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1、有限元点题一、有限元的作用？ 答：在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。有限元方法的应用：1、转向机构支架的强度分析。2、金属成形过程分析:分析金属成形过程中的各种缺陷。3、焊接残余应力分析。4、BMW曲轴的感应淬火 。5、复杂形状工件的组织转变预测：预测工件的组织分布和机械性能。6、其他的应用还包括：电磁学、流体力学、电磁场等等。 一、 网格划分的原则？ 答：1 网格数量： 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以
2、在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 在决定网格数量时应考虑分析数据的类型：1、在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。2、计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。3、在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。4、在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如
3、果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。 2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。 3 单元阶次 许多单元都具有线性、二次和三次等形式，其中二次以上的称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界，且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数，所以当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。但高阶单元的节点数较多，在网格数量相同的情况下由
4、高阶单元组成的模型规模要大得多，因此在使用时应权衡考虑计算精度和时间。 在精度一定的情况下，用高阶单元离散结构时应选择适当的网格数量，太多的网格并不能明显提高计算精度，反而会使计算时间大大增加。为了兼顾计算精度和计算量，同一结构可以采用不同阶次的单元，即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。不同阶次单元之间或采用特殊的过渡单元连接，或采用多点约束等式连接。 4 网格质量 网格质量是指网格几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度,质量太差的网格甚至会中止计算。直观上看，网格各边或各个内角相差不大、网格面不过分扭曲、边节点位于边界等份点附近的网格质量较好。 网格质量可用细
5、长比、锥度比、内角、翘曲量、拉伸值、边节点位置偏差等指标度量。在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格，即使是个别质量很差的网格也会引起很大的局部误差。而在结构次要部位，网格质量可适当降低。 5 网格分界面和分界点 结构中的一些特殊界面和特殊点应分为网格边界或节点以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移约束条件。即应使网格形式满足边界条件特点，而不应让边界条件来适应网格。常见的特殊界面和特殊点有材料分界面、几何尺寸突变面、分布载荷分界线(点)、集中载荷作用点和位移约束作用点等。 6 位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是
6、相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。否则，单元之间须用多点约束等式或约束单元进行约束处理。 7 网格布局 当结构形状对称时，其网格也应划分对称网格，以使模型表现出相应的对称特性(如集中质矩阵对称)。不对称布局会引起一定误差。 8 节点和单元编号 节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数，因而影响计算时间和存储容量的大小，因此合理的编号有利于提高计算速度。但对复杂模型和自动分网而言，人为确定合理的编号很困难，目前许多有限元分析软件自带有优化器，网格划分后可进行带宽和波前优化，从而减轻人的劳动强度。 二、 有限元-如何构造最合理的位移模式，根据划分的
7、网格写出位移模式。 空间有限元 1、位移模式：轴对称问题的环向位移恒等于零，径向r位移与轴向z位移不等于零。对于图示情形，依照平面问题的三角形单元分析，取位移模式为 u=a1+a2r+a3zw=a4+a5r+a6z代入节点位移后，可解出a1-a6，再代入上式，得 u=Niui+Njuj+Nmumw=Niwi+Njwj+Nmwm其中形函数： 1Ni=(ai+bir+ciz)(i,j,m)2A单元中位移 ai=rjzm+rmzjbi=zj-zmc=r-rmji平面弹性问题有限元 位移模式 f=Nd=NiNjNmdee采用坐标x、y 的多项式的位移模式 u(xy)=a1+a2x+a3yn(xy)=a
