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1、数项级数求和方法的探究数项级数求和方法的探究 摘 要 级数，重要的数学工具。一方面，它对于数学和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领域，为日后的研究打下坚实的基础。 目前在国内并没有系统全面的研究级数求和的方法，级数求和首先要考虑级数的收敛性，并且有着比较繁多的方法和很强的技巧性。本文在借鉴国内外大量资料的基础上，选取了一些常用的数项级数求和的方法，如等差求和，等比求和，错位相减求和，原级数化为函数项级数、积分函数求和等，并且每种方法都选取了典型题目加以分析，尽量使理
2、论与应用相结合，化繁为简。本文当中也特别介绍了如裂项法求和，夹逼法求和，幂级数求和等方法，并举出例子，在实例中说明方法，用实例体会这些方法在求和时的应用。 本文对数项级数的有关概念，收敛的定义做出了简要的说明。级数的敛散性是决定级数求和的先决条件，但是本文的重点在于讨论级数求和的方法，所以对级数敛散性的讨论略过不谈，并且本文中所提到的有关级数都是收敛的。 关键词：级数收敛数项级数求和裂项法求和幂级数求和 Abstract Series, the important mathematical tools. On the one hand, it is for the mathematics an
3、d other science and technology research and development has played a very important role and exert important influence. On the other hand, the series also is closely linked with our daily life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in the field, a solid
4、foundation for the future research. At present in domestic and no systematic research methods series comprehensive summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a comparison method and skills are very strong.In this paper, on the basis of numerous data home
5、 and abroad, some selected numerical series common summation method, such as the arithmetic sum, geometric sum, dislocation subtraction sum, positive numbers into the function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as far as possible, so that the combin
6、ation of theory and application, simplified.This paper also particularly introduces such as crack a summation, clamping force summation, and the method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example of the application of these methods in the sum of. In this paper,
7、 the related concepts of series, convergence definition and theorem gives proof, and give some typical examples to explain. The convergence of series is prerequisite to the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the series convergence discussion over
