数值分析典型例题.docx

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1、数值分析典型例题第一章典型例题 例3 ln2=0.69314718，精确到103的近似值是多少？ 解 精确到1030.001，即绝对误差限是e0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 2x1+x2+4x3=-13x1+2x2+x3=4 x+2x+4x=-1231解 顺序消元 4-14-1214-1r2+r1(-3/2)21212)r3+r1(-1/r3+r2(-3) AMb=321400.5-55.500.5-55.5124-101.52-0.50017-17于是有同解方程组 2x1+x2+4x3=-10.5x2-5x3=

2、5.5 17x3=-17回代得解 x3=1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T 例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组 x1+2x2-2x3=1x1+x2+x3=3 2x+2x+x=5231解 建立迭代格式 (k+1)(k)(k)x1=-2x2+2x3+1(k+1)(k)(k)=-x1-x3+3(k=1,2,3,) x2(k+1)(k)(k)=-2x1-2x2+5x3第1次迭代,k=0 X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T 第2次迭代，k=1 (2)x1=-23+25+1=5(2) x2=-1-5+3=-3(2)x3=-21-23+

3、5=-3X(2)(5,3,3)T 第3次迭代，k=2 (3)x1=-2(-3)+2(-3)+1=1(3) x2=-5-(-3)+3=1(2)x3=-25-2(-3)+5=1X(3)(1,1,1)T 第4次迭代，k=3 (2)x1=-21+21+1=1(2) x2=-1-1+3=1(2)x3=-21-21+5=1 X(4)(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 12-2 A111221于是 100 D010001 D1D 000 L=10022002-2 U=001000 雅可比迭代矩阵为 10002-202-

4、2101=-101 B0-D-1(L+U)=-010001220220l2-2l20lI-B0=1l1=1ll+122l22l+2=ll(l+2)-2(l+1)-2l+2-2(l+1)=l3=0得到矩阵B0的特征根l1,2,3=0，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯赛德尔迭代矩阵为 -1G(D+L)U 100110221-10002-202-2102-2001=-110001=-0-23 0000-2100000-22-2lI-G=0l-23=l(l-2)2=0 00l-2l解得特征根为l1=0，l2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯

5、列主元消去法解线性方程组 1x1+2x2+x3=02x1+2x2+3x3=3 -x-3x=221作第次消元后的第2，3个方程分别为 。 答案：x2-0.5x3=-1.5-2x+1.5x=3.523 解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到 x2-0.5x3=-1.5-2x 2+1.5x3=3.5是应填写的内容。 3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 x1+2x2-2x3=1x1+x2+x3=3 2x1+2x2+x3=5的迭代格式中x(k+1)2 (k=0,1,2,) 答案：3-x(k+1)-x(k)13 解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的

6、结果，求的值时应该用上x1的新值。 第三章典型例题 例1 已知函数y=f(x)的观察数据为 xk 2 0 4 5 yk 5 1 3 1 试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f(1)的近似值。 只给4对数据，求得的多项式不超过3次 解 先构造基函数 l)(x-50(x)=x(x-4)(x-5)x(x-4(-2-0)(-2-4)(-2-5)=-)84 l(x+2)(x-4)(x-5)(x+2)(x-4)(x-5)1(x)=(0-(-2)(0-4)(0-5)=40x2 l2(x)= l3(x)=(x+2)x(x-5)x(x+2)(x-5) =-(4+2)(4-0)(4-5)24(x+2)x(

7、x-4)(x+2)x(x-4)= (5+2)(5-0)(5-4)35所求三次多项式为 P3(x)=yklk(x) k=0 -5x(x-4)(x-5)84n(x+2)(x-4)(x-5)40(-3)x(x+2)(x-5)24(x+2)x(x-4) 35 5x3-1x2-55x+1 421421515524-+1=4214217 f(1)P3(1)- 例3 设x0,x1,x2,.,xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k=0,1,2,.,n)是拉格朗日插值基函数，证明： (1) lk=0nk(x)1 (2) lk=0nkm(x)xkxm(m=0,1,2,.,n) 证明 (1) Pn(x)=y0

8、l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=yklk(x) k=0nf(n+1)(x) QRn(x)=wn+1(x),f(x)=Pn(x)+Rn(x) (n+1)! 当f(x)1时， f(n+1)(x)1Pn(x)+Rn(x)=1lk(x)+wn+1(x) (n+1)!k=0kn由于f (n+1)(x)=0，故有lk(x)1 k=0(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0mn), 作拉格朗日插值多项式，有 f(n+1)(x)xPn(x)+Rn(x)=xl(x)+wn+1(x) (n+1)!k=0mnmkk当nm1时，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 xk=0

9、nmkkl(x)xm 注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0, 利用上结果，有 Qn(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 =anlk(x)x+an-1lk(x)xnkk=0k=0nnn-1k+.+a1lk(x)xk+a0lk(x) k=0k=0nn =k=0nnnlk(x)anxk+n-1an-1xk+.+axk+a0=Q(xnk=0nk)lk(x) 上式Qn(xk)lk(x)正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉k=0格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是

