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1、数学模型 抛石子测悬崖高度抛石子测悬崖高度 问题提出：生活中当我们登上一座大山时，我们总是会忍不住会想山到底有多高。此时最简单有效地方法就是扔一颗石子，根据下落时间来计算高度。我们必须通过合理的方案，将各种情况进行综合分析并比较，最后得出一种最精确，考虑最全面的方案，将测量误差达到最低，达到最终估测的目的。 模型假设： 1 空气密度均匀，防止因气体密度不均影响石块受力。 2 无论悬崖多深人都能听到回声而且跑表正常工作， 3崖底地形简单，两壁无影响，保证石块顺利碰到崖底。 4 崖底空气均匀且为常温15摄氏度，声速传播为340m/s。 m25物体的重力加速度g=9.8s。 模型建立：在考虑空气阻力
2、影响的情况下并假设空气阻力与石块下落速度二次方程正比，通过牛顿第二定律列出相应方程运用数学微积分的原理最终可化为路程与时间的函数式并建立模型求解。考虑回声对时间的影响，最终运用物理微分方程列式并借助数学软件求解。 序号 符号 说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G m s g a v V1 V2 k1 k2 石块所受的重力 石块质量 深井的深度 重力加速度=9.8m/s2 加速度 石块下落的速度 空气阻力与速度成一次线性的速度 空气阻力与速度成二次线性的速度 空气阻力与速度成一次线性的比例系数 空气阻力与速度成二次线性的比例系数 1 11 12 13 14 15 16 17 t t
3、1 t2 a1 a2 * c 表示时间 考虑回声传回来所需要的时间 石块落入井底的实际时间 空气阻力与速度成一次线性时的加速度 空气阻力与速度成二次线性时的加速度 表示乘号 表示常数 模型求解：通过石块受空气阻力f与v成二次线性比例，以牛顿第二定律为基础构建微积分和函数模型 dva=由牛顿第二定律得mg-k2v22=ma1dtdv2dt由以上两式可得=两边积分可得2mg-k2v2mv202ttdtdv2e=经计算v2=2t20mmg-k2v2egk2gk2gk21*+1k2-11In(e2tgk2+e4ts=t2-k21+2e2tgk2In21c=*3k22 )In21+*3k22mg-kv2
4、2=ma2 a=dv/dt 由牛顿第二定律可得两边积分即v20tdtdv2=经计算并整理可得20mmg-k2v2mg+k2v2t1dsIn=又由于v=dt2mgk2mg-k2v2mg+k2v212tIn=tk2v2(1+e2gk2g-k2v2v2=e2tk2gk2g)=e2tk2g-1-11+e2tk2g1ds*根据v=两边积分可得dtkgk2s=1In(e2tgk2+e4tt2-2tgk2k21+2e)In21+*3k2结果分析:该模型中考虑摩擦阻力和回声传来的时间的情况下计算悬崖的高度，所得数据误差最小。但并非在不同环境下用各自环境中的最佳模型，该模型计算比较复杂，应用到实际问题中比较困难，只适用于用来得到比较精确的结果。 3