8、does not talk, and the series is mentioned in this article are convergent. Key words: Series ConvergenceA number of series summation Methods and skillsSeeking and split method Summing a series of powers ，目 录 摘要 Abstract 第一章绪论1 1.1 课题的研究背景及意义1 1.2 课题的发展概况及现状1 1.3 全文研究内容及章节安排2 第二章数项级数求和的常用方法3 2.1 数项级数
9、的定义及收敛3 2.2 等差级数求和3 2.3 首尾相加求和3 2.4 等比级数求和4 2.5错位相减求和4 2.6 蕴含型级数相消法求和4 2.7 有理化法求和5 2.8原级数转化为子序列求和5 2.9数项级数化为函数项级数求和6 2.10数项级数化为积分函数求和6 2.11裂项法求和6 2.12夹逼法求和 7 第三章关于数项级数求和的几种特殊方法9 3.1 方程式法求和9 3.2 三角型数项级数化为复数系级数求和9 3.3幂级数求和10 3.3.1 利用幂级数的性质求级数和10 3.3.2 利用微分方程的转化求级数和11 3.4利用傅里叶系数求和12 第四章 小 结14 致 谢 15 参考
10、文献 16 原创性声明 17 论文使用授权声明17第一章 绪 论 1.1 课题的研究背景及意义 级数对于数学学科和其他学科及技术研究与发展方面都起到了非常重要的作用并发挥了其重要影响。另一方面，级数还和我们的日常生活息息相关，我们要合理的掌握利用级数，也要去发掘更为广泛的应用领域，为日后的研究打下坚实的基础。 首先，其原因是很多函数既可以用数项级数表示，又可以通过数项级数来研究函数逼近的问题，利用其他多项式来逼近一般的函数。用级数的形式还可以表示很多有用的非初等函数。 其次，解微分方程。 再次，可以应用于实数的近似计算，所以数项级数无论在分析数学问题上还是在实际的应用中，都是我们研究函数问题的
11、重要工具，此时数项级数求和的问题就显得非常重要了，这也成为了实际应用中急需解决的课题。 1.2 课题的发展概况及现状 17世纪的上半叶，自然科学在西方资本主义生产力的刺激下快速发展壮大，并且有了突破性的进展。而这个过程中所遇到的数学上的难题，使人们将目光的焦点放在了微积分的基本问题上。这个时期里，开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等著名的数学大师都致力于先关问题的研究，取得了具有代表性的发展。尤其是牛顿和莱布尼茨所认识到的微分和积分之间的互逆关系，对微积分的真正创立做出了伟大的贡献。到了18世纪，微积分的研究和发展和无穷级数的研究紧密交织在一起，数学家们又陆续得到了各种初等函数的级数
12、展开，并将它们运用到了微积分的研究当中。在这期间，雅各布，伯努利撰写了一系列关于无穷级数的文章，从而成为了这一领域里的权威。而在18世纪先后出现了莱布尼兹判别法，达朗贝尔级数绝对收敛判别法等判断级数收敛的法则。到了19世纪，柯西对无穷级数进行了更加严格化的处理，明确定义了技术的收敛性，并研究了级数收敛的判别条件。 数学作为最古老的学科之一，一直以来都有着众多的研究者。而关于级数的求和，也吸引了许多专家学者对它的研究，他们将题目和解法分类具体化，分为定义法，解微分方程法，裂项法，函数转化法，逐项微分积分法等等。级数求和的方法有很多，并且有一定的技巧性，纵观国内目前的相关教材和书籍大多数都是对一些
13、比较特殊的数项级数进行求和，而一般的数项级数求和的方法问题则甚少提及，因此我们在这方面有很大的研究空间。 1.3全文研究内容及章节安排 第一章 首先介绍了课题的研究背景及意义，然后简要介绍了课题的发展概况和研究现状。 1 第二章 本章介绍了几种常用的数项级数求和的方法并举出典型例题加以说明。 第三章 本章介绍了几种特殊的数项级数求和的方法以及在求和方面的几点技巧，并举例说明。 第四章 对研究课题进行了小结，提出对今后工作的展望。 2 第二章 数项级数求和的常用方法 2.1 数项级数的定义及收敛 设有无穷实数列u1,u2,L,un,L,则称un=u1+u2+L+un+L是以un为一般n=1项的数
