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1、1,质点运动微分方程是解决质点动力学问题的普遍方法，但用它解决质点系动力学问题则很麻烦，因为 要解3n个联立的二阶微分方程。在很多问题中，并不需要了解每一个质点的运 动，只需要知道代表整个质点系运 动的某些特征量，因而需要讨论动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。他的优点是：不仅能解质点的动力学问题，也能解质点系的动力学问题；他的物理意义鲜明，形式简单。各定理从不同侧面建立了运动特征量(动量、动量矩、动能等)与机械作用量(冲量、力 矩、功等)之间的关系，从总体上揭示了质点系机械运动的一般规律。,2,81 动量定理82 质心运动定理83 动量矩和转动惯
2、量84 动量矩定理85 刚体平面运动微分方程86 动能定理87 机械能守恒定律88 动力学普遍定理的综合应用,第八章 动力学普遍定理,3,1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积：,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,运动强，则要改变其运动就困难；运动弱，则要改变其运动就容易。如枪弹：虽质量小但速度很大，轮船：虽速度小但质量很大。故其动量很大。轮船靠码头时会对码头产生很大的冲击力。,矢量，瞬时量，方向与 相同。单位：kgm/s。,一、动量,8-1动量定理,4,2.质点系的动量：,即质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积。,动量沿直角坐标轴的分解式：,即质点系的动量等于质点系中所
3、有各质点的动量的矢量和。,由质心公式（后述）可得：,5,2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）,1力是常矢量：,二冲量,其中 称为力 在dt时间内的元冲量。,力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量是力在一段时间内对物体作用的累积效应的量度，是一种机械作用量。例如，用力推动两辆相同的车子，作用时间长的速度大，作用时间短的速度小。,6,3合力的冲量：,矢量，累积量。,即在任一段时间内，合力的冲量等于各分力冲量的矢量和。,投影：,7,三动量定理,1质点的动量定理,即：质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力。,即：在某一时间间隔内，质点动量的改变量等于作用在质点上的力在同一段时间内的冲量。,微分形式
4、：由牛顿第二定律：,积分形式：,由微分形式：,在t1 t2积分：,8,投影式：,2质点系的动量定理,对y、z轴同样有。,微分形式：,质点的动量守恒,若，则常量，质点作惯性运动,对固定轴：,若 X=0，则mvx=常量，或mv2x=mv1x，质点沿 x 轴的运动作惯性运动。,研究质点系内任一质点 Mi：质量mi，速度vi，其受外力合力，内力合力，由质点动量定理的微分形式：,9,对整个质点系，有：,内力,外力,即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,于是：,10,在t1 t2时间内积分：,即：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同
5、一时间间隔内的冲量的矢量和。,积分形式：,由微分形式有：,向固定轴投影：,对y、z轴同样有。,11,内力不能改变整个质点系的动量，只有外力才能改变质点系的动量。例如：力大无穷的大力士不能举起自己，在车箱内无论用多大的力推车箱，车箱的运动都不会改变。内力可以改变质点系中质点的动量。例如炮弹爆炸后弹片的运动。,由定理知：,向固定轴投影：,对y、z轴同样有。,12,在自然界中，大到天体，小到分子、原子等基本微粒间的相互作用，都遵守动量守恒定理，它是自然界中最重要最普遍的客观规律之一。例如：枪、炮的“后坐”，火箭、喷气飞机的反推，螺旋桨的反推等。,质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。,13,例1 已
6、知一弯管，管内流量Q(m3/s)（常量），流体密度为(kg/m3），在两截面处的平均流速分别为 求流体流动时对弯管产生的总压力。设流体不可压缩，。,解：取截面A与B之间的流体为研究对象。,受力分析如图示。,应用动量定理建立方程,其他部分的流体对该段流体的压力 该段流体的自重 管壁的约束反力,14,代入动量定理方程,计算,在dt时间内，流体从AB位置运动到ab位置，则,即,静反力,（附加）动反力,（附加）动反力：,15,投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的附加动压力,16,例2 小车重G1=2kN，车上的箱中装砂，箱、砂共重G2=1kN；车与箱以3.5km/h的速度在光滑直线道路上前
7、进。现有一重G3=0.5k N的重物铅直落入箱中。求此后小车的速度；若设重物落入箱中后箱在小车上滑动0.2s才与车面相对静止，求车面与箱底间的平均摩擦力。,解：求重物落入后车的速度,以重物、车、箱、砂为研究对象,设重物落入后车、箱共同速度为v，则：,17,求箱底与车面间的摩擦力,以小车为研究对象：,小车在0.2s内速度由v0 v，由,注意：速度单位应用m/s,18,8-2质心运动定理,一.质点系的质量中心（简称质心）,质点系的质心是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,设有n个质点组成的质点系，取固定点O，则由矢径,确定的点称为质点系的质心。,M=mi质点系的总质量,以O点为原点建立直角坐标
8、系，则质心坐标：,19,质点系运动时，xi、yi、zi是变量，因而xC、yC、zC一般也是变量；,在重力场中，质心与重心是重合的（将mi=Wi/g代入上式即得重心坐标公式），但质心的概念比重心更广泛，在非重力场，重心无意义，但质心存在。,由 有：,两边对时间t求导：,20,将 代入到质点系动量定理：,若质点系质量不变，则,或,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。即：质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和。,1.投影形式：,直角坐标轴：,自然轴：,二.质心运动定理,21,2.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式。任何一个质点系质心的运动与一个质点的运动相同，
