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1、概率论与数理统计 经管类 串讲讲义 第一部分第一章 随机事件及其概率 1 事件的关系与运算 必然事件：W随机试验全部结果构成的集合。 不可能事件：f 一般事件A：fAW 若A、B为两事件 若AB，则其蕴含：“A发生导致B发生”。 若AB=AB=f，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。 若 A-B=A，则AB=； 若 AB=A，则AB； 若ABA，则BA。 若A1,A2,LAn为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如 UA,UA,UA=IA等等。 iiiii=1i=1i=1i=1nnn例1 事件 UA发生等于“A,A,LAi12nn至少有1个发生”。 i=12常用概率公式 OP(A)1，P
2、(W)=1，P(f)=0 若AB，则P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)；当AB=f，则P(AB)=P(A)+P(B) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) P(A)=1-P(A) P(A-B)=P(A)-P(AB) 若A1,A2,LAn两两互不相容，则P(若A1,A2,LAn相互独立，则 UA)=P(A) iii=1i=1nnP(UAi)=P(A1)P(A2)LP(An) i=1nnP(UAi)=P(A1)P(A2)LP(An) i=1例2 设P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1 则P(AB)=
3、1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=0.5 P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.1 3古典概型 古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为 P(A)=rA的样本点个数= nW的样本点个数例3 从五个球中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求P(A),P(B) 无放回抽样： P(A)=C2C522=11 10=3 5P(B)=C2C3C521有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次 2P(A)=2 523P(B)=C21 55注：若设X为两次有放回取球中取到白球数，则XB(2,)，从而P(A)=P(X=2)=C2(1-)
4、252251252-14条件概率 若P(B)0，则P(AB)=P(AB)，其中A为任一事件。 P(B)乘法公式：P(AB)=P(A)P(BA) =P(B)P(AB) P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) 例4 箱中有两白球、三红球，Ai表第i次取到白球，则 P=P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)=211= 5410233= 5410P=P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)= 全概率公式：设B1,B2,LBn是一完备事件组，即：BiBj=f，ij,i,j=1,2,L,n且UBi=1ni=W，则对任一事件A有P(A)=P(ABi)P(Bi) i=1nBayes公式 P(BKA)=
5、P(BK)P(ABK)P(B)P(AB)iii=1n例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有i(i=1,2,3,4)个次品的概率如下 求各批产品通过的概率；求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。(i=1,2,3,4) 解：设事件Bi是恰有i个次品的一批产品(i=1,2,3,4)，则由题设 P(B0)=0.1,P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.2,P(B4)=0.1 设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有P
6、(AB0)=1 10C99P(AB1)=10=0.900 C1001010P(AB2)=C98/C1000.809 1010P(AB3)=C97/C1000.727 1010P(AB4)=C96/C1000.652 由全概率公式，即得P(A)=P(B)P(AB)0.8142 iii=04由Bayes公式，所求概率分别为 0.110.123 0.81420.20.9P(B1A)=0.221 0.81420.40.809P(B2A)=0.397 0.81420.20.727P(B3A)=0.179 0.81420.10.652P(B4A)=0.080 0.8142P(B0A)=5事件的独立性 定义
7、：A、B相互独立等价于P(AB)=P(A)P(B) 若A1,A2,L,An相互独立，则有P(A1A2LAn)=P(A1)P(A2)LP(An) 有放回抽样中的诸事件是相互独立的。 例6 袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到的概率 解：设Ai表第i次抽到的白球，则所求为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)= 在n重贝努利试验中，若每次试验事件A发生的概率为f，即P(A)=p(0p0 应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当YB(n,p)，且n很大，P很小时，令l=np，则P(Y=k) 例4 一个
