数字信号处理计算题精华.docx

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1、数字信号处理计算题精华 已知线性因果网络用下面差分方程描述：y(n)=0.8y(n1)+x(n)+0.8x(n1) 求网络的系统函数H(z) 及单位脉冲响应h(n) ； 写出网络频率响应函数H(ej)的表达式，并定性画出其幅频特性曲线 解：Y(z)=0.8Y(z)z-1+X(z)+0.8X(z)z-1 1+0.8z-1 H(z)=,(2分）-11-0.8z F(z)=H(z)zn-1=z+0.8n-1z z-0.8h(n)=12pjn-1H(z)zdz c n1,c内有极点0.8 h(n)=ResF(z),0.8=(z-0.8) n=0,c内有极点0.8,z+0.8n-1zz-0.8=2*0.

2、8n z=0.80 h(n)=ResF(z),0.8+ResF(z),0z+0.8-1z+0.8-1 =(z-0.8)zz=0.8+zzz-0.8z-0.8=2-1=1z=0 最后得到 h(n)=2*0.8nU(n-1)+d(n) H(ejw1+0.8z-1)=FTh(n)=1-0.8z-1z=ejw1+0.8e-jw= 1-0.8e-jw 幅频特性如下： 证明DFT对称定理即假设X(k)=DFTx(n),证明DFTX(n)=Nx(Nk) kn证明： 因 X(k)=x(n)WN n=0N-1 所以 DFTX(n)=X(n)Wn=0N-1knN=x(m)Wn=0m=0N-1N-1mnNWknNn

3、(m+k) =x(m)WNmn=0N-1N-1 又 Nn(m+k)W=Nn=00N-1m=N-kmN-k,0mN-1k=0,1,.,N-1 共14页 有 DFTX(n)=Nx(N-k) 数字信号处理 试卷A 第1页 已知序列x(n)=a n u(n)，0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N 点，采样序列为 X ( k ) = x ( z = 1， L ， ) |z =W0，N- 1 , 求有限长序列IDFTX(k)N -k kN解：IDFTX(k)N =x(n)RN(n)=x(n+lN)RN(n) l=- =an+lNu(n+lN)RN(n) l=-由于 0nN-1，所以

4、1 u(n+lN)=0nlNn+lN0即l0l2，求x(n)。 F(z)zAB =+z(z+1)(z-2)z+1z-2 求系数得 A=1/3 ， B=2/3 所以 F(z)=1z2z+ 3z+13z-2收敛域z2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数， 12则 f(k)=(-1)ke(k)+(2)ke(k) 332写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。 y(n)-311y(n-1)+y(n-2)=x(n)+x(n-1) 483解： 3计算下面序列的N点DFT。 x(n)=d(n-m)x(n)=ej2pmnN(0mN) (0mN)N,k=mkn解： X(k)=WN X(k)

5、= 0,km4设序列x(n)=1，3，2，1；n=0,1,2,3 ，另一序列h(n) =1，2，1，2；n=0,1,2,3， 求两序列的线性卷积 yL(n)； 求两序列的6点循环卷积yC(n)。 说明循环卷积能代替线性卷积的条件。 解： yL(n)=1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,26 yC(n)= 3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5 数字信号处理 试卷A 第5页 共14页 cL1+L2-1 5设系统由下面差分方程描述： y(n)=y(n-1)+y(n-2)x(n-1) 求系统函数H； 限定系统稳定，写出H的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。 解： H(z)=z

6、 2z-z-15-11+5 ； z22h(n)=-11-5n11+5nu(n)-u(-n-1) 2255 1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： - H(z)=3-1z21-1z)(1-2z-1)21）用直接型结构实现该系统 (1-1 zz1时： 23-1z2收敛域包括单位圆6分 系统稳定系统。.10分 3-z-1112H(z)=-.12分 1-11-11-2z-1-1(1-z)(1-2z)1-z221h(n)=nu(n)+2nu(-n-1).15分 2 试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： 数字信号处理 试卷A 第6页 共14页 H(s)=

7、2其中抽样周期T=1s。 (s+1)(s+3)解： H(s)=H(z)=111=-1分 (1+s)(s+3)1+ss+3TT-T-1-3T-13分 1-eZs-eZ0.318z-1=-1-25分 1-0.418z+0.018z2)H(z)=H(s)|s=21-ZT1+Z-1-1=221-Z-121-Z-1(1+)(3+)T1+Z-1T1+Z-18分 2+4z-1+2z-2 10分 =-1-215-2z-z 用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为fs=4kHz,其3dB截止频率为fc=1kHz。三阶模拟巴特沃思滤波器为： Ha(s)=解： 1+2(sWc1)+2(sWc)+(

8、s2Wc)3wc=2pfcT=0.5p3分 WC=2w2tan(c)=5分 T2T11+2(Ts)+2(Ts)2+(Ts)38分 22221-Z-1T1+Z-1Ha(s)=H(z)=Ha(s)|=1+211-Z-11+Z-1s=+2(1-Z-11+Z-1)+(21-Z-11+Z-1)311+3z-1+3z-2+z-3= 23+z-2 、已知某离散时间系统的差分方程为 y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+2x(n-1) 数字信号处理 试卷A 第7页 共14页 系统初始状态为y(-1)=1，y(-2)=2，系统激励为x(n)=(3)nu(n)， 试求：系统函数H(z)，系统频率响应

