn=1,liman=nna1limbn1n=1综上，lima=1,a0 n1n7n例2.求limnn!7n7777777777771= 解：= n!12789n-1n7!n6!n7717n7717n771-0e0,$N=,则当nN时，有n!-06!nNe0,$正整数N，时，有an-ame. 例3.证明：数列xn=证sink(n=1,2,3,)为收敛数列. k2k=1n1-n-msin(m+1)sinn1112)11xn-xm=+0，取N=，当
4、nmN时，有xn-xm0,$正整数N，使得当nmN时，有 yn-yme 此即xn-xmxn-xn-1+xn-1-xn-2+xm+1-xmxn,kN (2) 此即证xn单调递增. 用数学归纳法可证xn+1xn， 事实上， 0xn+1a+xna+a+1N时，有ancnbn，则数列cn收敛，且limcn=a. n例6.求 12nlim2+2+2 nn+n+1n+n+2n+n+n12n+2+2解：记xn=2，则 n+n+1n+n+2n+n+n1+2+n1+2+n xnn2+n+nn2+n+1n(n+1)n(n+1)x n2(n2+2n)2(n2+n+1) limn(n+1)1n(n+1)=lim 2n
5、2(n2+2n)n22(n+n+1)12n1+2+2由迫敛性得lim2=. nn+n+1n+n+2n+n+n2注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用. 5利用定积分的定义计算极限 黎曼积分定义：设为f(x)定义在a,b上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数e0，总存在某一正数d，使得对a,b的任意分割T,以及在其上任意选取的点集xi,xixi-1,xi只要Td，就有f(x)ii=1nxi-Je， 则称函数f(x)在a,b上可积，数J为f(x)在a,b上的定积分，记作J=f(x)dx. ab例7.lim(n!)n-n(2n!) n 解：原式=limn
6、n-11n(2n)!=limn(n+1)(n+2)(2n) n!nnnnnn12n1i =lim1+1+1+=explimln1+ nnnnni=1nn1n =exp(ln(1+x)dx)=exp(2ln2-1) 10p2pnpsinsinsinn+n+n 例8.求limn11n+1n+n+2n 解：因为p2pnpp2pnpp2pnpsin+sin+sinsinsinsinsin+sin+sinnnnn+n+nnnn11n+1n+1n+1n+n+2nnsinpn+sin又limn2pnp+sinnn=limn1psinp+sin2p+sinnpnn+1pnn+1nnn 2pnp+sinnnn=
7、1psinxdx=2 =limnn+1p0pp2pnpsin+sin+sinnnn=2 同理limn1pn+np2pnpsinsinsinn+n+n=2. 由迫敛性得limn11n+1n+n+p2n注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。 6利用归结原则求数列极限 sin+sin归结原则：limf(x)=A对任何xnx0(n)，有limf(xn)=A xx0pne1n-1例9. 求lim n1ne1n-e0e1
8、n-1=(ex)x=0 解：lim=limnn11-0nn =1 11 例10.计算lim1+-2 nnnn111解：一方面，1+-21+e(n) nnnnn11n-1另一方面， 1+-2=1+2nnnnn2n-n-1n-1n-11+2nn2-2n-1n2,n=2,3,） 由归结原则定理求数列极限 stolz定理1：型：若yn是严格递增的正无穷大数列，它与数列xn一起满足limnxn+1-xnx=l，则有limn=l.其中l为有限数，或+，或-. nyyn+1-ynn0 stolz定理2：型：若yn是严格递减的趋向于零的数列，n时 xn00且limnxn+1-xnx=l，则有limn=l.其中
9、l为有限数，或+，或-. nyyn+1-ynn1p+2p+np例11.求极限lim(pN). p+1nn解：令xn=1+2+n,yn=nppppp+11p+2p+np,nN.则由定理1得lim= nnp+1pn+1)(n+1) lim=lim=p+1p+1nnp+1p()(n+1)-nnp-1+1(p+1)np-1 p+12此题亦可由方法五求得，也较为简便，此略. 例12.设sn=lnCk=0nknn2,求limsn n 解：令yn=n2，则yn单增，于是由定理2得limsn= limk=0nnn+1kn+1nknlnCn2nkn= n+1n+1lnC-lnCln(n+1)ln(n+1)-ln
10、kn-k+1k=0k=0k=1limk=0limlim = 22nnn(n+1)-n2n+12n+1nnn+1lnn+1)ln(n+1)-nlnn-ln(n+1)(1n=lim=. =limnn2n+122注：Stolz定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达法则. 8利用级数求和求数列极限。 由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决. n12例13.求 lim+2+n， naaa1 解：令x=，则x1，考虑级数nxn. an=1n+1)x(an+1li
