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1、数值分析5非线性方程求根习题课非线性方程求根 1x,1，由不动一、证明：对任意初始值03点迭代xk+1=2-xk，k=0,1,2,产生的序1-xx列k都收敛于方程x=2在3,1的唯一根p。 若要求p的近似值的误差不超过102，试估计迭代次数。 -xk-xx=jx=2jx=2()()解：由k+1知迭代函数 k-4对x1/3,1，有 j(x)j(1),j(1/3)=0.5,0.79371/3,1 另外有 j(x)=-2-xln22-1/3ln2=0.55011 由定理得本题证明部分。 -4x为使解p的近似值k的误差不超过10，根据误差估计式： Lkxk-px1-x0, 1-LLk-4x-x lnL
2、取k=12可使近似解的误差不超过10 二、证明： 设j(x)在a,b上连续可微，且0j(x)1，*xxxa,bx=j(x)在a,b上有根x，0，但0，*-4则由 xk+1=j(xk),k=0,1,2. *产生的迭代序列xk单调收敛于x。 *x=jxx=jxa,b()x()，证明：因为在上有根，故有*x设x0b，则由 *x1-x*=j(x0)-j(x*)=j(x0)x0-x ()及0j(x)1知 0x1-xx0-x 于是 *x*x1x0 x同理可得xx2x1,L,xxk+1xk，因而kk=0 *xk存在，记为x。 单调下降并以x*为下界，所以limk由0j(x)1知方程在a,b内的根是唯一的，显然有xk=x* x=x*。所以 limkf(x)00，f(x)为单调函数，又f(x)=0的*f(x)=0根存在，所以方程的根x是唯一的。 由迭代格式xk+1=xk-lf(xk)可以得到迭代函数 j(x)=x-lf(x)和|j(x)|=|1-lf(x)|。 2又0mf(x)M及0lM得 0lmlf(x)lM2 所以有 -11-lM1-lf(x)1-lm1 故 |j(x)|L=max|1-lm|,|1-lM|1 此外，显然有xRj(x)R 由定理知迭代 xk=xk-1-lf(xk-1)=j(xk-1) 对任意初值x0均收敛于f(x)=0的根x*。
