数字信号处理课后答案.docx

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1、数字信号处理课后答案丰充点卡平台 西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 . 1 2.2 教材第二章习题解答 . 6 3.2 教材第三章习题解答 . 18 5.2 教材第五章习题解答 . 24 6.2 教材第六章习题解答 . 27 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列d(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解： x(n)=d(n+4)+2d(n+2)-d(n+1)+2d(n)+d(n-1)+2d(n-2)+4d(n-3) +0.5d(n-4)+2d(n-6)2n+5,-4n-12. 给定信号：x(n)=6,0n4 0,其它画出x(n)序列的

2、波形，标上各序列的值； 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； 令x1(n)=2x(n-2)，试画出x1(n)波形； 令x2(n)=2x(n+2)，试画出x2(n)波形； 令x3(n)=2x(2-n)，试画出x3(n)波形。 解： x(n)的波形如题2解图所示。 x(n)=-3d(n+4)-d(n+3)+d(n+2)+3d(n+1)+6d(n) +6d(n-1)+6d(n-2)+6d(n-3)+6d(n-4)在乘以2，画出图形如题2解图x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，1 丰充点卡平台 所示。 在乘以2，画出图形如题2解图x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，所示。 画x

3、3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 3px(n)=Acos(pn-)，A是常数； 78x(n)=e解： 32p14=，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； w=p,7w312p=16p，这是无理数，因此是非周期序列。 w=,8w1j(n-p)8。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 y(n)=x(n)+2x(n-1)+3x(n-2)； y(n)=x(n-n0)，n0为整常数； y(n)=x2(n)； y(n)

4、=x(m)。 m=0n解： 令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2)y(n-n0)=x(n-n0)+2x(n-n0-1)+3x(n-n0-2)=y(n)故该系统是时不变系统。 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2(ax1(n-1)+bx2(n-1)+3(ax1(n-2)+bx2(n-2)Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n-1)+3ax1(n-2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n-1)+3bx2(n-2) Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 2 丰充点卡平

5、台 故该系统是线性系统。 这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。 令输入为x(n-n1)，输出为y(n)=x(n-n1-n0)，因为 y(n-n1)=x(n-n1-n0)=y(n) 故延时器是一个时不变系统。又因为 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n-n0)+bx2(n-n0)=aTx1(n)+bTx2(n) 故延时器是线性系统。 y(n)=x2(n) 令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x2(n-n0)，因为 y(n-n0)=x2(n-n0)=y(n) 故系统是时不变系统。又因为 Tax1(n)+bx2(n)=(ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+b

6、Tx2(n) 2 =ax12(n)+bx2(n)因此系统是非线性系统。 y(n)=x(m) m=0n令：输入为x(n-n0)，输出为y(n)=x(m-n0)，因为 m=0ny(n-n0)=x(m)y(n) m=0n-n0故该系统是时变系统。又因为 Tax1(n)+bx2(n)=(ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n) m=0n故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 1N-1y(n)=x(n-k)； Nk=0y(n)=n+n0k=n-n0x(k)； y(n)=ex(n)。 3 丰充点卡平台 解： 只要N1，该系统就是因果系

7、统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，则y(n)M，因此系统是稳定系统。 如果x(n)M，y(n)n+n0k=n-n0x(k)2n0+1M，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关. 系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)M，x(n)eM，因此系统是稳定的。 则y(n)=ex(n)e7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解： 解法:采用图解法 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n-m) m=0图解法的过程如题7解图所示。 解法:采用解

8、析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式: x(n)=-d(n+2)+d(n-1)+2d(n-3) 1h(n)=2d(n)+d(n-1)+d(n-2)2因为 x(n)*d(n)=x(n)x(n)*Ad(n-k)=Ax(n-k)1y(n)=x(n)*2d(n)+d(n-1)+d(n-2)2所以 1 =2x(n)+x(n-1)+x(n-2)2将x(n)的表达式代入上式，得到 y(n)=-2d(n+2)-d(n+1)-0.5d(n)+2d(n-1)+d(n-2) +4.5d(n-3)+2d(n-4)+d(n-5)8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别

9、求出输出y(n)。 h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)； 4 丰充点卡平台 h(n)=2R4(n),x(n)=d(n)-d(n-2)； h(n)=0.5nu(n),xn=R5(n)。 解： y(n)=x(n)*h(n)=m=-R(m)R(n-m) 45先确定求和域，由R4(m)和R5(n-m)确定对于m的非零区间如下： 0m3,n-4mn 根据非零区间，将n分成四种情况求解： n0,y(n)=0 0n3,y(n)=1=n+1 m=0n4n7,y(n)=7n,y(n)=0 最后结果为 m=n-41=8-n 30, n7y(n)=n+1, 0n3 8-n, 4n7y(n)的波形如题8解图所