9、这质点的质量等于质点系的总质量，这质点的受的力等于质点系所受外力。,3.由定理知：,（1）质点系的内力不能改变质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。如：汽车在绝对光滑的路面上，运动的汽车不能停止，静止的汽车不能运动；炮弹爆炸成若干碎片，到第一块弹片落地之前，其质心的运动仍作与爆炸前一样的抛物线运动；跳水运动员、体操运动员无论在空中如何滚翻、转体，其质心运动的轨迹总是一条确定的抛物线。,22,（2）内力虽不能改变质心的运动，但可以改变质点系中质点的运动。,（3）应用质心运动定理不需考虑内力，使问题简便。,4.质心运动定理解决的问题,（1）已知质点系质心的运动，求作用在质点系上的外力；,（2）已
10、知作用在质点系上的外力，求质点系质心的运动（运动方程、速度、加速度）,意义：质点系的复杂运动可以看成是随质心的运动与相对质心的转动，应用质心运动定理求解质心的运动。,23,5.质心运动守恒定理,（1）若，则 常量即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心作惯性运动。,（2）若Xie0，则acx=0，vcx=常量即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿该轴作惯性运动）,又若vcx=常量=0，则xc=常量，即质心在该轴的坐标保持不变。例如：人和船静止于水面上，若不计水的阻力，则人在船上走，船会向相反的方向运动。,24,解:（1）
11、研究对象：压实机（质点系）,例3 图示压实机：机壳、机座共重P；始终处于对称位置的两偏心锤均重G，偏心距e，以匀相向转动。求压实机给地面的压力。,（2）受力图,（3）建立图示坐标系，并设h、H，则,x,y,h,H,（4）建立质心运动微分方程,25,压实机给地面的压力,讨论：,压力包括：,静反力P+2G,（附加）动反力,动反力为周期力，它引起振动。要消除振动，就要消除偏心。,此题也可用动量定理求解。,26,3.有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动，开普勒定理：mv1r1=mv2r2=常量,8-3动量矩和转动惯量,有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？,1.刚体绕过质心的轴转
12、动时，可见动量不能表征或度量这种运动。,2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。,27,一动量矩（质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）,1质点的动量矩,仿照力矩的定义：,质点对点O的动量矩：,矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。,大小：hO=2OAM。单位：kg2/s=Nms,对固定点O：,质点对轴 z 的动量矩：对固定轴z,28,代数量，由右手螺旋法则确定正负。,同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：,2质点系的动量矩,质系对点O动量矩
13、：,质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和称为质点系对该点的动量矩：,质系对轴z 动量矩：,质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩：,29,并且有：,注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。,（b）是否有,否！,（c）如果刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同。,30,式中 称为刚体对z轴的转动惯量，恒为正。,即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。,3定轴转动刚体对转轴的动量矩,对于任一点Mi，由于 z轴，且vi=ri，,则整个刚体对z轴的动量矩：,31,(一)转动惯量的概念,二转动惯
14、量,1.定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。,转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关；恒为正标量；单位：kgm2,2.物理意义：刚体转动时惯性的度量。,对于质量是连续分布的刚体，则,32,3.回转半径,由 所定义的长度z 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径。,若已知z，则刚体的转动惯量为：,注意：z 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。,z为长度量纲。,33,类似：质点
15、系各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积的总和，称为刚体对该点的转动惯量。,(二)计算转动惯量的一般公式,取直角坐标系Oxyz，设刚体上任一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则由定义：,34,即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。,对于平面薄板：zi=0，,即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。,35,1.对简单形状的均质刚体，用积分法,（三）转动惯量的计算,2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和组合法。,3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法求转动惯量：扭
