机械优化设计题目答案.docx

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1、机械优化设计题目答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。 求设计变量向量x=x1x2LxnT使f(x)min且满足约束条件 hk(x)=0gj(x)0(k=1,2,Ll) (j=1,2,Lm) gj(x)0(j=1,2,Lm)和利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足hk(x)=0(k=1,2,Ll)的设计点集合为R，即R为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成 xR 求x使 min。 f(x) 符号“”表示“从属于” 在实际优

2、化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f(x)min或目标函数极大化f(x)max。由于求f(x)的极大化与求-f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。 1-2.简述优化设计问题的基本解法。 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。 解析解法就是把所研究的对象用数学方程描述出来，然后再用数学解析方法求出有化解。 但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证

3、；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验，并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。 数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。其中具体方法较多，并且目前还在发展。但是，应当指出，对于复杂问题，由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来，只能是一个近似的最后的数学描述。由于它本来就是一种近似，那么，采用近似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的精确性有什么影响了。 不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。 可以

4、按照对函数倒数计算的要求，把数值方法分为需要计算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数的方法。 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x1,x2)在x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式fffffcosq1 r=cosq1+cosq2=x2xodxox1xox1x2xocosq2fffT并称它为函数f在x0点处的梯度。 令f(x0)=x1=x1x2xofx2假设drTv 即函数f在x0点处沿某一方向d的cosq1为D方向上的单位向量，则有fr=f(x0)dcosq2xod方向导数f等于函数在该点处的梯度f(x0)与d方向单位向量的内积。 vxod梯度方向是函数值

5、变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的最大值。 梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度f(x0)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-f2-2.求二元函数(x0)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 处函数变化率最大的方向和数值。 T2f(x1,x2)=2x12+x2-2x1+x2在x0=0,0解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模求f在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： f 4x1-2-2f(x0)=x1=f2x2+1x01x2f(x0)。f2f2=f(x0)=+x1x2-221-

6、vf(x0)p=5f(x0)5152-3.试求目标函数5 2在点X=1,0 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长f(x1,x2)=3x12-4x1x2+x20T度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 ff=6x1-4x2,=-4x1+2x2 x1x2则函数在X=1,0处的最速下降方向是 fx-6x+4x-612P=-f(X0)=-1=x=1=4f4x-2x211x2=01=1x2xx2=0这个方向上的单位向量是： 0Te=新点是 P=P-6,4T(-6)2+42=-3,2T 133 1-1013X=X+e=213新点的目标函数值 f(X1)=2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？

7、 94-213 13一个点集，如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。 函数f(x）为凸集定义域内的函数，若对任何的 f0a1及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式： ax1+(1-a)x2af(x1)+(1-a)x2称f是定义在图集上的一个凸函数。 对于约束优化问题 minf(x)s.t. gj(x)0 (j=1,2,若,m) 都是凸函数，则称此问题为凸规划。 f(x)、g j=1,2,.,m3-1.简述一维搜索区间消去法原理。 答：搜索区间确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间内任取两点a1，b

8、1 ，a1b1，并计算函数值f，f。将有下列三种可能情形； 1）ff由于函数为单谷，所以极小点必在区间内 2）ff，同理，极小点应在区间内 3）f=f，这是极小点应在内 3-2.简述黄金分割法中0.618的来由，搜索过程及程序框图。 黄金分割法适用于a,b区间上的任何单谷函数求极小值问题。对函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面相当广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间a,b内适当插入两点a1、a2，并计算其函数值。a1、a2将区间分成三段。应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩短。然后再在保留下

9、来的区间上作同样的处置，如此迭代下去，使搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。 黄金分割法要求插入点a1、a2的位置相对于区间a,b两端点具有对称性，即 a1=b-l(b-a) a2=a+l(b-a) 其中，l为待定常数。 图a 除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间内再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。设原区间布，新插入点a,b长度为1，如图a所示，保留下来的区间a,a2长度为，区间缩短率为l。为了保持相同的比例分a3应在l(1-l)位置上，a1在原区间的1-l位置应相当于在保留区间的l2位置。故有 1-l=l2 l2+l-1=0 取方程正数解，

10、得 l=5-10.618 2若保留下来的区间为a1,b，根据插入点的对称性，也能推得同样的l值。所谓“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，1:l=l:(1-l) 使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值，即 同样算得l可见黄金分割法能使相邻两次搜索区间都具有相同的缩短率0.618，所以黄金分割法又被称作0.618法。 0.618。图 b 黄金分割法的搜索过程是： 给出初始搜索区间a,b及收敛精度e，将l赋以0.618。 =b-l(b-a)、a2=a+l(b-a)计算a1和a2，并计算其对应的函数值按坐标点计算公式a1f(a1)，f(a2)。 根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了

