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1、机电工业出社高等数学第3章作业参考解答第3次作业参考解答 2.1 导数概念 一、填空题 1.设函数f(x)在点x0处可导且limx0f(x0+2x)-f(x0-x)2=1, 则f(x0)= . 32x因为limx0f(x0+2x)-f(x0-x)f(x0+2x)-f(x0)+f(x0)-f(x0-x) =limx02x2xf(x0+2x)-f(x0)f(x0-x)-f(x0)f(x0+2x)-f(x0)1f(x0-x)-f(x0)=lim-=lim+x0x02x2x2x2-x=f(x0)+132f(x0)=f(x0)=1f(x0)= 2232. 函数f(x)在点x0可导是连续的 充分条件，函数
2、f(x)在点x0处连续是可导的 必要 条件. 3xx11512-2(x)=3.=-2 . (x)= . . . =-36xx2x6xxx二、解：y=x2()=2x,y|x=3=23=6,y|x=3=9，则切线方程为： y-9=6(x-3)即6x-y-9=0， 法线方程为： 1y-9=-(x-3)即x+6y-57=0， 62.2 函数的求导法则 一、填空题 1.若曲线y=x-e上一点的切线与轴平行，该点= 0 。 xxxx2,则f(0)= 0 ，f(0)= 1 。 2设f(x)=sinx+5解：f(x)=cosx+2x,f(0)=cos0=1 53. 已知物体的运动方程为 s=f(t),则物体的
3、加速度a= f(t) . 2x-12x-12x-1-1-14.解：f(x)=2e,f(x)=4e,f(x)=8e,f(0)=4e,f(0)=8e 二、 解：y=2(3x+2)(3x+2)=6(3x+2) .解：y=2(arctanx)(arctanx)=.解：y=2arctanx 21+x111=lnlnxlnx= ()()ln(lnx)ln(lnx)lnxxlnxln(lnx).解：y=(1-sinx)(sinx)21(sinx)cosx =2sinx=21-sinx2sinx-sinx三、 解：y=f(x+1)(x+1)=12xf(x+1) .解：y=四、 1=2f(x)f(x) 21+f
4、(x)1+f2(x)1+f2(x)解：y=4x+11,y=4-2 xxx22x2.解：y=e+2xe=(1+2x2)ex,y=4xex+(1+2x2)2xex=(6x+4x3)ex 2222f(x),五、解：y=f(x)y=f(x)f(x)-f(x)f2(x)22.3 隐函数及其由参数方程所确定的函数的导数 =x+y+1,ln(x+y)一、解: 222x+2yyx2+y2-2x=1+yy= 2222x+y2y-x-y二、 x+2(3-x)41=ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1) 解：lny=ln(x+1)52y145=+-y=y2(x+2)x-3x+1x+2(3-x)4(x+1
5、)5145+-2(x+2)x-3x+1 143544(3-x)-4x+2(3-x)2x+2(x+1)-5x+2(3-x)(x+1)解法2：y= (x+1)101434(3-x)-4x+2(3-x)(x+1)-5x+2(3-x)2x+2 =6(x+1)(3-x)4-8(x+2)(3-x)3(x+1)-10(x+2)(3-x)4= 62x+2(x+1)(3-x)4(x+1)-8(x+2)(3-x)3(x+1)-10(x+2)(3-x)4=2x+2(x+1)6=(3-x)3(3-x)(x+1)-8(x+2)(x+1)-10(x+2)(3-x)2x+2(x+1)6(3-x)3(x2-32x-73)=2
6、x+2(x+1)6.y=(lnx) 解法： xlny=xln(lnx),y1111=ln(lnx)+x=ln(lnx)+y=(lnx)xln(lnx)+ylnxxlnxlnx1xxxlnlnx(xlnlnx)=(lnx)lnlnx+解法：y=(lnx)=e lnxyt=a(cost-cost+tsint)=atsintdxcost=cott 三、解：dysintx=a(-sint+sint+tcost)=atcosttd2x(cott)-csc2t1d2x182=-,=-=- 3p1dy2atsintatsintatsin3tdy2t=3o3paa4422四、 解：x-y-e(y)=0,1-y
