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1、数值分析第五全答案cha 第六章 课后习题解答 =-.0.4-0.4桫BJ|=(l-0.8)(l2-0.40-0.8-0.4BJ=-0.800.32)|lI-l+0.8l(BJ)=1.09282031,故雅可比迭代法不塞德尔法迭代矩阵0=000.81-0.40.160.032-0.4-0.640.672高斯-BS=(D-L)-1Ul(BS)?|BS|故高斯-塞德尔迭代法收敛。(b)雅可比法的迭代矩阵骣0-1D=-1-2桫BJ|=l3-20-2BJ=2-10|lI-， =01l故雅可比迭代法收敛。高斯-塞德尔法的迭代矩阵骣0=0-222-3BS=U-13：证明 必要条件：由limAk=A,知li
2、maij=aij,从而有|AK-A|0（Kkk(k)故对任意的x，有|Akx-Ax|Ak-A| |x|即 AKxAx, limAKx=Ax.k0 (k)充分条件： 对任意的x萎R,有AKx(i=1,2,.,n)Akxi=(a1i,a2i,.,ani)Axi(kAxi=(a1i,a2i,.,ani)故aji(k)T(k)(k)(k)TnAx(k),取xi=(0,.0,1,i )?aji(jk1,2,.,n;i=1,2,.n)A.即Ak?A,limAk4.解：不一定，因其谱半径l(BJ)不一定小于1。对习题2(a),A对称，又V1=10，V2=0.840，V3=|A|=0.2965.解答见例6-4
3、6.解：SOR迭代格式为x(k+1)(k)12(k)2(k)1(k)1=x1+w(-x-x-x515253)x(k+1)=x(k)+w(5+1x(k+1)-x(k)-1x(k)22123)42(k+1)(k)31(k+1)3(kx3=x+w(10-5x+1)31+10x2-x3(k)取初始值x0=(1,1,1)T,计算如表. K x(k)x(k)(k)1 2 x3 0 0 0 0 1 -2.6000000 3.5650000 1.8005500 2 -4.0274990 3.1400652 2.0228224 3 -4.0572814 2.9908481 2.0101219 4 -4.0042
4、554 2.9935725 2.0000427 5 -3.9981193 2.9997612 1.9996013 6 -3.9996542 3.0002334 1.9999609 7 -4.0000424 3.0000314 2.0000122 8 -4.0000177 2.9999937 2.0000027 因|x(8)-x(7)|=0.00037710-4, 由|m|1，|1-wl(A)|1得0w故当0 2l(A)w2b时,更有0w2l(A),从而有|m|l(B)1,18.证明:当-12a0,det(A)=(1-a)(1+2a)0a1桫故A是正定的.又雅可比法迭代矩阵骣0BJ=-a-a桫-
5、a0-a-a-a0alaaa=ll12a骣ldet(lI-BJ)=aa桫3-3la+2a=(l-a)(l+2a)232故l(BJ)=|2a|,故当-12时,雅可比迭代法收敛.9.证明:G相似与它的若当标准行J,即存在可逆阵P,使 G=PJP由于G的特征值全为零,故J一定有如下形式骣J1J=0桫0骣01O桫1an-1O,Ji=Jrr,ni=ni=1nini方程组x=Gx+g等价于(I-G)x=g,由于l(G)=0,故l(I-G)=12-l(G)=1 从而I-G非奇异,即(I-G)x=g有唯一解x.于是x=Gx+g与所述迭代格式相减,有x故x(n)(k+1)*-x=G(x*(k)-x)*-x=G(x-1n*n(0)-x)*nx2=x1-x3+5(k+1)1k1(k)555x1=-x2-x3-k+2k1k12（b)雅可比法的迭代格式为1.解：(a)因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。故迭代矩阵B=I-wA,其特征值m=1-wl(A)迭代格式要改写成x7.证明：(k+1)=(I-wA)x+wb,(k=0,1,2,.)(k)
