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1、本讲内容,一、环的定义二、环内特殊元素三、环的分类四、子环、理想和商环,一、环的定义,（1）（R，）是一个可换群；,（2）（R，）是一个半群；,（3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(bc)=abac，(ab)c=acbc；,则称代数系统（R，）是一个环。,（R，）是一个交换群，称为环R的加法群。,如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。,定义1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算，一种叫加法，记做，另一种叫乘法，记做；且满足：,（Z，）是一个交换环。,（Z，）称为整数环。,有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘法构成交换环。,把数集关于数的加法、乘法做成的
2、环，称为数环。,Z，Q，R，C都是数环。,例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一个环（Z，）。,一般地，设A是一个数环，Ax表示系数属于A的一切x的多项式所成集合，则Ax关于多项式的加法与乘法构成一个环。,例2：设Zx=a0a1xa2x2anxn|aiZ，n0为整数，则Zx是系数为整数的一切x的多项式所组成的集合，Zx关于多项式的加法与乘法构成一个环。,二、环内特殊元素,环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做a。,R的零元及每个元素的负元都是唯一的。,如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a，则称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。,常把环R的单位元e记为1
3、。,如果环R有单位元，则单位元是唯一的。,1环内一些特殊元素,环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。,如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a1。,对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于环R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群，记做U(R)。,设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使ab=ba=1，则称a是R的一个可逆元，并称b为a的逆元。,则(Zn，)是有单位元的交换环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。,(Zn，)的单位群是Zn*。,倍数法则：对任意的m，nZ，a，bR，,（1）mana=(mn)a；（2）m(ab)=mamb；（3）m(na
4、)=(mn)a=n(ma)；（4）m(ab)=(ma)b=a(mb)。,指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，,（1）(am)n=amn；（2）aman=amn。,利用负元的概念，定义环R的减法“”为：对任意的a，bR，令ab=a(b)。,2性质,若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。,R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。,3无零因子环,定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。,例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。,定义2：设R是一个环，a，bR，若ab=0，且a0和b0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。,定理1：环
5、中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立，即：a0，ab=acb=c；a0，ba=cab=c。,三环的分类,1整环,定义5：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。,所有数环都是交换环，同时也是整环。,2.除环,定义6：若含有单位元和零的环R中每个非零元都可逆，则称R为除环。,模6的同余类环Z6不是整环。,3域,定义7：若R是一个可交换的除环，则称R为域。,注：域一定是整环，但整环却不一定是域。,整数环Z不是域。,有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。,具有有限个元素的域，称为有限域。,定理2：（Zn，）是域的充要条件是n是素数。,具
6、有有限个元素的整环是域。,四、子环、理想和商环,定义8：设（R，）是一个环，S是R的一个非空子集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的一个扩环。,定理3：设（R，）是一个环，S是R的一个非空子集；则S是R的子环的充要条件是：（1）对任意的a，bS，有abS；（2）对任意的a，bS，有abS。,对于任意一个环R，都有两个子环：0与R。这两个子环称为R的平凡子环。,定义9：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足：（1）对任意的r1，r2I，r1r2I；（2）对任意的rI，sR，rs，srI；则称I为环R的一个理想。,例9：整数环Z中，任取mZ，则I=mn|nZ是Z的理想。,例1
7、0：在数环R上多项式环Rx中，令I表示一切常数项为零的多项式全体，即I=a1xa2x2anxn|aiR，nN，则I是多项式环Rx的一个理想。,定理4：设R是一个环，I是环R的一个理想，,则（R/I，）是一个环。,定义10：称环R/I为环R关于理想I的商环，或称为R模I的同余类环。,定理5：设R为环，I是R的理想，则：,（3）如果R是交换环，则R/I也是交换环。,（2）同一个记号Zn表示不同的意义：,(i)当Zn看作是整数n的商群时，Zn中只有加法一种运算；,(ii)当Zn看作是整数n的商环时，Zn中有加法和乘法两种运算。,例12：做出环Z关于(3)=3r|rZ的商环Z/(3)的加法和乘法运算表。,注：（1）Z/(n)为域的充要条件是n为素数。,1、求模12的同余类环Z12的所有零因子和单位。,作业：,2、做出环Z关于(5)=5r|rZ的商环Z/(5)的加法和乘法运算表。,课后作业（1）习题1/10/14（2）预习多项式环,
