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1、新人教九年级数学第21章一元二次方程教案人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 第21章 一元二次方程 教材内容 1本单元教学的主要内容 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题 2本单元在教材中的地位与作用 一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容 教学目标 1知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次
2、方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题 2过程与方法 通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等 通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程 通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac0，b2-4ac=0，b2-4ac0，即+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程 27 1 2 四、自主总结 拓展新知 1、a0是ax2
3、+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。 2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。 五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 教学理念/教学反思 第4页 22人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 第2课时 一元二次方程 学 习 目 标 学习重点 学习难点 1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。 2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。 一元二次方程解的探索。 一元二次方程近似解的探索。 教 学 互 动 设 计 一、自主学
4、习 感受新知 设计意图 把方程3x(x1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项 复习巩固一元二系数、一次项系数及常数项。 判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？ 次方程的相关概念。 2x+4x+=0 x2+3x2= x2 x2x22xy3=0 a x2+bx+c=0 二、自主交流 探究新知 猜测方程x-x-56=0的解是什么？ 2探究一元二次方程根的概念以及使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程作用 的解，又叫作一元二次方程的根 下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ 进一步巩固方程-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 的根的含义 要判定一个数是否是
5、方程的根，只要把其代入等式，使等式两边方程的根可以起相等即可 到检验的作用解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或检验一个数是x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根 否是方程的根 认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。 x2-16=0 (x+3)(x-2)=0 (x-2)2=49 x2-2x+1=25 要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题 解：x2-16=0 (x+3)(x-2)=0 x2=16 x+3=0或x-2=0 x=4 x=-3或x=2 x2-2x+1=25
6、第5页 (x-2)2=49 人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 x-2=7 (x-1)2=25 x=9或x=-5 x-1=5 x=6或x=-4 三、自主应用 巩固新知 若x2是方程ax2+4x-5=0的一个根，你能求出a的值吗？ 方程的根的另一根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代个作用代入入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解方程使等号成即可 解：x2是方程ax2+4x-5=0的一个根 4a+8-5=0， 解之得： a-立 3 4若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根，求代数式2
7、007(a+b+c)的值。 如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。 解：x=1是关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的根 a+b+c=0 2007(a+b+c)=0 28 1 2 四、自主总结 拓展新知 1、一元二次方程根的概念； 2、要会判断一个数是否是一元二次方程的根； 3、要会用一些方法求一元二次方程的根 五、课堂作业 P28 3 4 8 1、方程x=2的两根为 Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2= -1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=2 2、方程x-81=0的两个根分别是x1=_，x2=
8、_ 3、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_ 4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有一个根为1，则a+b+c= ；若有一个根是-1，则b与a、c之间的关系为 ；若有一个根为0，则c= 。 5、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求2+4ab的值 教学理念/教学反思 第6页 22人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 第3课时 解一元二次方程配方法 学 习 目 标 学习重点 学习难点 1、使学生会用直接开平方法解一元二次方程。 2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。 掌握直接开平方法解一元二次方程。 灵活运用直接开平方
9、法解一元二次方程。 教 学 互 动 设 计 一、自主学习 感受新知 2设计意图 创设问题情境，引出本节内容 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm，小李用这桶漆恰好刷激发学生兴趣，完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油列出方程后，让学生讨论方程的漆可刷的面积列出方程： 2解法，由于所列106x=1500 出的方程形式比由此可得：x2=25 根据平方根的意义，得x=5 即x1=5，x2=-5 可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长较简单，可以运用平方根的定义来求出方程的为5
10、dm。 解 二、自主交流 探究新知 2对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)=5及鼓励学生独立解决问题，在解决方程x2+6x+9=4? 方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根问题的过程中体的意义，可将方程变形为2x-1=5，即将方程变为2x-1=5和2会解简单的一元二次方程的思想2x-1=-5两个一元一次方程，从而得到方程(2x-1)=5的两个解为“降次”把1+51-5x1=，x2=。 22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。 方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方
11、程可以化成(x+ 3 )2=4，进行降次，得到 x+3=2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。 在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程即，如果方程能化成x=p或(mx+n)=p(p0)的形式，那么可得x=p或mx+n=p 第7页 22二次降为一次，进而解一元一次方程即可 人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 三、自主应用 巩固新知 解下列方程： 2y2=8 2(x-8)2=50 (2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 引导学生观察以上各个方程能否化成x2=p或帮助学生掌握并巩固一元二次方程的解法，同时通过教师规范的板书引
12、导学生不仅要会解方程还要注意正确的解题格式。 (mx+n)=p(p0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解。 解：2y=8 2(x-8)=50 y=4 (x-8)=25 y=2 x-8=5 y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5 x1= 13，x2= -3 22222(2 x-1)2+4=0 4x2-4x+1=0 22(2 x-1)=-40 当 b-4ac0时， 0 24a x+b-4ac-bb-4acb= 即x= 2a2a2a22-b+b2-4ac-b-b2-4ac x1=，x2= 2a2a 由上可知，一元二次方程ax+bx+c=0的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方
13、程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子 第13页 2b2-4ac进行分4a2析。 人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 x=-bb-4ac22a2通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式 就可求出方程的根 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。式子b2-4ac0是公式的一部分。 三、自主应用 巩固新知 用公式法解下列方程 2x2
14、-x-1=0 x2+1.5=-3x (3) x2-2x+ 2用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b-4ac元二次方程的一的值、最后代入求根公式求解 般方法，进一步1=0 4x2-3x+2=0 2利用公式法解一主体探究、探究解： 一元二次方程ax+bx+c=0的根是由一元二次理解求根公式 方程的系数a、b、c确定的； 2在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b-4ac02-bb2-4ac的前提下，把a、b、c的值代入x=中，可求得2a方程的两个根； 由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 37 1 四、自主总结 拓展新知 1、求根公式的推导过程； 22、用公
15、式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b-4ac的值、最后代入求根公式求解 五、课堂作业 P42 5 教学理念/教学反思 第14页 人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 第7课时 解一元二次方程公式法 学 习 目 标 学习重点 学习难点 使学生能用=b-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。 使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。 从具体题目来推出一元二次方程ax+bx+c=0的=b-4ac 的情况与根的情况的关系。 教 学 互 动 设 计 一、自主学习 感受新知 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ 2x2-3x=0
16、 3x2-23x+1=0 4x2+x+1=0 设计意图 222二、自主交流 探究新知 根据问题填写下表： x1、x2的关系 22 方程 b-4ac的值 b-4ac的符号 不相等 2x2-3x=0 9 0 2相等 0 =0 3x-23x+1=0 不存在 4x2+x+1=0 -15 0与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析： 2基础上分组讨论，利用一元二次方程的知-bb-4ac 求根公式：x=，当b2-4ac0时，根据平方根的意义，识解决上述问2a题，同时熟悉一元二次方程-b+b2-4acb-4ac等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=的两种解法2a2-b-b-4ac，即有两个不相等的实根当
17、b2-4ac=0时，根据平方根的2a-b22意义b-4ac=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个第15页 2公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系 人教版九年级数学上册教案 第21章 一元二次方程 龙塘初级中学数学科组编写 -b+b2-4ac-b-b2-4ac不相等实数根即x1=，x2=。 2a2a当= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根即x1=x2=-b。 2a2当=b-4ac0的解集 要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程x2-2ax+a+1=0没有实数根，即2-40就可求出a的取值范围 解：关于x的一元二次方程x-2ax+a+1=0没有实数根 -4=4a-4a+4a+80 a0即ax-3 x-2222222233所求不等式的解集为x0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根； =b2
