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1、1,主要内容：10.1 电路优化设计概述 10.2 目标函数10.3 单变量函数优化 10.4 多变量函数优化10.5 有约束优化方法 10.6 统计优化方法10.7 模拟退火法,第10章 电路的优化设计方法,2,10.1 电路优化设计概述,电路的优化设计方法，应包括以下两方面：A.自动设计电路的拓扑结构;B.自动确定电路的元器件参数。利用CAD技术进行电路优化设计的过程：,给定电路拓扑结构和元件参数初值,建立优化目标函数,对电路性能进行分析,用优化算法求目标函数的最小值,满足误差要求否？,输出优化结果,调整元器件参数,图10.1.1 电路优化设计框图,3,10.1 电路优化设计概述,最优化设
2、计方法的数学描述:,F(P):目标函数，越小说明设计越好,P=(p1,p2,pm)T：元件参数向量,不等式约束和等式约束条件,4,10.2 目标函数,目标函数由电路特性的误差函数组成，是电路实际特性与设计要求特性之间误差的量度，是评价电路设计好坏的定量指标。优化设计就是求目标函数的极小值。,1.目标函数的表达式不可能给出目标函数的统一表示形式，只能针对具体不同的电路设计问题，给出不同的描述方式。,5,例子（1）电路频响特性优化设计的目标函数,频响特性越复杂频点数应越多,k大则误差函数中数值大的分量权重自动加大通常k=2,防止溢出,W(i)是个正实数，在不同的采样点可选取不同的数值，用以权衡各采
3、样点对性能的要求。,6,例子（2）：电路时域特性优化设计的目标函数,实际瞬态响应特性V(P,t),理想时域特性,目标函数,时域采样点数,例子（3）：电路静态工作点优化设计的目标函数,电路节点电位Vi,感兴趣的支路电流Ij,电源功耗,多目标优化,目标函数,节点电位和支路电流相对误差最小,电源功耗最小,7,2.目标函数的极值最优化方法的目标是寻找目标函数的极小值。,（1）一元函数极值一元函数F(p)，极小点p=p*，对所有的p均有F(p*)F(p)p*存在的充要条件是:,单一极小点,全局极小点,局部极小点,相对极大点,拐点,极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。,在最优化方法中，如果是极大值问题
4、，一般将其转化为极小值问题来求解。,8,（2）多元函数极值将多元函数F(P)展成台劳级数，并略去高阶导数项，得,海森矩阵,9,10.3 单变量函数优化,数值最优化法的步骤：（关键求Sk,k）（1）从初始猜测点P0开始；（2）寻找一合适方向Sk(k=0,1,),Sk为第k+1次迭代搜索方向；（3）沿Sk方向向前进一步的步长设为k，求合适的步长k；（4）由Pk+1=Pk+kSk 得到新的点Pk+1，它应当比原来的点Pk更接近最优点；（5）检验Pk+1是否最优，若最优则停止迭代；否则k=k+1，转(2)步骤继续迭代。,10,单变量函数最优化问题：对一维搜索来说，因为Sk是+1或-1，P0也可以确定，
5、故 f(Pk+Sk)()，也就是说可用后者来逼近前者一维搜索的方法有两类：函数逼近法，试探法,10.3 单变量函数优化,1.插值法（属函数逼近法）求最优步长的实质：求单变量函数f()在某一区间a b中的极小值，即：min f()a b 插值法：包括二次插值方法和三次插值方法。,11,（1）二次插值方法如果已知函数f()在区间中的三个点1 2 3 的函数值为f(1)，f(2)，f(3)，则可通过这三点(1,f(1),(2,f(2),(3,f(3)作一条抛物线，并用此抛物线()（二次曲线）来逼近函数f()。,设这个多项式为,极小点*值,12,实用的二次插值法：迭代法不直接采用一次抛物线逼近得到的*
6、作为最优步长，而是要进行迭代。将最优解(*,*)取代原三个点(1,1)，(2,2)，和(3,3)中最坏（即该与相应的f差别最大）的一个点，构成新的三个点。再通过这三个点重新进行抛物线逼近，再次求得最优解。如果反复迭代，直到相邻两次解的差足够小，满足误差要求，则认为一维搜索迭代收敛。收敛后的最优解*即为最终最优解。,13,（2）三次插值方法,14,2.黄金分割法（属试探法）：又称0.618法,f(3)=f(4),f(3)f(4),15,10.4 多变量函数优化,多变量函数优化的方法：梯度法（最速下降法、牛顿法、共轭梯度法以及变尺度法等）、单纯形法。,1 最速下降法原理,泰勒展开,16,17,优缺
