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1、数学里的钟表问题 钟面角钟表问题“钟面角” 日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角问题可能并没有在意其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧 一、认识“钟面角” 要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律 钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格圆形的表面恰好对应着一个周角360，每个大格对应30角，每个小格对应6角表面一般有时针、分针、秒针三根指针 钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大
2、格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周 时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：钟表的时针转速为：30/小时或0.5/分钟；分针的转速为：6/分钟或0.1/秒钟；秒针的转速为：6/秒 有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了 二、解决与钟面角有关的数学问题 计算从某一时刻到另一时刻，时针转过的角度 公式法：时针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时针转过的时间时针的转速 观察法：若时针转过了a大格b小格，则时针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b 例1.从3：15到7：45，时
3、针转过 度 从1：45到2：05，分针转过 度 分析：从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时，时针转过的角度为：4.530=135 或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，时针转过的角度为：430+2.56=135 从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，分针转过的角度为：206=120 或用观察法：分针共走了4个大格分针转过的角度为：430=120 计算某一时刻时针与分针之间的夹角 求差法：以0点为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角 观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b 例24：
4、00点整，时针、分针的夹角为 11：40，时针、分针的夹角为 分析：4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：430=120 作差法：11：40，以0点为基准 时针转过的角度为：1130=350 分针转过的角度为：406=240 时针、分针的夹角为：350240=110 观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，时针、分针的夹角为：330=110 求时针、分针成特殊角时对应的时间 方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解 相等关系：整点后分针转过的角度整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角+a时x分分
5、针与指针的夹角 或：分针整点后转过的角度时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角 例3你能用一元一次方程解决下面的问题吗？ 在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：重合；成平角；成直角 分析：重合：设3时x分时针、分针重合3时整，时针、分针的夹角为90即在后x分钟，分针要比时针多走90，分针才能追及时针重合 从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角依题意有 6x0.5x=90 解得：x16 分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走180依题意有 6x0.5x=90+180 解得：x49 分针与时针成直
6、角：应分两种情况讨论 分针在时针的顺时针方向垂直此时钟面角为90即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走90依题意有 6x0.5x=90+90180 解得：x33 分针在时针的逆时针方向垂直此时钟面角为270即在后x分钟，分针先要多走90追及时针，然后还要比时针多走270依题意有 6x0.5x=90+90180 解得：x65 钟面角的综合应用 例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，OAB的面积第一次达到最大？ 分析：OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OAOB时，h=OB，此时OAB的面积最
7、大 12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，OAB的面积第一次达到最大此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x依题意有 6x0.1x=90 解得x=15 即经过15秒后，OAB的面积第一次达到最大 钟表夹角问题公式 钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来： X时时，夹角为30X度。 Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。 因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于
8、180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角) 因此公式可表示为：|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。|为绝对值符号。 如：2：10，可代入得：60-55=5度。大于180度的角为：355度。 如：11：20，330-110=220度，小于180的角：360-220=140度。： 比方说现在是X时Y分， 则时针过数字X为Y/60 * 30 = Y/2度 而分针指在Y/5 所以时钟和分针的夹角 = (Y/5 - X)*30 - Y/2 = 11Y/2 - 30X 度 我们先设求m时n分时指针夹角度数，先求m时n分时针分针相对于12时转过的相对度数：时针转过的度数为0.5，分针转过的度数为6n，再用时针与分针转过的相对度数大值减小值，如果大于180，再用360减去所求差，求出的为最后结果。 这样我们就可以得出公式： |0.5-6n| 或 360-|0.5-6n|