11、m=limnanxnnnn+1=x0， xn+1=2(1+xn)(n=0,1,2,).(1),证明数列xn收敛，并求2+xn极限limxn n证：x00，可得xn0(n=0,1,2,) 令f(x)=2(1+x)21,(x0),则0f(x)=，0,(n=0,1,2,)，考虑级数xn+1-xn， 2+xnf(xn)-f(xn-1)f(x)(xn-xn-1)1xn+1-xn 由于= xn-xn-12xn-xn-1xn-xn-1 所以级数xn+1-xn收敛，从而(xn+1-xn)收敛. n=0n=0令sn=(xk+1-xk)=xn+1-x0，limsn存在 limxn+1=x0+limsn=l存在 k
12、=0nnnn对式两边取极限有l=limxn=2. n2(1+l)，l=2或l=-2 2+l111例15.证明lim1+-lnn存在. nn231111lnn-ln(n-1)证：设an=1+-lnn，则an-an-1=- n23n 对函数y=lnn在n-1,n上应用拉格朗日中值定理得 lnn-ln(n-1)=an-an-1=1(0q1)，所以n-1+q11q-11-=0,求lim解：对于固定的x，当n时，nsinnx 3n1单调趋于无穷，由施笃兹公式，有 sinnx limnsin2nx=limnnn+1-11=lim=lim nnn11111-sin2nxsin2n+1xsin2nxsin2(
13、sinnx)sin2nx221t4-t6+o(t6)1tsint3=lim=lim=lim 22t0+11t0+t-sintt0+2214-2t-t-t+o(t4)2sintt311t4-t6+o(t6)1-t2+o(t2)33=lim=lim=3 +t0+14t01t+o(t4)+o(1)3311.利用微分中值定理求极限 拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛.下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用 aa例17.求limn2arctan-arctan，(a0) nnn+1aa,应用拉格朗日中值定理，得 解：设f(x)=a
14、rctanx，在n+1na f-n1aaaaaf=-,x,， 2n+11+xnn+1n+1n故当n时，x0，可知 原式=limn2nan=a. 1+x2n+112.巧用无穷小数列求数列极限。 引理：数列xn收敛于a的充要条件是：数列xn-a为无穷小数列 注：上述引理说明，若limxn=a，则xn可作“变量”替换：令xn=a+an，其中nan是一无穷小数列. 定理1 ：若数列an为无穷小数列，则数列an也为无穷小数列，反之亦成立 定理2 ：若数列an为无穷小数列，则数列(a1+a2+an)n也为无穷小数列 推论1 ：设数列an为无穷小数列，则数列数列 例18.(算数平均收敛公式)设limxn=a
15、，求极限limnn(a1+a2+an)n也为无穷小x1+x2+xn. nn 解：由limxn=a，作“变量”代换，令xn=a+an，其中an是一无穷小数列.由定理2的结论有lim(a+a1)+(a+a2)+(a+an)x1+x2+xn=lim nnnn=limna+(a1+a2+an)(a+a2+an)=a+0=a=a+lim1. nnnn 此题还可以用方法一证明，也可通过方法七求得，此略. xy+xy+xny1例19.设limxn=a，limyn=b，求极限lim1n2n-1. nnnn 解：由limxn=a，limyn=b，作“变量”代换，令xn=a+an，yn=b+bn，nn其中an，b
16、n是一无穷小数列，故lim(a+a1)(b+bn)+(a+an)(b+b1)x1yn+x2yn-1+xny1=lim nnnna+anb+bna1bn+anbn+a1+=limab+b1 nnnn因为an0，bn0(n)，所以是bn有界数列，即bnM，从而结合上述推论1有a1bn+anbnnMa1+a2+ann0(n)， 再根据定理1，便有又由定理2可知aa1bn+anbnnn0(n) b1+bn0，ba1+ann0(n) x1yn+x2yn-1+xny1=ab. nn注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法用这种方法求某类数列的极限是极为
17、方便的 13.利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限。 lim定理1：设函数f(x)，g(x)在x=0的某个领域里有意义，g(x)0，limx0nnf(x)=1，g(x)且当n时，amn0(m=1,2,3,)，limf(amn)=limg(amn)则在右端极nm=1nm=1限存在时成立. i3例20.求极限lim 1+-1nni=1n1 解：令f(x)=31+x-1，g(x)=x，当x0时，31+x-1x，由定理1得 3ni1i11131+lim-1=lim2=. nnn3n326i=1i=1ni22例21.求lim1+3a， nni=1nni23 解：原式=explimln1+3a ni=1
18、n 令f(x)=ln(1+x)，当x0时，ln(1+x)nx，由定理1得 nn(n+1)(2n+1)212i23i23a=a limln1+3a=lim3a=lim3nnn6n3i=1i=1nni221 lim1+3a=expa2. nn3i=1n注：我们知道，当x0时，函数sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ex-1,ln(1+x)都x与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的f(x)的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果. 14.利用压缩映射原理求数列极限。 定义1 ：设f(x)在a,b上有定义，方程f(x)=x在a,