7、点：最速下降法简单，在迭代初期收敛速度较快。它的缺点是在极小点附近收敛很慢。收敛慢原因：大多数目标函数在极小点附近都接近于二次函数，而最速下降法的台劳展开式只取了一阶。,18,二阶梯度法的基本思想：将泰勒展开式取到二阶，会使算法收敛性得到改善。牛顿法、变尺度法和共轭梯度法都属于二阶梯度法。,2.牛顿法,优点：利用了函数的二次导数信息，收敛速度大大地加快了。缺点：每次迭代都要计算二阶导数矩阵的逆矩阵,19,3.变尺度法变尺度法的原理是：用一阶偏导数组合成一个与Hk同阶的矩阵Ak,以Ak近似表示海森逆矩阵Hk-1,从而避免了求二阶导数和求逆的困难，此法又叫拟牛顿法。此处介绍DFP法（60年代由Da
8、vidon，Fletcher和Powell提出）。,DFP迭代式,20,21,4.共轭梯度法不必计算海森矩阵。,22,目的：避免计算海森矩阵,初始搜索方向,共轭要求,牛顿法的要求,23,5 单纯形法属多维直接搜索优化方法，不必求导。单纯形:在一定空间中，由直线构成的最简单图形。例子：二维空间中的单纯形是三角形，三维空间的单纯形是有四个顶点的四面体，N维空间的单纯形是N+1个顶点的几何形体。,二维单纯形,三维单纯形,24,二元目标函数单纯形法的基本原理,F(p1,p2)最大为最差，最小为最好,=1,PG和PL联线中点为PC,反射点,确定搜索点,25,N元目标函数单纯形法的原理（1）给定初始参数：
9、初始点P0，变量数n，步长h，扩展因子，压缩因子，最大允许搜索次数k，各顶点的方向矢量等等。（2）根据步长计算出n+1个顶点：Pi=P0+hi(i=1,2,n)，Pn+1=P0（3）计算n+1个顶点的函数值，确定最大、次大和最小三点：YH=F(PH)-函数最大点值；YL=F(PL)-函数最小点值；YG=F(PG)-函数次大点值；（4）判收敛：,26,27,在优化问题中，除了使目标函数最小之外，还需满足一些约束条件，称之为有约束的优化问题。约束条件可分为:等式约束与不等式约束两大类。,10.5 有约束优化方法,可行解域,无限多可行解,最优解,28,罚函数法：实际中应用最广泛而又较为简单、有效的一
10、种数值优化方法。,等式约束的罚函数法,Mk是个很大的正数，称为罚因子或罚系数,惩罚项或约束函数,当gi(P)不等于0，即不满足约束等式时，罚函数(P,Mk)的值将很大，不能收敛；只有当gi(P)=0时，罚函数才等于元函数F(P)。,29,2.不等式约束的罚函数法,如果Pk在可行解域外而又远离边界，则(P,Mk)将会很大，罚因子的作用是不让Pk远离边界。当Mk无穷时，P*k 由非可行解域，向约束边界逼近收敛，称之为外罚函数法。,不等式约束优化问题,30,外罚函数法的具体迭代步骤如下：（1）设起始点P0,给定初始处罚因子M1,且 Mk+1=CMk,C1。令k=1。（2）应用任何一种无约束优化方法求
11、罚函数(P,Mk)的极小值Pk*。（3）检验Pk*是否满足约束条件和优化收敛判据。若是，则Pk*为最优解，迭代结束；否则，继续下一步。（4）令k=k+1，转步骤（2）。,31,10.6 统计优化方法,统计优化方法概述,电路参数稍稍偏离p*,就有可能不合格,合格域 pt,pu,32,考虑电路参数的容差及以随机性的电路优化问题，称之为统计优化问题，或统计电路设计。目前所提出的各种统计优化方法大致分为两类：,确定性方法试图用一确定性数学规划问题的序列逐步逼近最优中心值设计问题的解，称之为确定性统计电路设计方法。例如，某种确定性方法可以对合格域边界做出某种描述，将参数中心选在合格域中心点，并在所确定的
12、合格域内嵌入一个尽可能大的容差域，而使合格率达到最大。这类方法实用程度不高。,33,B.统计性方法采用各种改进的蒙特卡罗方法估计电路合格率的数值或梯度值，据此来改变电路参数中心值，以提高合格率。优点：适合于大规模电路的优化设计。缺点：需在不同参数中心值上进行抽样点数很大的蒙特卡罗分析和电路模拟，故计算量很大。具体的统计优化算法有很多种。例如，以实现100%合格率为目的的最坏条件设计；在给定合格率的情况，求最大的容差域；在给定合格率的情况，求最佳的电路性能等等。,34,中心值优化法 以合格率最大为目标2.中心值优化的数学模型,概率密度函数,参数中心,合格域,容差域,35,蒙特卡罗方法估计电路设计
