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1、数列的通项公式练习题在数列an中，a1 =1, (n+1)an+1=nan，求an的表达式。 已知数列an中，a1=13，前n项和Sn与an的关系是Sn=n(2n-1)an ，试求通项公式an。 已知数a2n的递推关系为an+1=3an+4，且a1=1求通项an。 在数列an中，a1=1,a2=2，an+2=23a+1n+13an，求an。 已知数列an中a1=1且an+1=ana，求数列的n+1通项公式。 已知数列an的前n项和Sn=(n+1)bn，其中bn是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列an的通项公式； 已知等差数列an的首项a1 = 1，公差d 0，且第二项、第五项、第十四项分别
2、是等比数列bn的第二项、第三项、第四项 求数列an与bn的通项公式； 已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn+2an=n-3(nN*) 求数列an的通项公式； 1 设数列a21n满足a1+3a2+3a3+3n-an=n3，nN* 求数列an的通项； 数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn(nN*) 求数列an的通项an； 已知数列an和bn满足：a1=1，a2=2，an0，bn=anan+1，且bn是以q为公比的等比数列 证明：a2n+2=anq； 若cn=a2n-1+2a2n，证明数列cn是等比数列； 设数列an的前项的和Sn=13 (nN*) ()求a1；a2； ()求证
3、数列an为等比数列 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6x-2，数列an的 前n项和为S*n，点(n,Sn)(nN)均在函数y=f(x)的图像上求数列an的通项公式； 已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,n1 ()写出数列an的前3项a1,a2,a3; ()求数列an的通项公式 8. 已知数列an满足an+1=2an+32n，a1=2，求数列an的通项公式。 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 已知数列an满足an+1=an+23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 已知数列an满足an+1=3an+
4、23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 已知数列an满足an+1=2(n+1)5nan，a1=3，求数列an的通项公式。 2 14. 已知数列an满足an+1=2an+35n，a1=6，求数列an的通项公式。 17. 已知数列an满足an+1=3a4n，a1=7，求数列an的通项公式。 答案： 1. 解: ()由S=13(a1111-1),得a1=3(a1-1) a1=-2 又S13a112=(2-1),即a1+a2=3(a2-1),得a2=4. ()当n1时,a11n=Sn-Sn-1=3(an-1)-3(an-1-1), 得ana=-12,所以a11n是首项-,公比为- n-122的等
5、比数列2. 解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1； 当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0； 当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2； 综上可知a1=1,a2=0,a3=2； 由已知得：an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1 化简得：an=2an-1+2(-1)n-1 上式可化为：a+2n(-1)n=2a2n-1+3(-1)n-13 故数列a2n21n+3(-1)是以a1+3(-1)为首项, 公比为2的等比数列. 故a+2(-1)n=1n-1n332 a1g2n-1-2(-1)n=2n=2n-
6、2333-(-1)n 数列aa2n-2nn的通项公式为：n=32-(-1). 3. 解：设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得 a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x. 又因为点(n,Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图像上，所以=L=2n-1a-11-2n(-1)-2n-2(-1)2-L2(-1)nS2n3n2n. =22n-2+(-1)n-13 当n2时，anSnSn1. 故数列 an是以a12321226. 方法：构造公比为2的等比数列an+l3n2=1为首，以为公差的等差数列，由n，用待定系数法可知l=-1等差数列的
7、通项公式，得an2n=1+(n-1)3，所以数列a5 2n的通项方法：构造差型数列a公式为a3nn=(n-1，即两边同时除以2)2n2。 (-2)n(-2)n 得： ana(-2)n=n-1(-2)n-1+13(-32)n，从而可以用累加的方法处理 9. 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则方法：直接用迭代的方法处理： a-1n=-2an-1+3n=-2(-2an-2n-2+3)+3n-1=(-2)2an-2+(-2)3n-a2n+=3(na-n1 -an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(-2)2(-2an-3n-3+3)+(-
8、2)23n-2+3n-1 =2(n-1)+1+2(n-2)+1+L+(22+1)+(21+1)+1=(-2)3a3n-3+(-2)23n-+(-2)3n-2+3n-1=L =2(n-1)+(n-2)+L+2+1+(n-1)+1 =(-2)na0+(-2)n-130+(-2)n-231+(-2)n-332+L(-2)23n-3+(-2)3n-2n3n+(-1)n-1=2+(n3-n-11)n)a2n=(-22+(n-1)+10+5 所以数列an的通项公式为an=n2 7. 分析：Sn=2an+(-1)n,n1. - 由a1=S1=2a1-1,得a1=1. - 10. 解：由an+1=an+23n
9、+1得an+1-an=23n+1则由n=2得，a1+a2=2a2+1，得a2=0 - 由n=3得，a1+a2+a3=2a3-1，得a3=2 - an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 用n-1代n得 Sn-1=2an-1n-1+(-1) - ：an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2(-1)n =(23n-1+1)+(23n-2+1)+L+(232+1)+(231+1)+3即an=2an-1-2(-1)n- =2(3n-1+3n-2+L+32+31)+(n-1)+3an=2a1n-1-2(-1)n=22an-2-2(-1)n-2(-1)n
10、=22an-2-22(-1)n-1-2(-1)n3-3n所以an=21-3+n+2=3n+n-1 3 11. 解：an+1=3an+23n+1两边除以3n+1，得 所以an+1=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1+nan 所以式式得an+1-an=nan an+1-5n+1an-5n=2，则数列an-5n是以a1-51=1为首项，以2为an+13n+1=an3n+21+n+1， 33an+13n+1公比的等比数列，则an-5n=12n-1，故an=2n-1+5n。 则-an3n=21+n+133，故则an+1=(n+1)an(n2) an3n=(an3n-an-1aan-2an-2a
11、n-3a2a1a1)+(n-1-n)+(-)+L+(-1)+ -2n-2n-32an-1an-1333333则an+1=n+1(n2) anaanan-1L3a2 an-1an-2a2212121213=(+n)+(+n-1)+(+n-2)+L+(+2)+ 333333333=2(n-1)11111+(n+n+n-1+n-2+L+2)+1 333333所以an=1(1-3n-1)nan2(n-1)32n11因此n， =+1=+-31-33223n3则an=n(n-1)L43a2=n!a2 2 由an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2)，取n=2得211n3n+3n- 322a
12、2=a1+2a2，则a2=a1，又知a1=1，则a2=1，代入得 12. 解：因为an+1=2(n+1)5nan，a1=3，所以an0，则an=1345Ln=n!。 2 a3a2anan-1an+1=2(n+1)5n，则an=La1 anan-1an-2a2a114. 解：设an+1+x5n+1=2(an+x5n) =2(n-1+1)5n-12(n-2+1)5n-2将L2(2+1)52(1+1)53 21an+1=2an+35n代入式，得2an+35n+x5n+1=2an+2x5n，等式两边消去2an，得=2n-1n(n-1)L325(n-1)+(n-2)+L+2+13 35n+x5n+1=2x5n，两边除以5n，得3+x5=2x，则x=所以数列an的通项公式为 n(n-1)n-1=32521，代入式， 得an+1-5n+1=2(an-5n) ann! 13. 解：因为an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2) 由a1-51=6-5=10及式，得an-5n0，则 4