9、H(ejw)。 系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。 解：系统函数为H(z)=1+2z-11-3z-1+2z-2=z2+2zz2-3z+2系统频率响应H(ejw)=H(z)z=ejw=e2jw+2ejwe2jw-3ejw+2解一：对差分方程两端同时作z变换得 Y(z)-3z-1Y(z)+y(-1)z+2z-2Y(z)+y(-1)z+y(-2)z2=X(z)+2z-1X(z) 3y(-1)-2z-1y(-1)-2y(-2)1-3z-1+2z-2(1+2z-1)1-3z-1+2z-2即：Y(z)=+X(z) 上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响

10、应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)=z代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为 z-3Yzi(z)=-1-2z-11-3z-1+2z-2=-z2+2zz-3z+22Yzs(z)=1+2z-11-3z-1+2z-2zz2+2zz=2 z-3z-3z+2z-3将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得 Yzi(z)z+23-4 =-2=+zz-3z+2z-1z-2315Yzs(z)z+2z1-8=2=2+2 zz-3z+2z-3z-1z-2z-32315zz-8z3z-4z22+即 Yzi(z)= Yzs(z)= +z-1z-2z-3z-1z-2对上两式分别取z反变换

11、，得零输入响应、零状态响应分别为 yzi(k)=3-4(2)ke(k) 315yzs(k)=-8(2)k+(3)ke(k) 22故系统全响应为 915y(k)=yzi(k)+yzs(k)=-12(2)k+(3)ke(k) 22解二、系统特征方程为l2-3l+2=0，特征根为：l1=1，l2=2； 数字信号处理 试卷A 第8页 共14页 故系统零输入响应形式为 yzi(k)=c1+c2(2)k 将初始条件y(-1)=1，y(-2)=2带入上式得 1y(-1)=c+c=112zi2 解之得 c1=3，c2=-4， 1y(-2)=c+c=2zi124故系统零输入响应为： yzi(k)=3-4(2)k

12、 k0 系统零状态响应为 Yzs(z)=H(z)X(z)=1+2z-11-3z-1+2z-2zz2+2zz=2 z-3z-3z+2z-3315Yzs(z)z+2z1-8=2=2+2 zz-3z+2z-3z-1z-2z-32315zz-8z22+即 Yzs(z)= z-1z-2z-3315对上式取z反变换，得零状态响应为 yzs(k)=-8(2)k+(3)ke(k) 22故系统全响应为 915y(k)=yzi(k)+yzs(k)=-12(2)k+(3)ke(k) 22 回答以下问题： 画出按时域抽取N=4点基2FFT的信号流图。 利用流图计算4点序列x(n)=(2,1,3,4) 试写出利用FFT

13、计算IFFT的步骤。 解： =0,1,2,3）的DFT。 x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)-1Q(0)Q1(1)-11X(0)-j-1jX(1)X(2)X(3)rk010W20W2011W20W2lk010W40W4011W40W42W40W42 4点按时间抽取FFT流图 加权系数 3W40W43Q0(0)=x(0)+x(2)=2+3=5Q1(0)=x(1)+x(3)=1+4=5 Q(1)=x(0)-x(2)=2-1=-1Q(1)=x(1)-x(3)=1-4=-3101X(0)=Q0(0)+Q1(0)=5+5=10 X(1)=Q0(1)+W4Q1(1)=-1+j3 数字信号

14、处理 试卷A 第9页 共14页 X(2)=Q0(0)+W42Q1(0)=5-5=0 X(3)=Q0(1)+W43Q1(1)=-1-3j 即： X(k)=(10,-1+3j,0,-1-3j),k=0,1,2,3 1）对X(k)取共轭，得X*(k)； 2）对X*(k)做N点FFT； 3）对2）中结果取共轭并除以N。 已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为 Ha(s)=1s2+1.414s+1试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为wc用正准型结构实现之。 解：预畸 =0.5prad，写出数字滤波器的系统函数，并Wc= 反归一划 w220.5parctan(c)=arcta

15、n=2 T2T21ss2+1.414+1224s+2.828s+42H(s)=Ha(s)s=sWc= 双线性变换得数字滤波器 H(z)=H(s)s=21-z-1=T1+z-14s+2.828s+421-z-1s=21+z-1=(241-z1+z-1)2+2.8282-11-z1+z-1-1+4=4(1+2z-1+z-2)13.656+2.344z-2=0.2929(1+2z-1+z-2)1+0.1716z-2用正准型结构实现 x(n)1z-11210.2929y(n)z-1-0.1716 设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示： 数字信号处理 试卷A 第10页 共14页 h(