13、中心点为P0时的合格率：,10.6 统计优化方法,36,3.统计搜索法进行最优中心设计（1）统计搜索法的基本原理和步骤,不合格点在参数空间的重心GF,合格点在参数空间的重心Gp,沿此方向移动原中心值P0的坐标，使合格率上升,对电路元件参数取N个样本点，进行N次电路分析，其中合格次数为Np,37,统计搜索算法的具体步骤如下：1）给定初始中心值P0，参数容差以及电路性能约束条件。并给定允许误差和抽样次数N。设迭代次数k=1。2）用蒙特卡罗法对电路进行N次抽样，并进行电路分析，得到合格次数Np和不合格次数NF。,第k次迭代第i个参数,第i个参数之第j个样本点,n元件参数数目,38,10.6 统计优化
14、方法,39,（2）中心值优化方法的改进目的：力图降低运算量。1）相关取样方法,在第k次取样与第k+1次取样时采用“相关取样”，即相邻两次随机数序列相同，则协方差为正数，方差减小。合格率增量估计的准确度增加。故可以减小取样点数N。,中心值的移动应使合格率增加,40,公共区,均匀取样的概率分布密度,两次迭代的取样中有一部分样本点将落在公共区内，这些点称为公用点。,利用公用点作为下一迭代中的部分取样点，可以节省计算量。并使两次取样存在正相关，提高算法的可靠性，进一步降低取样点数。,2）中心值移动中利用公共取样点,在中心值设计过程中，随着中心值的移动，相邻两次中心值处相应的容差域将有部分重叠，而且越接
15、近于最优中心值，重叠的部分也就越大，称为公共区。,41,10.7 模拟退火法,模拟退火法:一种全局优化算法，比较适合于求解较大型的优化问题，特别是组合优化问题。,金属退火：高温熔化状态下，金属分子平均动能大，分子可以自由移动，若缓慢冷却，熔融金属分子将规则排列起来形成单晶体。这种过程称为退火。由此系统由高能状态达到其最低能量状态。若快速冷却，熔融金属将成为多晶甚至非晶，系统能量将比单晶态时要高一些。金属退火过程与函数优化过程的类比：退火过程中的系统能量-优化问题的目标函数；退火过程中分子的移动-优化设计参数的变化；退火过程中温度变化速度-优化迭代过程中的步长；,42,模拟退火法的特点,退火时系
16、统能量由E1状态变化到E2状态的概率,波尔兹曼常数,当E21，这表明由能量高的状态变化到能量低的状态总是允许的，而且我们的目的就是要达到能量最低状态。当E2E1时，P比较小，但不为零；也就是说退火过程中系统能量稍有升高也是允许的。,优化过程中体现为：目标函数呈下降趋势，但也允许目标函数低的优化参数向目标函数高的优化参数移动。从而使其有可能跳出某个局部极小点，达到另一个更好的局部极小点，甚至是全局极小点。,43,采用模拟退火法解决连续函数的极值问题：假定在N维空间中，目标函数f(x)有多个极值点，设计变量x代表系统状态，f(x)代表系统能量E，控制参数（步长）为T，f(x)按退火策略缓慢减小。以
17、单纯形法为基础，首先由(N+1)个初始点构造一个单纯形，通过反射、延伸、压缩等措施获取一个更好的单纯形。在更新单纯形时，按一定概率接收一个或一系列新的顶点，即使是目标函数值较大的点也有机会更新原单纯形的顶点。在温度条件控制之下，反复重复更新单纯形，就能很好地模拟退火过程，而最终获得的单纯形将收敛于f(x)的全局极小值点。,44,退火策略采用模拟退火法求解连续函数的极值问题，其退火策略是多种多样的。下面列举三种常用的策略：1）单纯形每移动m次，将温度T降到(1)T。其中，,m都可以根据统计方法估计出一个适当的取值。2）假定单纯形总共移动M次之后就停止优化过程，而每移动m次，温度T就降到:,3）单纯形每移动m次，将温度T降到,到当前为止进行随机移动的次数，m的倍数,与目标函数极值点分布有关的常数，通常取1,2,4,经验常数,当前单纯形各顶点目标函数的最小值,到目前为止所获得的目标函数的最小值,45,收敛策略,上面几种收敛策略也可以结合起来应用，以提高求解效率。,