14、项级数，简记为un。nN+,Sn称为数项级数un的前n项n=1n=1部分和。若部分和数列Sn的极限存在，limSn=S则称级数un收敛，并称S为nn=1级数的和，记为un=S。若部分和数列Sn的极限不存在，则称级数un发散。 n=1n=12.2等差级数求和 等差级数是最简单的级数类型，主要是通过比较前后各项得到级数的公差，然后代入公式即可求和。 例： s=na1+n(a1+an）n(n-1)，其中a1为首项，d为公差。 d=22证明：s=a1+a2+.+an，s=an+.+a2+a1 +得：2s=(a1+an）+(a2+an-1)+.+(an+a1) 因为等差级数a1+an=.=an+a1 所
15、以s=n(a1+an） 22.3首尾相加求和 这一类型的级数主要是将级数的各项前后倒置后与原级数经过基本四则运算，由于首尾各项的运算的结果相同，就可以转化为简单级数求和。 02n例:求cn+3c1n+5cn+.+(2n+1)cn. 02nn210解：s=cn+3c1n+5cn+.+(2n+1)cn，s=(2n+1)cn+.5cn+3cn+cn， n20n+1两式相加得：2s=(2n+2)(cn， +c1n+cn)=(n+1)202nn即：cn+3c1n+5cn+.+(2n+1)cn=(n+1)2 2.4等比级数求和 3 等比级数也是较为简单的级数类型，主要通过比较前后各项得到级数的公比，然后代
16、入公式即可求和。 a1(1-qn)例：当q=1，s=na1；当q1，s=，其中a1为首项，q为公比. 1-q证明：当q=1，易得s=na1， 当q1，s=a1+a1q1+.+a1qn-1 ， qs=a1q+a1q2+.+a1qn ， -得(1-q)s=a1-a1qn. 2.5错位相减求和 这个方法通常应用于等差级数与等比级数的混合型，主要方法是乘以等比级数公比q，再与原级数四则运算后转化为简单的等差或等比级数求和。 2n-1例：计算n. 2解：s=1352n-1352n-1+2+3+.+n ，2s=1+2+.+n-1 ， 2222222nn2k-1n2k-122n-1-得：s=2s-s=1+k
17、-1-k=1+k-n=22k=22k=1k=1212n-1-2n-1=3-1-2n-1， 1+nn-1n12221-21-lims=3. n2.6蕴含型级数相消法求和 这一类型的级数各项之间本身就有紧密的联系，通过仔细观察可以得知前后多项展开之后可以相互之间部分项相消，从而转化为简单级数求和。 例：计算(i-2i+1+i+2). i=1n 解：将各项展开可得： s=1-22+3+()(2-23+4+K+)(n-2-2n+1+n+ )(n-1-2n+n+1+)(4 n-2n+1+n+2 )=1-2-n+1+n+2=1-2+1， n+1+n+2所以lims=1-2. n2.7有理化法求和 对于一些
18、通项含有分式根式的级数，我们可以模仿数学中经常使用的“有理化”方法进行处理，使级数的通项得以化简，进而求出级数的和。. 1例：计算. n(n+1)(n+n+1)n=1解：有题目可以看出原级数含有较多的根式，因此可以运用有理化的方法进行处理，即通项an=对其分母有理化得： 分母有理化1n+1-n=1-1， n(n+1)(n+n+1)n(n+1)nn+11， n(n+1)(n+n+1)则原级数可以采用本文中的2.6“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 2.8原级数转化为子序列求和 若下列条件成立:当n时级数的通项an0 级数各项没有破坏次序的情况而得新序列bn收敛于原级数. n=
19、11111111111+. 例：计算1+2345627893111解：Qliman=0，应用欧拉公式1+.+=c+lnn+en， n23n其中c为欧拉常数， 11111en0(n)s=1+.+-1-.- 233n2n=ln3n-lnn+e3n-en， 5 lims=ln3. n2.9数项级数化为函数项级数求和 这种方法主要是将原来的数项级数转化为相类似的函数项级数，然后通过对函数项级数求和得出原级数的和。1例：求级数和. 2n-1）n=1135.n=1135.2n-1）n=1135.q+cosq+s-qcosq)+(q+qs-qcosnq) qn+2cosnq-qn+1cos(n+1)q+qc