8、工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算 解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则XB(100,0.005)，由于n很大，p很小，令l=np=5 lkk!e-l 50-551-5则P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)1-e-e=1-e-5-5e-5=1-6e-5 0!1!5k-5P(X5)e k=0k!53随机变量的分布函数：X的分布函数为 F(X)=P(Xx)，-x+ F(x)的性质：0F(x)1 若x1x2，则F(x2)-F(x1)0 F(-)=0,F(+)=1 P(Xb)=F(b)，P(ab)=1-F(b) a+be-lx,x0例5 设X的分布函数F(x)=，其
9、中l0，则a=_b=_. 0,x0-lx解：由F(+)=1知a=1 x+由F(-)=0，及题设x0时F(x)=0，故lim+F(x)=(a+bex0-lx)=(1+b)=0 1-e-lx,x0综上有F(x)=，即a=1,b=-1 0,x0x10,例6 设X的分布函数F(x)=lnx,1xe 1,xe求 P(X2),P(0X3),P(2X2.5) 解：P(X2)=F(2)=ln2 P(0X3)=F(3)-F(0)=1-0=1 P(2X2.5)=F(2.5)-F(2)=ln2.5-ln2=ln1.25 4 连续型随机变量 若P(X(a,b)=此时，F(x)=baf(x)dx，其中ab任意，则称X为
10、连续型随机变量。 x-f(u)du；f(x)=F(x) f(x)0PK0其中 f(x)为X的概率密度，满足+ P=1Kf(x)dx=1-Kc,x1例7 设X的概率密度为f(x)=，则c=_ 0,x1+11解：由f(x)dx=1知cdx=2c=1，故c= -125常见连续型随机变量 xa0,1x-a,axb,ax1)=1，则a=_ 3解：易知a1且 a1a111f(x)dx=，即dx= 解得a=3 12a33le-lx,x01-e-lx,x0指数分布E(l)设XE(l)，则f(x)=，F(x)= x0x00,0,EX=1l，DX=1l2应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。 例9
11、设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率 解：由题意所求为P(Xt)= 正态分布N(m,s)，设XN(m,s)，则 22+tle-lxdx=e-lt 1-(x-m)2/2s2，-x0)=P(X*0)=F(0)=P(X*a)=2(1-F(a) P(X*a)=2F(a)-1 1 2P(X*1.96)=0.975，P(X*u)= * 若XN(m,s)，则P(aXb)=F(2b-ms)-F(a-ms) F(x)=F(x-ms) 6.简单随机变量函娄的概率分布 例10 设 ，求Y=X2的概率分布。 解：由题设，X的可能值为-1,0,1，故X2的可能值为0,1 而P(Y=0)=
12、P(X2=0)=P(X=0)=1 3P(Y=1)=P(X2=1)=P(X=-1)(X=1)-P(X=-1)+P(X=1)=故 例11 设XN(0,1)，求Y=X2的分布密度函数 解：先求Y的分布函数：FY(y)=0，当y0；当y0时 2 3FY(y)=P(X2y)=P(-yX再求Y的分布密度函数 y)=F(y)-F(-y) fY(Y)=FY(y)=(F(y)-F(-y) =j(y)12y+j(-y)12py12y =1yj(y)=e-y/2(y0) 0,y0故fY(y)=1 e-y/2,y02py第三章 多维随机变量及其概率分布 1 二维随机变量(X,Y) (X,Y)的分布函数F(x,y)=P
13、(Xx,Yy) X的分布函数F1(x)=limF(x,y)=F(x,+) yY的分布函数F2(y)=limF(x,y)=F(+,y) xx-limF(x,y)=0=limF(x,y) y-2 离散型(X,Y)的分布律Pij Pij=P(X=xi,Y=yi)0PK0 P=1P=1ijKKijPi=P(X=xi)=Pij jPj=P(Y=yi)=Pij i例 设(X,Y)的分布律为 求a=? P(X=0) P(Y2) P(X1,Y2) P(X=Y) 解：由Pijij=1知Pij=(P01+P02+P03+P11+P12+P13)=0.1+0.1+0.3+0.25+a+0.25=1 i=0j=113
14、解得a=0 P(X=0)=Pj=130j=P01+P02+P03=0.1+0.1+0.3=0.5 11P(Y2)=P(Y=1)+P(Y=2)=P1+P2=P+Pi1i=0i=0i2=(0.1+0.25)+(0.1+0)=0.45 P(X0,Y0) SAD，其中SAD表示A与DSDp1解：P(X0,Y0)=4= p4二维正态分布N(m1,m2,s1,s2,) *，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为 22f(x,y)=* 12ps1s2(x-m1)2(x-m1)(y-m2)(y-m2)21exp-2+ 2222s1s2s22(1-)s11-x+,-y0,s20,P1,-mi+,i=1,2 此时
15、X的边缘密度f1(x)=12ps1e-(x-m1)2/2s12，即XN(m1,s1) 故EX=m1,DX=s1 22Y的边缘密度f2(y)=12ps2e-(y-m2)2/2s22，即YN(m2,s2)，故EY=M2，DY=s2 22P为X，Y的相关系数，可知当P=0时，f(x,y)=f1(x)f2(y)，即X，Y相互独立，这是一个重要结论： 在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。 另外，可知Cov(X,Y)=DXDY=s1s2 * 例4 设XN(0,4)，YN(-1,1)，两者相互独立，求(X,Y)的分布密度f(x,y) 解：由X,Y相互独立知(X,Y)f(x,y)=f1(x)f2(y) =