10、它自身。 例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是 k 1 2 3 4 5 xk 1 2 3 4 5 yk 4 4.5 6 8 8.5 2 xkxkyk 4 9 18 32 42.5 1 4 9 16 25 S 15 31 55 105.5 5a0+15a1=3115a0+55a1=105.5解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x 例6选择填空题 1. 设y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是

11、 (就唯一性回答问题) 答案：唯一的 3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) f(n+1)(x)(A) Rn(x)=f(x)-Pn(x)=wn+1(x) (n+1)!(B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) f(n+1)(x) (C) Rn(x)=f(x)-Pn(x)= (n+1)! (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) 答案：(A)，(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题 例1 试确定求积公式-1f(x)dxf(-113)+f(13)的代数精度。 依定义，对xk(

12、k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值 解 当f(x)取1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)=1,有 左边-1f(x)dx=-11dx=2, 右边f(- (2) 取f(x)=x,有 111113)+f(13)=1+1=2 左边-1f(x)dx=-10dx=0, 右边f(- (3) 取f(x)=x2,有 边313)+f(13)=-13+13=0 左3=31-1f(x)dx=x2dx=-1123, 右边=f(-1)+f(1)=(-1)2+(1)2=2 33(4) 取f(x)=x3,有 11 左边=-1f(x)dx=-1x3dx=0, 右边=f(- (5) 取f(

13、x)=x4,有 边313)+f(13)=(-13)3+(13)3=0 左3=31-1f(x)dx=x4dx=-1125, 右边=f(-1)+f(1)=(-1)4+(1)4=2 39当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数。 例5 试确定求积公式f(x)dxhf(0)+h02f(h)+ah2f(0)-f(h)中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。 解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有 h1dx=1+1+0,即h=h 02hh2h2h2 x1dx=0+h+ah(1-1),=0222h不能确定a，再令f(x)=x2, 代入求积公式，得到 h0h3

14、h3h22=-2ah3 xdx=0+h+ah(20-2h),即 3222得a=1. 12 求积公式为hh2f(x)dxf(0)+f(h)+f(0)-f(h) 0212h将f(x)=x3代入上求积公式，有 h0hh23xdx=0+h+(30-3h2) 2123可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有 h0hh24xdx0+h+(40-4h3) 2124所以该求积公式具有三次代数精度。 例6 选择填空题 1. 牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。 解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。

15、第五章典型例题 例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次？ 证明 令f(x)1xsinx f(0)=10，f(1)=sin10(x0，1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根。 给定误差限e0.5104，有 nln(b-a)-lne-ln0.5+4ln10-1=-1=13.2877 ln2ln2只要取n14。 例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。计算过程保留4位小数。 分析 容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式 x4-2x5-25x4x=,即j(x)=,j(x)=1(x(1,2)，此时迭代发散。 444455(4

16、x+2)44(1x2)，5建立迭代格式x=54x+2,j(x)=54x+2,j(x)=此时迭代收敛。 解 建立迭代格式 x=54x+2,j(x)=54x+2 j(x)=45(4x+2)544(1x2),取初始值x0=1(可任取51，2之间的值) x1=54x0+2=561.431 0 x2=54x1+2=57.7241.505 1 x3=54x2+2=58.02041.516 5 x4=54x3+2=58.0661.518 2 x5=54x4+2=58.07281.5185 取x*1.5185 例3 试建立计算3a的牛顿迭代格式，并求3411.791的近似值，要求迭代误差不超过105 分析首先

17、建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过105。 解 令x=3a,f(x)=x3-a=0，求x的值。牛顿迭代格式为 xk+13f(xk)xk-a2a=xk-=xk-=x+(k=0,1,.,) k22f(xk)33xk3xk 有 迭代误差不超过105，计算结果应保留小数点后6位。 当x=7或8时，x3=343或512，f(7)f(7)0,取x0=8, x1=x0+x2=23a2411.791=8+7.478 078 223x03382a2411.791x1+2=7.478078+7.439 956 233x2337.478078x1-x2=0.038122 x3=2a241

18、1.791x2+2=7.439956+7.439760 2333x237.439956x2-x3=0.000196 x4=2a2411.791x3+2=7.439760+7.439760 233x3337.439760于是，取x*7.439760 例4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。计算中保留5位小数点。 分析 先确定有根区间。再代公式。 解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2 取x1=1, 迭代公式为 xn+1=xn-f(xn)(xn-xn-1)(n=1,2,) f(xn)-f(xn-1)x13-x12-13 x2=x1-3232(x1-

19、x0)=2-11.25 4x1-x1-x0+x01.253-1.252-1(1.25-2)1.37662 x3=1.25-32321.25-1.25-2+2321.37662-1.37662-1(1.37662-1.25)1.48881 x4=1.37662-32321.37662-1.37662-1.25+1.25321.48881-1.48881-1x5=1.48881-(1.48881-1.37662)1.46348 32321.48881-1.48881-1.37662+1.376621.46334-81.46324-81x6=1.4634-8(1.4634-18.488)811.46553 32321.4634-81.4634-81.4888+11.48881取x*1.46553，f(1.46553)0.000145 例4 选择填空题 1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根。 答案：f(a)f(b)0 4牛顿切线法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解。 答案：点的切线；两点的连线 解答：见它们的公式推导.