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1、机械振动学 总结第一章 机械振动学基础 第一节 引言 机械振动学研究的问题包括以下几个方面的内容： 1.建立物理模型 2.建立数学模型 3.方程的求解 4.结果的阐述 第二节 接卸振动的运动学概念 一. 简谐振动 物体简谐振动位移的三角函数式 x=Acos(2p2pt-j)=Asin(t+j) TT物体简谐振动速度和度的三角函数式 &=Awcos(wt+j)=Awsin(wt+j+v=xp2) &=-Aw2sin(wt+j)=Aw2sin(wt+j+p) a=&x二. 周期振动 x(t)=a0+Ansin(nwt+yn) 2三. 简谐振动的合成 同方向振动的合成 1. 两个同频率振动的合成 x
2、1=A1sin(wt+y1) 和 x2=A2sin(w+ty合运动A=2 )(A1cosy1+A2cosy2)2+(A1siny1+A2siny2)2 A1siny1+A2siny2A1cosy1+A2cosy2 tanj=2. 两个不同频率运动的合成 x1=A1sinwt1 和 x2=A2sinw2 t合运动 w1w2 x=x1+x2=A1sinwt1+A2sinw2t w-w1w+w1t)sin2(t )w1;w2 对于A1=A2=A x=Acos(222 对于A2;A1 x=Asinwt1 式中A=A11+( 两垂直方向振动的合成 1. 同频率真懂得合成 A222A2)+cosdwt A
3、1A1x=Asinwt y=Bsinw tx2y22xycosj-sin2j=0 合运动 2+2-ABAB2. 不同频率振动的合成 x=Asinwsin(wtj )2+1 t y=B 合运动 nw1=mw2 m,n=1,2,3- 第三节 构成机械振动系统的基本元素 构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。 d2x 惯性F=m2 恢复性Fs=-kx 阻尼力 Fd=-c&x dt第四节 自由度与广义坐标 物体在这些约束条件下运动时，用于确定其位置所需的独立坐标就是该系统的自由度数。 对于n个质点组成的质点系，各质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为 f(xL,x
4、n,yn,zn)=0 k=1,2,-,r k1,y1,z1,为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标 qj=qj(x1,y1,z1,L,xn,yn,zn) j=1,2,-,N 来代替3n个直角坐标系。这种坐标叫做广义坐标。 第四章 多自由度系统 第一节 lagrange方程 lagrange方程的一般形式可表示为 dTTDU-+=Fi i=1,2,-,n &i&iq&iq&idtqq式中qi是广义坐标，对于n自由系统有n个广义坐标。Fi沿广义坐标qi方向作用广义力。T是系统的动能函数，U是系统的势能函数，D是系统的散逸函数。 对于线性系统，系统的势能 11nnU1nnU=qiqj=
5、kijqiqj 或 U=qTKq 22i=1j=1qiqj2i=1j=1对于线性系统，系统的动能 1nn1T&iq&j 或 T=&qM&q T=mijq22i=1j=1对于线性系统，粘性阻尼的散逸函数为 1nn1T&Cq& &iq&j 或 D=qD=cijq22i=1j=1列出了系统的势能、动能和散逸函数后，由lagrange方程可得n自由度系统的运动方程 & Mq+C&q+K tq=F第二节 无阻尼自由振动和特征值问题 &+Kq=0 N自由度无阻尼系统自由振动的运动方程为：Mq它表示由下面n个齐次微分方程组成的方程组 m+kqijiji=1j=1nnj=0 i=1,2,-,n 首先，写出系统
6、的特征行列式 |K-lM=| ，解该方程得出系统的固有频率0wn1,wn2,Lwnn。 然后，将wn1,wn2,Lwnn代入方程(K-lrM)ur=0求得ur，ur叫做特征向量、固有向量或模态向量。 最后，求得方程的通解 q(t)=q(t)r=Arursin(wnrt+yr)r=1r=1nn =uAsin(wnt+y)第三节 特征向量的正交性和主坐标 2对于一个n自由度系统，其第r阶特征值lr=wnr对应的特征向量为ur，其第s阶特征2值ls=wns对应特征向量为us，它们都满足方程(K-lrM)ur=0，因而有 2Kur=wnrMur 2Kus=wnsMus 经过一些列变换得到 uTsMur
7、=0 rs uTsKur=0 rs 这两个式子表示了系统特征向量的正交关系，是对质量矩阵M，刚度矩阵K加权正交。 &+Kq=0存在着耦合，方程Mq为了描述系统的运动，我们选择另一组广义坐标q有下面的线性变换关系 q=up得 &+Kup=0 Mu&p解方程得 pr=Arsin(wwrt+yr) r=1,2,-,n 或 p=Asin(wnt+y) 沿着第r个广义坐标pr只发生固有频率为wwr的简谐振动，这组广义坐标p叫做主坐标。这时对于广义坐标q，系统的运动为 q(t)=up=uAsin(wnt+y) 第四节 对初始条件的响应和初值问题 N自由度无阻尼系统的自由振动表达式为 q(t)=Arursi
8、n(wnrt+yr)=uAsin(wnt+yr r=1n为计算Ar和yr做下面的变换 Arsinw(nrt+yr=)Drcowsn+tr nrErsinwt&0 解得 D=u-1q0,E=wn-1u-1q第五节 半确定系统 有一个或几个固有频率等于零的系统叫做半确定系统。并且具有半正定刚度矩阵K的系统是一个半确定系统。 第六节 具有等固有频率的系统 在微分振动时，系统的运动方程为 &1+2kq1=0mq&mq2+2kq2=0它们有两个相等的固有频率，是一个退化的系统。 线性代数表明，若质量矩阵M是实对称的矩阵；质量矩阵M是正定矩阵，无论系统是否具有重特征值，系统的所有向量有正交关系。 对于重特
9、矩阵值假定系统有一l重特征值ls，对于重特征值ls，有下列关系式 f(ls)F(l-1)ls(=) 0第七章 无阻尼强迫振动和模态分析 一个n自由度无阻尼系统的强迫振动的运动方程可表示为 &+Kq=F(t) Mq用模态分析方法对方程求解 nq(t)=mh(t)=mrhr(t)r=1=hr(t)coswnrt+r=1nn&r(0)hwnrsinwnrt(t-t)dtmrmrT+wnrr=1tF(t)sinw0nr第八节 对基础运动的响应 1、基础运动有一运动qg(t)。系统的运动方程 &1+k1(q1-qg)+k2(q1-qg)-(q2-qg)=0 m1q&2+k2(q2-qg)-(q1-qg)
10、=0 m2q 整理得，方程可表示为 &+Kq=Fg(t) Mq&g(t)表示 2、基础运动以加速度q&1+q&g)+k1q1+k2(q1-q2)=0 m1(q&2+q&g)+k2(q2m2(q-q1)=0 整理的，方程可表示为 &+Kq=Fg(t) Mq第九节 有阻尼系统 一、比例粘性阻尼和实模态理论 系统的运动方程为 &+(aM+bK)q&+Kq=F(t) Mq 方程的通解 q=mh=mhrr=1nr 二、非比例粘性阻尼和复模态理论 具有非比例粘性阻尼的n自由度系统的运动方程为 &+Cq&+Kq=F(t) Mq 方程的通解为 1 y(t)=yrZr0e+Nr(t)elr(t-t)dt ar0r=1lrt2nt