7、-yey=0y=111 ,y=x=1y=01+ey1+e02在点的切线方程为x-2y-1=0 2. dy3t23tdy=3,x|t=2=5,y|t=2=8，则切线方程为y-8=3(x-5)即 =，解：dxt=2dx2t21y=3x-7，法线方程为y-8=-(x-5)x+3y-29=0 32.5 函数的微分 一、选择题 1.若y=f(x)在x0处可微，则下列结论中不正确的是f(x)在x0处 A连续， B.不一定连续， C.可导， D.极限 存在 .函数y=f(x)在x处可导是函数y=f(x)在x处可微的 A必要条件， B. 充分必要条件， C. 充分条件， D. 非充分非必要条件 . 函数y=f
8、(u)在u处可导，且u=sinx则dy= Af(sinx)dx， B. f(sinx)cosxdx，C. f(sinx)d(sinx)，D. f(sinx)cosxdx 二、填空 : 1. d(ax+c)=adx； 2. d-coswx+c=sinwdx； w 3. d(ln(1+x)+c)= 5. d2x+c11dx； 4. d-e-2x+c=e-2xdx； 1+x21()=11dx； 6. dtan3x+c= sec23x dx. x31+x2-x三、 解: dy= x21+x1+x2dx=1(1+x)322dx 解: dy=2tan(1+2x)sec(1+2x)4xdx=8xtan(1+
9、2x)sec(1+2x)dx 3.解：d(xy)=dex+y222222,ydx+xdy=ex+y(dx+dy)=ex+ydx+ex+ydy y-ex+yy-xyy(1-x)dy=x+ydx=dx=dx e-xxy-xx(y-1)y(1-x)y-ex+ydx dx或dy=则dy=x+yx(y-1)e-x三、 解：f(x)=sinx,x0=30=0p6,Dx=-10=-p180sin290sinp6+cosp6(-p180)=13p+(-)0.4849 221802.解：3996=31000-4=1031-4 1000f(x)=31+x，1031-4141031+(-)101-0.0013=9.
10、987 23100010003(1+0)解法2：f(x)=3x，f(x)=13x32，x0=1000,Dx=996-1000=-4 399631000+13100032(-4)9.9867 第二章 测试题 一、填空题 1.因为y=e(-arctanx)=-e-arctanx(arctanx=-e-arctan)x111+x2x=-1e-arctan2x(1+x)xdy=-1e-arctanxdx 2x(1+x)x=1+t22曲线在t=2处的切线方程为y=3x-7 3y=tpp2dsinx+C=cosxdx 3.22pdy3t23tdy32=,=3 解：dx2t2dxt=22x|t=2=5，y-
11、8=3(x-5)y=3x-7 y|=8t=2二、选择题 1.设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是存在. 因为limh0f(a)-f(a-h)f(a-h)-f(a)f(a-h)-f(a)=-lim=lim=f(a) h0h0hh-hn(n)2. 设函数y=x， n为正整数，则y因为y(n)(1)=. =(xn)2(n)=n! 33.设曲线y=x+ax+b和2y=xy-1在点(1,-1)处相切，其中a,b为常数，则. 2因为y=x+ax+b=2x+a,y|x=1=2+a, ()y3-12y=y+x3yyy=y|=1由2+a=1a=-1 x=122-3xy2-
12、3y=-132由y=x+ax+b-1=1+a+b=1-1+b=bb=-1 三、 f(x)-f(1)x2-1解:Qf(1)=1,f(1)=a+ba+b=1.f-(1)=lim=lim=lim(x+1)=2, -x1-x1x1x-1x-1-+22lim(ax+b-1)=a+b-1=0x1+f(x)-f(1)ax+b-1f+(1)=lim=lim=2ax+b-1ax+(1-a)-1ax-ax1+x1+x-1x-1=lim=lim=a=2limx1+x1+x-1x-1x1+x-1a=2,b=-1. 四、 解：y=-3(4+cosx)sinx 2.解：lny=21ln(x-1)+ln(x-2)+2lnsinx-4ln(x+5) 2141+2cotx- x-1x-2x+51(x-1)(x-2)sin2xy=2(x+5)4-cscxcotx+csc2x=cscx 3.解：y=cscx-cotxcosxcosxlnsinxcosxlnsinx4.解：y=(cosxlnsinx) (sinx)=e=e=(sinx)cosx-sinxlnsinx+cosxcotx 解：cos(x+y)(1+y)=-e-xy(y+xy), cos(x+y)y+xye-xy=-ye-xy-cos(x+y), ye-xy+cos(x+y)y=- cos(x+y)+xe-xy