8、+ax+ay456矩阵形式 a2xy000a3u(xy)1节点l, m, n的坐标分别为(xl, yl)、(xm, ym)、(xn, yn),节点位=0a4v(xy)001xya5移为(ul, vl)、(um,vm)、(un, vn)。 a6l 点满足位移模式 a1u即： =Mav aul=vl10xl0yl0010xla20a3yla4a5a6m、n点也满足位移模式。 ulv lum= vmun vne 101010xl0xm0xn0yl0ym0yn00101010xl0xm0xn0a1ayl20a3yma40a5yna6d=Aa三、 网格的结点，如何构造最合理的网格？ 答：节点：空间中的坐
9、标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。 单元:一组节点自由度间相互作用的数值矩阵描述(称为刚度或系数矩阵) 单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。 四、 单元特性分析：三角形、单元刚度矩阵、三节点。三角形单元的节点分析，讲的例题。 五、 应力 答：外力还可按作用的方式分为集中力和分布力。例如，对于机翼来说，分布力为气动力和机翼结构的质量力；集中力为安装在机翼上的部件的质量力以及某些部件工作时所产生的作用力，还有机身通过接头作用的力。 六、 弹性力学-边界条件，位移的边界条件、应力的边界条件。根据图写出边界条件。 应力边界条件给定边界面力分量OX,Y由斜面的应力分析，得(ssyy)s
10、(ttyx)syx。PA(ssxx)s(tt)sxyxyBxXNl(sx)s+m(txy)s=Xm(sy)s+l(txy)s=YyY式中，l、m为边界外法线关于x、y 轴的方向余弦。l=1,m=0.(sx)s=X,(txy)s=Y垂直x轴的边界：垂直y轴的边界：l=0,m=1.(sy)s=Y,(tys)s=X按位移求解平面问题的基本方程将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有uv+mxyEvusy=+m21-myxvuEtxy=+2(1+m)xysx=syE(ex+mey)1-m2E=(ey+mex)1-m2sx=E1-m2txy=Eg2(1+m)xy代入平衡方程，化简有E2
11、u1-m+2221-mx2v1-mE+221-my22u1+m+2y22v1+m+x222v+X=0xy2u+Y=0xy将边界条件用位移表示位移边界条件：us=u,vs=v应力边界条件：l(sx)s+m(txy)s=Xm(sy)s+l(txy)s=Y将式代入，得uvx+myEvusy=+m21-myxEsx=1-m2vuE+2(1+m)xytxy=Euv1-muvl+m+m+=X2ys2yxs1-mxvu1-mvuEmy+mx+l2x+y=Y1-m2ss上式构成按位移求解问题的基本方程说明：对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。按位移求解平面
12、问题的基本方程E2u1-m2u1+m2+221-mx2y2平衡方程：2v1-m2v1+mE2+221-my2x2边界条件：位移边界条件：应力边界条件：2v+X=0xy2u+Y=0xyus=u,vs=vE21-mE1-m2uv1-muvl+m+m+=Xys2yxsxvu1-mvu+m+l+m=Yyx2xyss2. 边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。是力学计算模型建立的重要环节。OqxP位移边界Su边界分类应力边界Ss混合边界位移边界条件位移分量已知的边界位移边界三类边界ySsSu用us、vs表示边界上的位移分量，u,v表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可
13、表达为：说明：S=Ss+Suus=uvs=v应力边界条件当u=v=0时,称为固定位移边界。平面问题的位移边界条件xqPO在边界上取直角三角形微元体PAB，其斜面AB与边界面重合。N为其法线。给定应力边界面力分量X,Yl、m为边界外法线关于x、y 轴的方向余弦。由SsFF又：x=0=0得yX=lsx+mtyxY=msy+ltxyOPSuS=Ss+Suysx=(sx)s,sy=(sy)s,txy=(txy)ssytyxxsxy则：l(sx)s+m(txy)s=Xm(sy)s+l(txy)s=YdxdydsAtxyBXYN平面问题的应力边界条件混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为
14、应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。图(a)：us=u=0(t)图(b)：位移边界条件xys=Y=0(sx)s应力边界条件=0应力边界条件vs=v=0位移边界条件特殊边界应力边界条件：垂直x 轴边界：垂直y 轴边界：l=1,m=0.(sx)s=X,txy()l=0,m=1.(sy)s=Y,(tys)s=Xqhhs=Y例1如图所示，试写出其边界条件。(1)x=a,l=1,m=0ay(3)X=0,Y=0l(sx)s+m(txy)s=Xxm(sy)s+l(txy)s=Y(sx)s(2)=0,(txy)s=0l=0,m=-1X=0,Y=qy=+h,l=0,m=+1X=0,Y=0y=-h,(sx)s0+(txy)s(+1)=0(s)(s)(-1)+(t)0=q(s)=-q,(t)=0ysxysysxys(sx)s0+(txy)s(-1)=0ys(+1)+(txy)s0=0ys(s)=0,(txy)s=0
