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1、最小拍有限拍设计例题题目要求1： 已知连续被控对象的传递函数G(s)=10，采用单位负反馈离散时s(0.01s+1)间有限拍控制，采样周期T=0.01s。分别考虑单位阶跃和单位斜坡输入，试设计最小拍控制器D(z)；进行仿真验证，并得出相应结论。 解： 1、在单位阶跃输入作用下：R(z)=广义被控对象G(z) 1-e-Ts10G(z)=zss0.01s+1()10=(1-z)z2s0.01s+1()1110=(1-z-1)z2-10+1000s0.01s+1s10Tz1z1z-1=(1-z)-+2-100T10z-110z-ez-1()10T11z-1=-+z-11010z-e-100Te-10
2、0T(z-1-100T)+z(100T-1)+1=10(z-1)(z-e-100T)-11 -11-z=0.0368z-1(1+0.717z-1)(1-z)(1-0.368z)-1-1广义被控对象零极点的分布： 圆外极点 无， i=0 圆外零点 无， j=0 延时因子 z-1 r=1 输入阶跃函数R(z)的阶次 p=1 确定期望的闭环结构 闭环传递函数Gc(z)：Gc(z)=z-rTl(z-1) 误差传递函数Ge(z)：Ge(z)=(1-z-1)Bq(z-1) 因为Gc(z)和Ge(z)的阶数要相同 所以l+r=1+q 按最小拍设计 又因延时因子r=1 所以l=q=0 所以：Gc(z)=z-1
3、T0(z-1) Ge(z)=(1-z-1)B0(z-1) 于是令 ： T0(z-1)=a0B0(z-1)=b0代入上式，得：Gc(z)=z-1a0 z1)0b Ge(z)=(1- 根据Gc(z)+Ge(z)=1，得： a0=1，b0=1 所以可得： Gc(z)=-z1 Ge(z)=1-z1 确定控制器结构 D(z)=Gc(z)Ge(z)G(z)z-1=-1-1-10.0368z(1+0.717z)(1-z)(1-z-1)(1-0.368z-1) 1-0.368z-1=0.0368(1+0.717z-1)27.174(z-0.368)=(z+0.717)检验控制序列的收敛性 U(z)=D(z)E
4、(z)=Gc(z)R(z)G(z)z-11=-10.0368z-1(1+0.717z-1)1-z(1-z)(1-0.368z)-1-11-0.368z-1=0.0368+0.0264z-1=27.174-29.484z-1+21.151z-2-15.174z-3+10.88z-4.即控制量从零时刻起的值为27.174，-29.484,21.151，-15.174,10.88，故是收敛的。 检验输出响应的跟踪性能 z-1Y(z)=Gc(z)R(z)=1-z-1 =z-1+z-2+z-3+输出序列为1，1，1.从第二拍起可得稳定的系统输出。 误差信号 E(z)=Ap-1(z)Bq(z)=1 从第二
5、拍起误差为0且保持不变。 在Simulink环境下系统仿真模型如图1所示： 图1 系统仿真模型 图中，增益Gain相当于采样开关。 仿真结果如图2所示： 图2 仿真结果 图中，t=0s时施加单位阶跃输入；紫色是连续输出；青色是离散输出；黄色是误差；红色是输出控制序列。 2、在单位斜坡输入作用下：R(z)=、广义被控对象G(z) Tz-1(1-z)-121-e-Ts10G(z)=zss0.01s+1()10=(1-z)z2s0.01s+1()1110=(1-z-1)z2-10+1000s0.01s+1s10Tz1z1z-1=(1-z)-+2-100T10z-110z-ez-1()10T11z-1
6、=-+z-11010z-e-100Te-100T(z-1-100T)+z(100T-1)+1=10(z-1)(z-e-100T)-1=0.0368z-1(1+0.717z-1)(1-z)(1-0.368z)-1-1广义被控对象零极点的分布： 圆外极点 无， i=0 圆外零点 无， j=0 延时因子 z-1 r=1 输入阶跃函数R(z)的阶次 p=2 确定期望的闭环结构 闭环传递函数Gc(z)：Gc(z)=z-rTl(z-1) 误差传递函数Ge(z)：Ge(z)=(1-z-1)Bq(z-1) 2因为Gc(z)和Ge(z)的阶数要相同 所以l+r=2+q 按最小拍设计 又因延时因子r=1 所以l=