11、能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤。 如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。 黄金分割法的程序框图如图b所示。 3-3.对函数列表） 解；此时的a=-5，b=5。首先插入两点a1和a2。可得 a1=b-l(b-a)=-1.18 , a2=a+l(b-a)=1.18 再计算相应插入点的函数值，得 y1=f=-0.9676，y2=f=3.7524 因为y2y1，所以消去区间a2,b，则新的搜索区间a,b的端点a=-5不变，而端点b=a2=1.1

12、8 第一次迭代；此时插入点a1=b-l(b-a)=-2.639，a2=-1.181。相应插入点的函数值y1=f=1.686，y2=f=-0.967，由于y1y2,故消去区间a，a1,新的搜索区间为-2.639,1.18，如此继续迭代下去 列出前三次迭代结果 黄金分割法的搜索过程 迭代序号 a a1 a2 b Y1 比较 Y2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 -0.967 2 -2.639 -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 -0.482 -43-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在区间2,6的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点x1=2，x2=

13、4，x3=6， =10。 解： 1 2 3 4 x1 2 4 4.55457 4.55457 x2 4 4.55457 4.73656 4.72125 x3 6 6 6 4.73656 kk(x)能获得最大的下降值，其步长因子ak应取一维搜索的最佳步长。即有 k+1fx=根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式得； kkfx-af(x)=minkkkfx-af(x)=minj(a) 由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向，因此相邻的两个搜索方向相互垂直。这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小点靠近的过程。 0T4-3. 给定初始值x=-

14、7,11，使用牛顿法求函数f(x1,x2)=(x1-2)2+(x1-2x2)2的极小值点和极小值。 解： 梯度函数、海赛矩阵分别为 k+1Tkk+1Tk或写成 f(x)f(x)=0dd=02(x-2)+2(x1-2x2) f(x1,x2)=1-4(x1-2x2)4-422f(x1,x2)=,f-481-1=21414 14假设初始值x=-7,110T 则f(x0)=-76, 116x1=x0-2f-12 f(x0)=1则f(x1)=0, 0x满足极值的必要条件，海赛矩阵是正定的，所以是极小点 11x*=x1=,f(x*)=-1。 14-4.以二元函数f(x1,x2)为例说明单形替换法的基本原理

15、。 答：如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点x1，x2，x3，以它们为顶点组成一单纯形。 计算各顶点函数值，设fff，这说明x3点最好，x1点最差。 为了寻找极小点，一般来说。应向最差点的反对称方向进行搜索，即通过x1并穿过x2x3的中点x4的方向上进行搜索。在此方向上取点x5 使 x5=x4+ x5称作x1点相对于x4点的反射点，计算反射点的函数值f，可能出现以下几种情形； 1）ff即反射点比最好点好要好，说明搜索方向正确，可以往前迈一步， 也就是扩张。 2）fff即反射点比最好点差，比次差点好，说明反射可行，一反射点代替最差点构成新单纯形 3）fff(x1)，反射点比最差点还差，说明收

16、缩应该多一些。将新点收缩在x1x4之间 5) f(x)f(x1)，说明x1x4方向上所有点都比最差点还要差，不能沿此方向进行搜索。 a5-1.简述约束优化方法的分类。 答: 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内选择一个初0x始点，然后决定可行搜索方向d，且以适当的步长a1x沿d方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一个迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。所谓可行搜索方向是指，当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。产生可行搜索方向的方法将由直接解法中的各种算法决定。

17、 直接解法的原理简单，方法实用。其特点是：1）由于整个求解过程在可行域内进行，因此迭代计算不论何时终点，都可以获得一个比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部最优解。为此，常在可行域内选择几个差别较大的初始点分别进行计算，以便从求得多个局部最优解中选择最好的最优解。3）要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。 直接解法有：随机方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法等。 间接解法有不同的求解策略，其中一种解法的基本思路是将约束优化问

18、题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。 间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法。其特点是：1）由于无约束优化方法的研究日趋成熟，已经研究出不少有效的无约束最优化方法和程序，使得间接解法有了可靠的基础。目前，这类算法的计算效率和数值稳定性也都有了较大提高。2）可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。3）间接算法存在的主要问题是，选取加权因子比较困难，加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。 间接解法有惩罚函数法和增广乘子法。 5-2.用内点法求下列问题的最优解： 2minf(x)=x12+x2-2x1+1 st =f(x)-rlngu(x)，然后用解析法求解。u=12f(x,r)=f(x)-rlngu(x)=x12+x2-2x1+1-rln(3-x2) u=12令惩罚函数对x的极值等于零： df2x1-2=0 dx2x2-(-r)/(3-x2)得： x1=1636+8rx2=46+36+8r 舍去负根后，得x=24当 r0时，x23，该问题的最优解为x=13T。