10、示。 y(n)=2R4(n)*d(n)-d(n-2)=2R4(n)-2R4(n-2) =2d(n)+d(n-1)-d(n-4)-d(n-5)y(n)的波形如题8解图所示. y(n)=x(n)*h(n) =m=-R5(m)0.5n-mu(n-m)=0.5nm=-R5(m)0.5-mu(n-m)y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。 n0,y(n)=0 5 丰充点卡平台 n 0n4,y(n)=0.54nm=00.5-m-m1-0.5-n-1n=0.5=-(1-0.5-n-1)0.5n=2-0.5n -11-0.55n,y(n)=0.5nm=00.51-0.5-5nn =0.5=310.5-11-

11、0.5最后写成统一表达式： y(n)=(2-0.5n)R5(n)+310.5nu(n-5) 11. 设系统由下面差分方程描述： 11y(n)=y(n-1)+x(n)+x(n-1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解： 令：x(n)=d(n) h(n)=11h(n-1)+d(n)+d(n-1) 2211h(-1)+d(0)+d(-1)=12211n=1,h(1)=h(0)+d(1)+d(0)=122 11n=2,h(2)=h(1)=2211n=3,h(3)=h(2)=222n=0,h(0)=归纳起来，结果为 1h(n)=n-1u(n-1)+d(n) 212. 有一连续信号

12、xa(t)=cos(2pft+j),式中，f=20Hz,j=求出xa(t)的周期。 p2%a(t)的表达式。 用采样间隔T=0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号x%a(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。 画出对应x 第二章 教材第二章习题解答 1. 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶6 丰充点卡平台 变换： x(n-n0)； x(-n)； x(n)y(n)； x(2n)。 解： FTx(n-n0)=n=-x(n-n)e0-jwn令n=n-n0,n=n+n0，则 FTx(n-n0)=-jwn*n=-x(

13、n)e-jw(n+n0)=e-jwn0X(ejw) FTx(n)=*n=-x(n)en=-=x(n)ejwn*=X*(e-jw) n=-jwnFTx(-n)=令n=-n，则 x(-n)eFTx(-n)=n=-x(n)ejwn=X(e-jw) FTx(n)*y(n)=X(ejw)Y(ejw) 证明： x(n)*y(n)=m=-x(m)y(n-m) -jwnFTx(n)*y(n)=n=-m=-x(m)y(n-m)e令k=n-m，则 FTx(n)*y(n)= =k=-m=-x(m)y(k)e-jwkm=-jwk-jwnek=-y(k)ex(m)e-jwn =X(ejw)Y(ejw)7 丰充点卡平台

14、1,ww02. 已知X(ejw)= 0,w0wp求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 1解： x(n)=2pw0-w0ejwndw=sinw0n pn3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)=H(ejw)ejq(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)=Acos(w0n+j)的稳态响应为 y(n)=AH(ejw)cosw0n+j+q(w0)。 解： 假设输入信号x(n)=ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为 y(n)=h(n)*x(n)=m=-h(m)ejw0(n-m)=ejw0nm=-h(m)ejw0n-jw0m=H(ejw0)e上式说明，当输

15、入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 x(n)=Acos(w0n+j)=y(n)=1Aejw0nejj+e-jw0ne-jj21 Aejjejw0nH(ejw0)+e-jje-jw0nH(e-jw0)21 =Aejjejw0nH(ejw0)ejj(w0)+e-jje-jw0nH(e-jw0)ejq(-w0)2上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数， H(ejw)=H(e-jw),q(w)=-q(-w)1AH(ejw0)ejjejw0nejq(w0)+e-jje-jw0ne-jq(w0) 2 =AH(ejw0)

16、cos(w0n+j+q(w0)y(n)=1,n=0,1%(n)，画4. 设x(n)=将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x0,其它%(n)的波形，求出x%(n)的离散傅里叶级数出x(n)和xX(k)和傅里叶变换。 解： %(n)的波形如题4解图所示。 画出x(n)和x 8 丰充点卡平台 32pkn4 1%(k)=DFSx%(n)=x%(n)eXn=0-j=en=0-jkn2p=1+e-jk2p =e-jk4p(ejk4p+e-jk4p)=2cos(k)e4p-jk4p, %(k)以4为周期，或者 X1-jkn1-ee(e-e)%X(k)=e2=ep111-jk-jpkjpk-jpkn

17、=01-e2e4(e4-e4)p-jpk1-jpk21jpk21-jpk21-jpk41sinpk2, 1sinpk4%(k)以4为周期 X2p%(n)=X(e)=FTx4jw2p%X(k)d(w-k)4k=- =pp%X(k)d(w-k)2k=-2 =pcos(k)e4k=-p-jk4pd(w-p2k)5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： X(ej0)； p-pX(ejw)dw； 2p解： X(ejw)dw -pX(e)=pj0n=-3x(n)=6 7-pX(ejw)dw=x(0)2p=4p 27p-pX(e)dw=2px(n)=28