16、12p1e-x2/(24)12pe-(y+1)2/21x212exp-+(y+1) =4p24第四章 随机变量的数字特征 1 单个随机变量的期望 xiP(X=xi),X为离散型EX=i+ xf(x)dx,X为连续型-例1 设 ，则EX=-1 1111+0+3= 2444+112x,0x1x32例2 设X的分布密度为f(x)=，则EX=xf(x)dx=x(2x)dx=2xdx=2-0030,其他1=02 32 单个随机变量函数的期望 设X为随机变量，y=g(x)是普通函数，则Y=g(X)是随机变量，且 g(xi)p(X=xi),当X为离散型Eg(X)=i+ * g(x)f(x)dx,当X为连续型
17、，且X具有密度f(x)-例3 设X的分布如例1，求g(X)=X的期望 解：EX=(-1) 例4 设X的分布密度f(x)如例2，求g(X)=33311125 +03+33=2444X的期望 1解：E(X)=+-xf(x)dx=105/21x4= x2xdx=2x3/2dx=2051+3202当g(x)=(x-m)时，Eg(X)=E(X-m)=DX，即为X的方差 2(xi-m)2P(X=xi)DX=E(X-m)2=EX2-m2=i +(x-m)2f(x)dx-例4 设 则 EX=(-1)1111+1=0，EY=-10+10=0 222211DX=EX2-(EX)2=EX2=(-1)2+12=1 2
18、211DY=(-10)2+(10)2=100 2222注：DX=EX-(EX)是重要常用公式 1+x,-1x0例5 设随机变量X具有概率密度f(x)=1-x,0x1，求DX 0,其他解：因f(x)是分段函数，故求EX,EX时也要随之分段积分 2EX=xf(x)dx=x(1+x)dx+x(1-x)dx=0 -10+01EX=xf(x)dx=x(1+x)dx+x2(1-x)dx=-102+20211 6于是DX=E(X2)-(EX)2= 1 63(X,Y)函数的期望 设Z=g(x,y)是普通函数，则Z=g(X,Y)是随机变量，其数学期望EZ等于 g(xi,yi)P(X=xi,Y=yj)=g(xi,
19、yj)Pij,当(X,Y)为离散型ijij EZ=Eg(x,y)=+g(x,y)f(x,y)dxdy,当(X,Y)为连续型，且具有分布密度f(x,y)-例6 设(X,Y)分布律为 ，Z=g(X,Y)=XY 则E(XY)=(00)P00+(01)P01+(10)P10+(11)P11=(11)P11=1例 设(X,Y)的分布密度f(x,y)=11= 662,0x1,0yx，则 0,其他Eg(X,Y)=E(XY)=1+-xyf(x,y)dxdy 1x00xxy2dxdy=2x(010y2ydy)dx=2xdx 0201xx43 =xdx=041=01 4当g(x,y)=(x-m1)(y-m2)时，
20、其中m1=EX,m2=EY，则 E(g(X,Y)=E(X-m1)(Y-m2)是X，Y的协方差，即 Cov(X,Y)=E(X-m1)(Y-m2) =E(XY)-EXEY 当g(x,y)=(x-m1)(y-m2)s1s2时，其中EX=m1,EY=m2,DX=s1,DY=s2 22(X-m1)(Y-m2)E(X-m1)(Y-m2)Cov(X,Y)Eg(X,Y)=Ess=12s1s2期望E()的重要性质 EC=c E(CX)=CEX E(X+Y)=E(X)+E(Y) 推广：E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c 若X，Y相互独立，则E(XY)=EXEY 方差D()的重要性质 D(c)=0 D(Xc)
21、=DX，其中c为常数 D(cX)=c2DX 特别D(X)=D(-X) 若X，Y相互独立，则D(X+Y)=DX+DY D(XY)=DX+DY D(aX+bY)=a2DX+b2DYD(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y) 例 设X，Y相互独立，且DX=3,DY=4，则 D(X-Y)=DX+DY=7 s= *为X，Y的相关系数 1s2 D(3X-4Y)=32DX+(-4)2DY=91 协方差Cov(,)的运算性质： Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a，b为常数 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 若X，Y相互独立，
22、则Cov(X,Y)=0，从而P=0，即X与Y不相关 注：一般地，若X，Y独立，则X，Y必不相关；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y独立。 重要特例是：若(X,Y)为正态分布，则X，Y独立等价于X，Y不相关 例 设(X,Y)的分布律为 ，求EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),Pxy 解：易知 故EX=(-1)131311+1=,EY=(-1)+1=-，EX2=11=1, EY2=11=1 4424421313DX=EX2-(EX)2=1-2=，DY=1-(-)2= 242411111Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=(-1)+1-(-)=+ 22224XY=Cov(X,Y)0.251= * DXDY0.750.753例 设(X,Y)N(1,1,4,9, 11)，则Cov(X,Y)=s1s2=23=3 * 22例 设(X,Y)为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_ X，Y独立 E(X+Y)=EX+EY E(XY)=EXEY (X,Y)N(m1,m2,s1,s2,0) 22解法1：排除，因X，Y独立X,Y不相关；排除，这一等式成立不需任何条件；排除，由(X,Y)服从正态分布及P=0知X，Y独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选 解法2：当E(XY)=EXEY时，Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0，故X，Y不相关；反之亦然。