19、b上的解称为f(x)在a,b上的不动点。 定义2：若存在一个常数k，且0k1，使得x,ya,b有f(x)-f(y)kx-y，则称f(x)是a,b上的一个压缩映射。 压缩映射原理：设称f(x)是a,b上的一个压缩映射且x0a,b,xn+1=f(xn),对nN，有xna,b，则称f(x)在a,b上存在唯一的不动点c，且limxn=c， nn=1,2, a+x2na例22.设x1=，xn+1=xn. (0a1)，n=1,2,，求limn22ax21+a1+ax0, 解：考察函数f(x)=+，x0,，易见对有，又2222a+x2na1+a1+axn+1=f(xn)，x1=0,，fx=x1 ()2222
20、 所以 f(x)是压缩的.由压缩映射原理，数列xn收敛. ax21+a 设limxn=c，则c是x=+在0,的解，解得c=1-1-a，即 n222 limxn=1-1-a. n例23.证明数列xn=a+a+a极限存在，并求4limxn. n 解：易知xn=a+xn-1，考察函数f(x)=a+x，x0,+)且在0,+)上有 f(x)=111，因此f(x)在0,+)上是压缩的. 2a+x2ax1=a0,+)，xn+1=f(xn)，由压缩映射原理，数列xn收敛且极限为方程 x=f(x)=a+x的解，解得limxn=n1+1+4a. 2此题也可通过方法三解得，此略. 注：压缩映射原理在实分析中有着十分
21、广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决. 15.利用矩阵求解一类数列的极限 .若数列的递推公式形如xn=pxn-1+qxn-2且x0,x1已知， 解法：将递推公式写成矩阵形式，则有 xnpqxn-1pq=xx1010n-2n-1n-1x1，n=2,3, x0n从而可利用线性代数知识求出xn的表达式，并进一步求出limxn. .若数列的递推公式形如xn=n=1,2,） axn-1+b且x0已知，可以求解. 解法2.设与关系式x1=axn-1+bcxn-1+dabax0+b对应的
22、矩阵为A=，由关系式cx0+dcbxn=逐次递推，有xn=aanx0+bn，其对应的矩阵为B=ncnx0+dncnbn，利用数学归纳法dnn易证得B=An，通过计算An可求出xn的表达式，并进一步求出limxn. 例24.证明满足递推公式xn+1=axn+(1-a)xn-1(0a1)(的任何实数序列xn有一个极限，并求出以a,x0及x1表示的极限. 解：由已知可得 xna1-axn-1a1-a =x=x100n-21n-1n-1xx1n-11=A，x0x0a1-a01 矩阵A的特征值l1=1,l2=a-1，对应的特征向量分别为x1=(1,1),x2=(a-1,1) 011-a1-1令P=(x1
23、,x2)=，则PAP=，从而 110a-1An-11=P0-111a-11=n-1P112-aa-1()0011-an-1 (a-1)-110nn1-a+(a-1)11-(a-1) =n-1n-12-a1-(a-1)1-a+(a-1)1nn于是 xn=1-(a-1)x1+1-a+(a-1)x0. 2-a1n因为a-11， 所以lim(a-1)=0，从而limxn=(1-a)x0+x1. nn2-a例25.已知斐波那契数列定义如下： ()() Fn+1=Fn+Fn-1(n=1,2,;F0=F1=1) 若令xn=此极限. 解：显然x1=Fn1，则,x0=1且xn=，(n=1,2,)，证明极限lim
24、xn存在并求nFn+11+xn-1011+51-51l=,l=，相应矩阵A=的特征值，对12221+x01122应的特征向量分别为x1=,1,x2=,1.令 1+51-52 P=(x1,x2)=1+51-121=l11-5111-ll2=211-l111l1-1P=， -1-l152l1nl10n则有PAP=.于是A=P0l200-1l1n-1-l2n-1l1n-l2nP=n nnn+1n+1l2l1-l2l1-l2l1n-1-l2n-1+l1n-l2n 从而xn=n,n=1,2,)， nn+1n+1(l1-l2+l1-l2由于l21，上式右端分子、分母同时除以l1n，再令n，则有 l1Fn5
25、-1. =nF2n+1limxn=limn注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用. 致谢： 本文的成稿在很大程度上得益于我的论文指导老师陈文略，没有他热情的指导和耐心的修改,是不可能完成的. 在此,向陈老师表示深深的谢意! 文献资料： 1华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社.2001 2孙涛数学分析经典习题解析M. 北京：高等教育出版社.2004. 3裴礼文数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社.1993 4陈文灯数学复习指南M.北京：世界图书出版社.2005. 5钱吉林主编.数学分析题解精粹武
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