18、p jwn=-326. 试求如下序列的傅里叶变换: 11x2(n)=d(n+1)+d(n)+d(n-1)； 229 丰充点卡平台 x3(n)=anu(n),0a1 解： 1jw1-jw-jwnx(n)e=e+1+e222n=-1 =1+(ejw+e-jw)=1+cosw2X2(e)=jw X3(e)=7. 设: x(n)是实偶函数， jwn=-au(n)en-jwn=ane-jwn=n=01 -jw1-aex(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)=jwn=-x(n)e-jwnx(n)是实、偶函数，X(e)=两边取共轭，得到 X(e)=*jw

19、jwn=-x(n)e-jwnn=-x(n)ejwn=n=-x(n)e-j(-w)n=X(e-jw) 因此X(ejw)=X*(e-jw) 上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。 X(e)=jwn=-x(n)e-jwn=n=-x(n)coswn+jsinwn 由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 n=-x(n)sinwn=0 因此X(e)=jwn=-x(n)coswn 该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。 10 丰充点卡平台 总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。 x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于x(n)是实

20、序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即 X(ejw)=X*(e-jw) X(e)=jwn=-x(n)e-jwn=n=-x(n)coswn+jsinwn x(n)coswn=0 由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么n=-因此X(e)=jx(n)sinwn jwn=-这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。 10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)=1+cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解： 1jw1-jwHR(e)=1+cosw=1+e+e=FThe(n)=he(n)e-jwn22n=-jw12,n=-1he(

21、n)=1,n=01,n=120,n00,其它neH(e)=jwn=-h(n)e-jwn=1+e-jw=2e-jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)=anu(n),0a1，输入序列为x(n)=d(n+)d2-n(，完成下面各题： 求出系统输出序列y(n)； 分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 11 丰充点卡平台 解： y(n)=h(n)*x(n)=anu(n)*d(n)+2d(n-2) =au(n)+2ann-2u(n-2)X(e)=H(e)=jwjwjwn=-d(n)+2d(n-2)eau(n)enjw-jwnn=0-jwn=1+2e-j2w1 -jw1-aen

22、=-=ane-jwn=1+2e-j2wY(e)=H(e)X(e)=1-ae-jwjw13. 已知xa(t)=2cos(2pf0t)，式中f0=100Hz，以采样频率fs=400Hz对xa(t)进%a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 行采样，得到采样信号x写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(jW)； %a(t)和x(n)的表达式； 写出x%a(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 分别求出x解： Xa(jW)=xa(t)e-jWtdt=2cos(W0t)e-jWtdt- =(e-jW0t+e-jW0t)e-jWtdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数d函数，它

23、的傅里叶变换可以 表示成： Xa(jW)=2pd(W-W0)+d(W+W0) a(t)= xn=-x(t)d(t-nT)=2cos(WnT)d(t-nT) a0n=-x(n)=2cos(W0nT), -n1-2-1z-12n=-2-nu(-n-1)z-n=n=-1-2-nz-n=-2nznn=1-2z11=,z1-2z1-2-1z-129ZT2u(n)-u(n-10)=2-nz-n-nn=0 =16. 已知: 1-2z,0z-1-11-2z-10-10X(z)=32 +1-11-2z-11-z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 13 丰充点卡平台 解： 有两个极点，因为收敛域总是以极

24、点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 当收敛域z0.5时， x(n)=12pjn-1X(Z)zdz c令F(z)=X(z)zn-15-7z-15z-7n-1n =z=z-1-1(1-0.5z)(1-2z)(z-0.5)(z-2)n0，因为c内无极点，x(n)=0； n-1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有z1=0.5,z2=2，那么 x(n)=-ResF(z),0.5-ResF(z),2(5z-7)zn(5z-7)zn =(z-0.5)z=0.5-(z-2)(z-0.5)(z-2)(z-0.5)(z-2)1 =-3n+22nu

25、(-n-1)2当收敛域0.5z2时， z=2(5z-7)zn F(z)=(z-0.5)(z-2)n0，C内有极点0.5； 1x(n)=ResF(z),0.5=3n 2n0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2， x(n)=-ResF(z),2=-22nu(-n-1) 1最后得到x(n)=3nu(n)-22nu(-n-1) 2当收敛域2z时， (5z-7)zn F(z)=(z-0.5)(z-2)n0，C内有极点0.5，2； 1x(n)=ResF(z),0.5+ResF(z),2=3n+22n 2n0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0