7、1， q=0 所以：Gc(z)=z-1T1(z-1) Ge(z)=(1-z-1)B0(z-1) 2于是令 ： T1(z-1)=a0+a1z-1B0(z-1)=b0代入上式，得：Gc(z)=z-1(a0+a1z-1) Ge(z)=(1-z)根据Gc(z)+Ge(z)=1，得： -120b a0=2，a1=-1，b0=1 所以可得： Gc(z)=z-1(2-z-1) Ge(z)=(1-z-1)2 确定控制器结构 Gc(z)D(z)=Ge(z)G(z)=z-1(2-z-1)0.0368z-1(1+0.717z-1)(1-z)(1-z-1)(1-0.368z-1) (1-0.5z-1)(1-0.368
8、z-1)-12=0.0184(1-z-1)(1+0.717z-1)54.348(z-0.368)(z-0.5)(z-1)(z+0.717)检验控制序列 U(z)=D(z)E(z)=Gc(z)R(z)G(z)Tz-1(1-z-1)20.0368z-1(1+0.717z-1)z-1(2-z-1)-1(1-z)(1-0.368z)-10.02z-1-0.00173z-2+0.00368z-3=0.0368+0.0104z-1-0.0264z-2=0.543z-1+0.107z-2+0.519z-3+0.36z-4即控制量从零时刻起的值为0.543，0.107，0.519，0.36，故是收敛的。 检验
9、输出响应的跟踪性能 Y(z)=Gc(z)R(z)=z-1(2-z)-10.01z-1(1-z)-12=0.02z-2+0.03z-3+0.04z-4+0.05z-5+0.06z-6+0.07z-7输出序列为0.02，003，0.04,0.05从第三拍起可得稳定的系统输出。 误差信号 E(z)=Ap-1(z)Bq(z)=0.01z-1 从第三拍起误差为0且保持不变。 在Simulink环境下系统仿真模型如图3所示： 图3 系统仿真模型 图中，增益Gain相当于采样开关。 仿真结果如图4所示： 图4 仿真结果 图中，t=0s时施加单位斜坡输入；紫色是连续输出；青色是离散输出；黄色是误差；红色是输出
10、控制序列。 3、结论 连续时间被控对象按照有限拍/最小拍设计法设计时，对被控对象加上零阶保持器再按照部分分式法离散化可以实现严格的有限拍/最小拍误差调节。 由图2和图4可见，尽管在1拍或2拍后在采样点上以达到输出无误差，但是在采样点之间输出还是存在较大的“纹波”。 题目要求2： 针对某一特定输入设计的有限拍系统，其调节器D(z)对于该特定输入是最小拍无差，但是对于其它不同类型的输入，其输出特性可能会变得很差。对这个问题进行仿真验证。 1、按单位阶跃输入设计的调节器，施加单位斜坡输入 针对单位阶跃输入设计最小拍控制器D(z)的方法同前，结果以同前。不同的是施加单位斜坡输入，在Simulink环境
11、下系统仿真模型如图5所示： 图5 系统仿真模型 图中，增益Gain相当于采样开关。 仿真结果如图6所示： 图6 仿真结果 图中，t=0s时施加单位斜坡输入；紫色是连续输出；青色是离散输出；黄色是误差；红色是输出控制序列。 通过图2和图6的仿真结果可以看到，在单位阶跃输入下设计的相同调节器， 在单位阶跃输入作用下，表现为其误差在有限拍后会保持为零；而在单位斜坡输入作用下，其误差一直保持不为零。 通过图4和图6的仿真结果可以看到，当二者均在单位斜坡输入作用下时，按单位斜坡输入设计的有限拍系统，其调节器D(z)对于该斜坡输入是最小拍无差；但是，对于在单位阶跃输入设计的有限拍系统，其输出特性变得很差。
12、 2、按单位斜坡输入设计的调节器，施加单位阶跃输入 针对单位斜坡输入设计最小拍控制器D(z)的方法同前，结果以同前。不同的是施加单位阶跃输入，在Simulink环境下系统仿真模型如图7所示： 图7 系统仿真模型 图中，增益Gain相当于采样开关。 仿真结果如图8所示： 图8 仿真结果 图中，t=1s时施加单位斜坡输入；紫色是连续输出；青色是离散输出；黄色是误差；红色是输出控制序列。 通过图2和图8的仿真结果可以看到，当二者均在单位阶跃输入作用下时，按单位阶跃输入设计的有限拍系统，其调节器D(z)对于该阶跃输入是最小拍无差；但是，对于按单位斜坡输入设计的有限拍系统，其输出误差一直不为零。 通过图4和图8的仿真结果可以看到，按单位斜坡输入下设计的相同调节器， 在单位斜坡输入作用下，表现为误差调节的拍数少且误差最终会保持为零；而在单位阶跃输入作用下，其输出误差一直不为零。 3、结论 针对某一特定输入设计的有限拍系统调节器D(z)，其对于该特定输入是最小拍无差，但是，对于其它不同类型的输入，其输出特性可能会变得很差。就是说有限拍/最小拍无差系统的设计依赖于特定的输入函数类型。 以上内容由一年级研究生高洁完成。