20、osq-q2解此方程得：s= 21+q-2qcosqqcosq-q2. lims=2n1+q-2qcosq3.2三角型数项级数化为复数系级数求和 这类级数是通过将原级数转化为复数域上的级数，再通过求复数系级数进而求出原级数的和。 例：设s= qcosq+q2cos2q+.+qncosnq，求s. 解：由于s=qkcoskq，令z=qeiq=q(cosq+isinq)为复数， k=1n其中k=0,1,2. zk=qkeikq=qk(coskq+isinkq)，其中k=1,2.，得： 1-zn+1nk=z=1+z+z2+.+zn=1+q(cosq+isinq)+q2(cos2q+isin2q)+
21、1-zk=0q3(cos3q+isin3q)+.+qn(cosnq+isinnq)=1+qcosq+q2cos2q+q3cos3q+ .+qcosnq+i(qsinq+qsin2q+.+qsinnq) n2n1-zn+11-qn+1(cos(n+1)q+isin(n+1)q)1=而另一方面= 21-2qcosq+q1-z1-q(cosq+isinq)9 n+1n+2n+21-qcosq-qcos(n+1)q+qcos(n+1)qcosq+qsin(n+1)qsinq+ n+2n+1n+2iqsinq-qcos(n+1)qgsinq-qsin(n+1)q+qsin(n+1)qgcosq 将实部取
22、出再与原级数和对应可得： 1+s=s=1(1-qcosq-qn+1cos(n+1)q+qn+2cosnq)即： 21-2qcosq+q1n+1n+12(1-qcosq-qcos(n+1)q+qcosnq-1+2qcosq-q) 1-2qcosq+q2qcosq-q2当n，且q1时 lims= n1+q2-2qcosq3.3 幂级数求和 3.3.1 利用幂级数的性质求级数和 我们可以根据幂级数的相关性质，对一个幂级数经过逐项的微分或积分，从而转化为等比级数，通过对等比级数的求和后再进行必要的微分或积分就可求出幂级数的和。用这种方法求级数的和时，只需要将级数构造成幂级数的形式就可以求原级数的和。
23、例1：求x+2x2+3x3+4x4+(x1)的和。 解：可令F(x)=x+2x2+3x3+4x4+， 已知它的收敛域为(-1,1). 而原函数在这个收敛域内是可以逐项积分的，所以可得： x0F(t)dt=122334x+x+x+ 234111=(1-)x2+(1-)x3+(1-)x4+ 234=(x+x2+x3+x4+)-(x+=x+ln(1-x). 1-x121314x+x+x+)234其中x1， 故： xxF(x)=nxn=+ln(1-x)=,x1(-1x1). n=11-x(1-x)2例2：求n(n+2)xn-1的和。 n=1 10 解：因为n(n+2)xn-1的收敛区间为(-11，)，
24、故： n=1122334x+x+x+234xxn-1n-1nnn0n(n+2)tdt=0n(n+2)tdt=(n+2)x=(n+1)x=x， 且(-1x1)， xn又因为0(n+1)tdtx=0(n+1)tndt=xn+1x2=，(-1x1)， 1-x2x2x-x2n=所以(n+1)x=. 2n=11-x(1-x)xn-10n(n+2)tdt2x-x2x. =+21-x(1-x)所以n(n+2)xn-1n=12x-x2x3-x=+(1-x)21-x(1-x)3，(-1x1). 3.3.2利用微分方程的转化求级数和 对于有些级数，我们可以通过求解微分方程的方法求出原级数的和，但是运用这种方法时，
25、最主要的是要掌握好关于微分方程的相关知识，并且要有较好的解方程的能力。 x2n+1例： 求. (2n+1)!n=0解：首先通过初步计算可以得出此级数的收敛区间是(-，+). x2n+1x3x5令S(x)=x+ . 3!5!n=0(2n+1)!x2nx2x4两边求导则S(x)=1+， 2!4!n=0(2n)!x2x3+=ex. 所以S(x)+S(x)=1+x+2!3!即可得S(x)+S(x)=ex是一阶线性微分方程. 1通解：S(x)=ex+ce-x， 211 1又因为S(0)=0，所以c=-. 2x2n+11所以=(ex-e-x). 2n=0(2n+1)!3.4 利用傅里叶系数求和 a0如果三