16、摆法、复摆法。,36,三.平行轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,任一轴：z/z,质心轴,两轴距离,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。,37,证明：设刚体质量为M，质心为C，z轴过质心，zz，两轴之间的距离为d，则：,38,解：,例4图示复摆，已知均质细杆：m，L；有孔圆盘：M，R，r，求摆对过O点且垂直于图面的轴的转动惯量。,39,其中，盘的质量：,孔的质量：,40,8-4动量矩定理,一质点的动量矩定理,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同
17、一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。,故：,41,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,质点的动量矩守恒。,对x、y轴同样有,42,例如：,（1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称为有心力，此点称为力心），力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：,如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。,（2）小球绕固定轴转动,r，v；r，v。,43,即：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和。,二质点系的动量矩定理,一质点系的动量矩定理,对质点系
18、：,对质点Mi：,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,对x、y轴同样有,44,即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和。,定理说明：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩；如人站在转椅上转动转椅，无论用多大的力，转椅也不会转动。但内力可以改变质点系中质点的动量矩。,质点系的动量矩守恒（1）当 时，常矢量。（2）当 时，常量。,讨论（a）对定轴转动刚体，若，则 常量，即w=常量，匀速转动。,45,例如：芭蕾午演员、花样滑冰运动员，他们用伸展或收拢四肢的方法来改变旋转的速度。又例如直升飞机为什么要在尾部装竖直螺旋桨
19、？,对于定轴转动刚体：,刚体定轴转动微分方程,三刚体定轴转动微分方程,代入质点系动量矩定理：,46,例5 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为 r1、r2,可视为均质圆盘;物体C 的重量为P3;轮A上作用常力矩M1。求 物体C上升的加速度。,（2）取轮B连同物体C为研究对象,解:（1）取轮A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：,47,由动量矩定理：,运动学关系：,由(1)、(2)、(3)得：,即：,48,8-5质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程,一质点系相对于质心的动量矩定理,前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝对的。下面将证明：当质点系作一般
20、运动时，以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。,设质点系总质量为M，质心速度为vC。,任取一固定点O，将平动坐标系Cxyz 铰接在质心C上。则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。,49,研究任一质点Mi：,Mi的位置：,Mi的绝对速度：,式中：,1.质点系对固定点O的动量矩,50,质心相对于动坐标系原点的矢径,质心相对于动坐标系原点的速度,动坐标系原点为质心C,又,质点系相对于质心的动量矩,质点系对任一固定点的动量矩,即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和。,51,对固定轴，有：,z 过质心且
21、平行于z轴的轴,即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。,由此得刚体动量矩计算：,（1）平动：,仿照力矩的计算：,（2）定轴转动：,（3）平面运动：,52,例如：求半径R重W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。,取过O且垂直于图面的轴z轴，则,53,2.质点系相对质心的动量矩定理,于是，由（*）或,54,质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。,即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。这就是质点系相对质心的动
22、量矩定理。,质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。,将上式向过质心且随同质心作平动的坐标系的各轴投影：,对x、y 轴同样有。,55,二刚体平面运动微分方程 设有一刚体在外力 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形S的运动来研究：刚体质心C位于平面图形S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动(xC,yC)和绕质心的转动（）。,由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：,56,写成投影形式,或,上式称为刚体平面运动微分方程。,57,例6 重W长l的均质细杆AB，放在铅直平面内，两端
23、分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和A、B处的约束力。设t=0时，0=0。,解（1）以AB杆（平面运动）为研究对象。（2）受力如图。,x,y,（3）选轴建立平面运动微分方程：,58,三个方程五个未知量，故须建立补充方程：,x,y,（4）解方程,由式得：,59,将代入得：,（逆时针）,将代入，得：,60,（取正，逆时针）,由得：,讨论：（1），NA。所以当大到一定程度时，A端会脱离墙。,61,由式,x,y,I,表明：平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。,62,有了动量定理和动量矩定理，为什么还要研究动能定理？因为：(1)动量、动量