16、n)21-134120n-2图1 试求：该系统的频率响应H(e如果记H(ejwjw)； )=H(w)ejj(w)，其中，H(w)为幅度函数，j(w)为相位函数，试求H(w)与j(w)； 判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？，说明你的判断依据。 画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：h(n)=(2,1,0,-1,-2) H(ejw)=h(n)en=04-jwn=h(0)+h(1)e-jw+h(2)e-j2w+h(3)e-j3w+h(4)e-j4w =2+e-jw-e-j3w-2e-j4w=2(1-e-j4w)+(e-jw-e-j3w) =2e-j2w(e-j2w-ej2w)

17、+e-j2w(ejw-e-jw)=e-j2w4jsin(2w)+2jsin(w) H(ejw)=e-j2wejp24sin(2w)+2sin(w)=j(-2w)e24sin(2w)+2sin(w) pH(w)=4sin(2w)+2sin(w)， j(w)=p2-2w w)=-H(w) H(2p-w)=4sin2(2p-w)+2sin(2p-w)=-4sin(2w)-2sin(故 当w=0时，有H(2p)=-H(0)=H(0)，即H(w)关于0点奇对称，H(0)=0； 当w=p时，有H(p)=-H(p)，即H(w)关于p点奇对称，H(p)=0 上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 线

18、性相位结构流图 x(n)z-1z-1z-1h(0)h(1)z-1h(2)y(n) 计算题 1、如果一台计算机的速度为平均每次复乘5S，每次复加0.5S，用它来计算512点的DFTx(n)，问直接计算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间。 数字信号处理 试卷A 第11页 共14页 答：1、 直接计算 复乘所需时间 T1=510-6N2=510-65122=1.31072s 复加所需时间T1=0.510-6N(N-1)=0.510-6512511=0.130816s 所以T=T1+T2=1.441536s 2、用FFT计算 复乘所需时间 T1=510-6N512log2N=510-6log251

19、2=0.01152s 22复加所需时间T2=0.510-6Nlog2N=0.510-6512log2512=0.002304s 所以T=T1+T2=0.013824s 2、用长除法、留数定理法、部分分式法分别求以下X(Z)的Z反变换： 11-Z-12X(z)=,1-21-Z4(1) 1z21-2Z-1X(z)=,1-11-Z4; (2) 14z1a n1 a. 长除法 x(n)=-u(n) 21b留数法 x(n)=8d(n)+7u(-n-1) 4111c部分分式法 x(n)=-d(n)+a-u(n-1) aaa3、设序列x(n)=4，3，2，1 ， 另一序列h(n) =1，1，1，1，n=0,

20、1,2,3 试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) 试求6点圆周卷积。 试求8点圆周卷积。 1y(n)=x(n)*h(n)=4,7,9,10,6,3,1 26点圆周卷积=5,7,9,10,6,3 38点圆周卷积=4,7,9,10,6,3,1,0 nn 证明、画图题 1、设系统差分方程 y(n)=ay(n-1)+x(n) 数字信号处理 试卷A 第12页 共14页 其中x(n)为输入，y(n)为输出。当边界条件选为y(-1)=0时，是判断系统是否线性的、移不变的。 令x1(n)=d(n),y1(n)=ay1(n-1)+x1(n) y1(0)=ay1(-1)+x1(0)=1y1(1)=ay1(0

21、)+x1(1)=aMy1(n)=ay1(n-1)+x1(n)=an则 同样可求得 y1(-1)=y1(-2)=L=0,即y1(n)n1=0 所以 y1(n)=anu(n) 令x2(n)=d(n-1),y2(n)=ay2(n-1)+x2(n) y2(0)=ay2(-1)+x2(0)=0y2(1)=ay2(0)+x2(1)=1My2(n)=ay2(n-1)+x2(n)=an-1则 同样可求得 y2(-1)=y2(-2)=L=0,即y2(n)n1=0 所以 y2(n)=an-1u(n-1) 因为x1(n)与x2(n)为移1位关系，而且y1(n)与y2(n)也是移1位关系，所以在y(-1)=0条件下，

22、系统是移不变系统。 令x3(n)=x1(n)+x2(n)=d(n)+d(n-1),y3(n)=ay3(n-1)+x3(n) n=0时， 综上，可得y3(n)=anu(n)+an-1u(n-1)=y1(n)+y2(n) 所以系统是线性系统。 2、用级联型结构实现以下系统函数，试问一共能构成几种级联型网络，并画出结构图。 H(z)=(Z-0.5)(Z2+0.9Z+0.8) 数字信号处理 试卷A 第13页 共14页 4(Z+1)(Z2-1.4Z+1)x(n)4Z-10.51-0.9-0.8x(n)4-0.9-0.8Z-1-1.4Z-11Z-10.51Z-1-1.4Z-11y(n)x(n)40.5Z-1-1.4Z-11y(n)x(n)4-0.9-0.8Z-11Z-10.5Z-1-1.4Z-11-0.9-0.8Z-11Z-1y(n)y(n)3、请画出8点的按频率抽取的基-2 FFT流图，要求输入自然数顺序，输出倒位序。 数字信号处理 试卷A 第14页 共14页