26、角级数+(ancosnx+bnsinnx)于-p，p上一致收敛于f(x)，则任2n=1a0取x-p，p，均f(x)=+(ancosnx+bnsinnx)成立，并且此时有2n=1an=1p1pf(x)cosnxdxb=(n=0,1,2,)，我们就称an，f(x)sinnxdx(n=1,2,)，np-pp-pa0bn是函数f(x)的傅里叶系数，称三角级数+(ancosnx+bnsinnx)是函数f(x)的2n=1傅里叶级数，它的和函数为 f(x),-pxp. S(x)=f(-p+0)+f(p-0),x=p2(-1)n-1例： 求. 2n解：首先要先写出f(x)=x2的傅里叶级数的相关项， a0=1
27、p222xdx=p， -pp3p1p212sinnx1psinnxn4an=-xcosnxdx=x-2xdx=(-1)pppn-pp-pnn2(n=1,2,)， bn=21p2-pxsinnxdx=0(n=1,2,)， p12(-1)n所以x=p+42cosnx(-pxp). 3n因为f(x)在x=0处连续，即f(0)=0， 12(-1)n12(-1)n-1所以0=p+42=p-4. 233nn12 (-1)n-1p2所以. =212n利用傅里叶系数求级数和必须先构造一个函数f(x)，且f(x)的傅里叶级数中含有与通项un 相似的部分. 13 第四章 小 结 以上介绍的等差法，等比法，错位相减
28、法，裂项法，方程式求解法，转化法，利用幂级数、傅里叶系数法等等只是在级数求和的众多方法中的一些，其中既有最普通常用的方法，也有需要较强的技巧性的方法。本文尝试在这些常用方法及几种特殊方法的基础上设立专门针对级数求和的相关板块，而在级数求和时我们首先要注意要的是判断该级数是否收敛，因为只有在级数收敛时才能求它的和。当然，知识的世界是永远没有尽头的，在数项级数求和的方法方面，我们还有许多未知的东西没有发现，而级数在一些其他领域的应用方面也需要我们继续发掘，并将它应用到生活和其他学科中去，以实现它的价值。在人类文明、科技创新不断进步的今天，我们在对数项级数求和方法的探究上也在不断进步，未来无限可能，
29、展望明天，关于数项级数求和方法的探究也将有更加广阔的进步空间，我们将不懈努力，继续关注研究这一领域。 14 致 谢 在论文即将完成的此刻，我要感谢在知识上给予我帮助的指导老师，以及在生活和精神上给予我支持的家人和同学。正是有了你们的指导和陪伴，我才能够顺利的完成这篇论文。你们在这段时间里的所有温暖和帮助，都将是我以后回忆里难以忘记的一页！ 同时要感谢陪伴我四年的同学们，在平常的学习和生活中，他们给了我很多帮助和鼓励，与我一起面对学习和生活中的喜怒哀乐，共同成长，共同进步。在这期间，我也从他们身上学到了许多好的习惯和优秀的品质，你们都是我的榜样，愿我们友谊常在！ 在此还要感谢保护、培育我四年的母
30、校，认识或者不认识的校友，老师。有他们，我有了快乐，有他们，我对世界有了新认识。我快乐的成长在长师大的校园里。今天我即将离校，母校将永远烙印在我的心里。 最后，再一次的衷心感谢所有关心和帮助过我的老师，家人和同学们！ 15 参考文献 1数学分析. 华东师范大学数学系. 北京：高等教育出版社； 2高等数学. 同济大学数学系. 北京：高等教育出版社； 3华腾教育教学与研究中心.数学分析同步辅导及习题全解M.华东师大版.中国矿业大学出版社. 4 金涛.级数求和的若干方法研究J. 中国矿业大学银川学院学报， 2011，100-101. 5数项级数和的几种典型求法. 王云花；张智倍. 高等数学研究201
31、3； 7数项级数求和的一些方法和技巧. 朱剑峰；李鸿萍. 中国科教创新导刊.2011(14)； 8关于数项级数的求和问题. 石奇骠. 晋中学院学报2013； 9 数项级数的求和的方法. 王晓鹏. 曲阜师范大学数学科学学院2013； 10陈文灯. 2011版考研数学复习高分指南M.世界图书出版公司，2011. 11钱吉林.钱吉林数学分析题解精粹M.湖北：长江出版集团，2009. 16 XX大学本科毕业论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，数项级数求和方法的探究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作 者 签 名：年月日 XX大学本科毕业论文版权使用授权书 本论文作者及指导教师完全了解“XX大学本科毕业论文版权使用规定”，同意XX大学保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权XX大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编论文。 作 者 签 名：年月日 指导教师签名：年月日 17