24、矩定理只考虑了机械运动之间的传递，不能反映机械运动与其他运动形式之间的转化；(2)动量、动量矩定理只表述了物体速度的变化与力和时间的关系，它对于解决物体速度与力和路程之间的关系的问题是不方便的。动能定理是以功为机械作用量，以动能为运动特征量，注意研究在运动过程中这两者之间的关系，功与能是两个重要的物理量，它是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。,14-6动 能 定 理,一、力的功,功是机械作用的又一种量度，是力沿路程累积效应的度量。,63,（一）常力的功,代数量单位：焦耳(J)，1J=1Nm,时,正功；时,功为零；时,负功。,（二）变力的功,元功：,64,65,（三）常见力的功 1重力的功,重力
25、的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与其的路径无关。,(下降为正),2弹性力的功,1初变形，2末变形 k弹簧常数,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,66,3万有引力的功,万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。,4作用于转动刚体上的力或力偶的功,设在定轴转动刚体上M点作用有力，,故当刚体转过角度 时力所作的功：,将其分解为，只有 做功,67,若m=常量,则,如果作用力偶m,且力偶的作用面垂直转轴，则,若 常量,则,注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功,5摩擦力的功(1)动滑动摩擦力的功,同其他力的功计算一样。一般摩擦力做负功。
26、,68,(2)滚动摩擦阻力偶m的功,同其他力偶的功计算一样。滚动摩擦力偶做负功。,二动能,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。,瞬时量，正标量。单位J。,（一）质点的动能,（二）质点系的动能,69,（I为速度瞬心）,1平动刚体2定轴转动刚体3平面运动刚体,（三）刚体的动能,刚体的平面运动可以分解为随质心的平动和绕过质心且垂直于运动平面的转动，所以：,或：,70,三动能定理,1质点的动能定理：,因此,微分形式,当质点从M1运动M2时，将上式沿路径 积分，得,积分形式,两边点乘以，有,由质点运动微分方程：,即：,71,对质点系中的一质点Mi：,微分形式,对整个质点系，
27、有,2质点系的动能定理,即：质点系动能的微分等于质点系上所有力的元功之和。,积分形式,当质点系从M1运动M2时，将上式沿路径 积分，得,即：在某一运动过程中，质点系动能的变化量，等于质点系上所有力在同一过程中所作的功的代数和。,72,例7 均质杆AB与重物C的质量均为m，杆在地面水平位置时系统静止，求杆被拉到与水平成300角时C的加速度（不计各处摩擦及定滑轮O、滑块B的质量）。,解：以系统为研究对象,设杆长l，则：,T1=0,设任意瞬时C的速度为v（注意应将杆放在任一位置研究），则vB=v,73,（*）,两边对t求导得：,由（*）知：,代入上式得：,当j=300时，a=0.275g,74,8-
28、7机械能守恒定律,一势力场1力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。,重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力)，如重力、弹力等。,2势力场：在力场中,如果作用于质点的场力作功只与质点的始末位置有关，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。,75,二势能在势力场中,质点从位置M 运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。,M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。,X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z),上式积分与路径无关，由
29、高度数学知Xdx+Ydy+Zdz可表示为某一单值连续函数的全微分，即：,Xdx+Ydy+Zdz=dV,V=V(x,y,z)是坐标的单值连续函数，称为势能函数。,76,比较前式有：,质点或质点系在某一位置具有的势能是相对于零位置而言的，零位置是任选的，同一质点对不同的零位置的势能是不同的。某位置的势能就等于该位置的势能函数值，如果不知势能函数，可通过功的计算来确定。势能相等的各点所组成的面，称为等势面。物理意义：势能是质点（系）在某一位置相对零位置所具有的做功的能力。,77,有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。,*有势力的功,*质点或质点系在常见势力场中的势能,1.重力场 在给定零位
30、置之上为正,2.弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点,3.万有引力场：取距引力中心无穷远处为零势能位置：,78,设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)作用，则,三机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。,这样的系统称为保守系统。,79,8-8动力学普遍定理及综合应用,动力学普遍定理从不同的侧面建立了运动变化与力的关系，各自有其应用范围。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。有的问题只能用某一个定理求解，有的问题既可以用这个定理又可以用另外一个
31、定理求解，有的问题则需要同时用几个定理联合求解。,80,例8 图示系统中，鼓轮B和轮C固结，共重Q，对水平轴O的回转半径为r；轮C只滚不滑，其上作用一常力偶M；重物A重P；定滑轮D重W，可视为均质圆盘。各轮半径如图，不计轮C的滚动摩擦及轮D轴承处的摩擦，求轮D 轴承反力。,问题：能否用动能定理求解？求反力常用动量定理或质心运动定理，能否以整体为研究对象？,解：（1）以整体为研究对象，用动能定理求aA。,81,设任意位置时物A的速度为vA，则,其中：,82,当物A下降dsA时：,其中：,两边同除以dt，得：,83,其中：,于是得：,方向向下,（2）以轮D和物A为研究对象，用动量矩定理求绳的拉力。,84,（3）以轮D和物A为研究对象，用质心运动定理求轮D轴承反力。,由质心运动定理：,85,本章结束,