26、。 14 丰充点卡平台 或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到 1x(n)=3n+22nu(n) 217. 已知x(n)=anu(n),0aa -11-azdaz-1ZTnx(n)=-zX(z)=,za -12dz(1-az)ZTau(-n)=az-nn=0-n-n=anzn=n=01,za-1 1-az-3z-118. 已知X(z)=，分别求： 2-5z-1+2z-2收敛域0.5z2对应的原序列x(n)。 解： x(n)=X(z)z2pjc1n-1dz F(z)=X(z)zn-1-3z-1-3znn-1 =z=

27、2-5z-1+2z-22(z-0.5)(z-2)当收敛域0.5z2时，n0，c内有极点0.5， x(n)=ResF(z),0.5=0.5n=2-n,n0, c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2, x(n)=-ResF(z),2=2n, 15 丰充点卡平台 最后得到 x(n)=2-nu(n)+2nu(-n-1)=2用卷积法求网络输出y(n)； 用ZT法求网络输出y(n)。 解： 用卷积法求y(n) y(n)=h(n)*x(n)=nnm=-bnmu(m)an-mu(n-m)，n0, y(n)=am=0n-mm1-a-n-1bn+1an+1-bn+1，n0，y(

28、n)=0 b=aab=a=-11-aba-bm=0n-mm最后得到 an+1-bn+1y(n)=u(n) a-b用ZT法求y(n) X(z)=11,H(z)= -1-11-az1-bz16 丰充点卡平台 Y(z)=X(z)H(z)=11(1-az)(1-bz)-1-1n-1cy(n)=Y(z)z2pjdz 令F(z)=Y(z)zn-1zn-1zn+1= -1-1(z-a)(z-b)(1-az)(1-bz)n0,c内有极点a,b an+1bn+1an+1-bn+1y(n)=ResF(z),a+ResF(z),b=+= a-bb-aa-b因为系统是因果系统，n0,y(n)=0，最后得到 an+1-

29、bn+1y(n)=u(n) a-b28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： HR(ejw)=1-acosw,a1 21+a-2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解： 1-acosw1-0.5a(ejw+e-jw) HR(e)=1+a2-2acosw1+a2-a(ejw+e-jw)jw1-0.5a(z+z-1)1-0.5a(ejw+e-jw) HR(z)=2-1-11+a-a(z+z)(1-az)(1-az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。 he(n)=12pjn-1n-1H(z)zdz RcF(z)=HR(z)z-0.5az2+z

30、-0.5an-1=z -1-a(z-a)(z-a)因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：az0 0.5a-n,n0=an,n0=anu(n) 0,n00,n0H(e)=ane-jwn=jwn=01 -jw1-ae3.2 教材第三章习题解答 1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN-1内,序列定义为 x(n)=d(n)； x(n)=Rm(n),0mN； x(n)=cos(2pnm),0mN； Nx(n)=sin(w0n)RN(n)； x(n)=nRN(n)。 解： X(k)=d(n)Wn=0N-1knN=d(n)=1,k=0,1,L,N-1 n=0N-1 18 丰

31、充点卡平台 X(k)=Wn=0N-1knN1-W=1-W2pkmNkN=e-jpNk(m-1)sin(pNmk),k=0,1,L,N-1 m)sin(2ppN1N-1jN(m-k)n1N-1-jN(m+k)n=e+e2n=02n=02p2pj(m-k)N-j(m+k)N11-eN1-eN =+2p2pj(m-k)-j(m+k)2N1-eN1-e1,k=m且k=N-m=N,0kN-10,km或kN-mN-1-jmn-jkn1jNmn2pknNX(k)=cosmnWN=(e+e)eN Nn=0n=02N-12p2p2p解法1 直接计算 x8(n)=sin(w0n)RN(n)=N-1n=01jw0n

32、e-e-jw0nRN(n) 2jknX8(k)=x(n)WN-jkn1N-1jw0n-jw0n=e-eeN 2jn=02p2p2p1N-1jn-jn11-ejw0N1-ejw0N=-e-=e2p2pj(w0-k)j(w0+k)2jn=02jNN1-e1-e解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为 x7(n)=ejw0nRN(n)=cos(w0n)+jsin(w0n)RN(n) x8(n)=sin(w0n)RN(n)=Imx7(n) 所以 DFTjx8(n)=DFTjImx7(n)=X70(k) 即 X8(k)=-jX70(k)=-j1*X7(k)-X7(N-k) 211-ejw0N1-ejw0N11-ejw0N1-ejw0N*=-=-2p2p2p2pj(w-k)j(w-(N-k)j(w-k)j(w+k)2j2j0000NNNN1-e1-e1-e1-e19 丰充点卡平台 结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 解法1 knX(k)=nWNn=0N-1k=0,1,L,N-1 上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)=nRN(n) 所以 x(n)-x(n-1)NRN(n)+Nd(n)=RN(n) 等式两边进行DFT得到 kX(k)-X(k)WN+N=Nd(k) 故 X(k)=Nd(k)-