概率第一章随机事件参考习题带答案.docx

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1、概率第一章随机事件参考习题带答案一、填空题 1.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表示为 ；其对立事件为 ；至少有一个发生的事件为 。 2.一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为 . 3.设A,B为两个事件, 若概率P143，P(B|A)=, P(A+B)=, 则概率P . 65104.设A，B为两个事件，且已知概率P=0.4, P=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= . 5.一批商品共有100件, 次品率为0.05. 连续两次有放回地从中任取一个, 则到第二次才取到正品的概率为

2、6.设A，B，C为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)_；(2) 至多有两个事件发生记作 _ 7、设事件A=xx=n,nN，事件B=xx=2k,kN，则(1)A+B= (2) A-B= 8、将一枚均匀硬币抛掷两次，若设X表示出现正面的次数则P(X1)= 9、设A，B为三个随机事件，则至少有一个事件发生记作(1)_ (2) 至少有两个事件不发生记作 _ 10、设事件A=1,2,3,4,5，事件B=2,4,6，则(1)A+B= (2) A-B= 11、将一颗骰子抛掷一次，则样本空间(1)S_ (2)若A偶数点，则 P(A)=_ 12.设A , B为两个随机事件，则A , B都发生的事件的表

3、示为 ；其对立 事件为 ；A , B都发生或都不发生可表示为 ；其对立事件为 . 13.设A,B为两个事件, 若概率P143，P(B|A)=, P(A+B)=, 则概率 6510P . 14. 一袋中装有3只白球，5只黑球.现从中任取2球，则2只球都是黑球的概率为 . 15.设A，B为两个事件，且已知概率P=0.4, P=0.3, 若事件A,B互斥，则概率P(A+B)= ；若事件A, B相互独立，则概率P(A+B)= . 16.一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次有放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 . 17、若 A，B，C为三个随机事件，则A，B，C至少有一

4、个发生的事件记作 。 18、若 A，B为三个随机事件，则A，B至多有一个不发生的事件记作 。 19、将一枚均匀硬币连掷三次，若记A恰好两次出现正面，则P(A)= 。 20、口袋内有10球，4红球，6黄球，现从中每次任取2球，所取 2球都是同色球的概率是 。 21、P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，则P(AB)= 22、设事件A与B相互独立，且P=0.3，P=0.4，则P(AB) = 23.设A，B为两个事件且已知概率P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.3, 则概率P(A|B)= 24.设A，B为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3，若事

5、件A,B相互独立,则概率P(A+B)= 25.一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是_ AB AB(或AB); A+B; 5/14 0.6; 0.7；0.58; 0.0475;6.A+B+C，A+B+C ; 7.A=xx=n,nN，A-AB=xx=2k-1,kN ;8.3 ;9.AB+AB，AB+AB+AB 4110.1,2,3,4,5,6，1,3,5 ;11.1,2,3,4,5,6， ;12.AB; AB(或AB); AB+AB; AB+AB; 213.3/5;14.5/14;15.0.7；0.58;16.0.0475;17.A+B+C或ABC;18

6、.AB+AB+AB或A+B 3719.;20.;21.0.6；22. 0.58；23.0.4；24.0.58；25.0.6 815二、选择题 37, P(AIB)=， 若事件A, B相互独立，则概率P 5101211451610123 2.设A,B为两个事件，若P=, P(A|B)=, P(B|A)=, 则概率P 335123455553、A ,B为任意两个随机事件，且P(A)0，若P(BA)=1时，则下列正确的是 1.设A,B为两个事件，且已知P= P(A+B)P(A) P(A+B)P(B) P(A+B)=P(A) P(A+B)=P(B) 4、将一枚硬币连抛三次，若记A恰好出现三次正面，则P

7、(A)的值是。 1213 48845.设BA，则下面正确的等式是 P(AB)=1-P(A)； P(B-A)=P(B)-P(A)； (A) P(B|A)=P(B)； 3P(A|B)=P76. 设A,B为两个事件，且已知概率P= 5, P(A+B)=10， 若事件A, B相互独立，则概率P121 1 16 10 1 42 3 5 7. 设A,B为两个事件，若概率P=3, P(A|B)=3123, P(B|A)=5, 则概率4P. 5 5 5 5 8、将一枚均匀骰子抛掷1次，则出现偶数点的概率是 1111642129.设A与B互为对立事件，且P0，P0，则下列各式中错误的是 A. P(A)=1-P(

8、B) B. P=PP C. P(AB)=1 D. P=1 10设随机事件A与B互不相容，P=0.2，P(B)=0.4，则P= A0 B0.2 C0.4 D1 11. 设事件A、B满足P(A|B) =0.2，P=0.6，则P= A0.12 B0.4 C0.6 D0.8 12设A为随机事件，则下列命题中错误的是 AA与A互为对立事件 BA与A互不相容 CA=A D AA=W 13.设A与B相互独立，且P0，P0，则下列各式中错误的是 A. P(A)=1-P(B) B. P=PPC. P(AB)=P(A)P(B) D.P=P 14设随机事件A与B互斥，P=0.2，P(B)=0.4，则P= A0 B0

9、.2 C0.4 D1 15、设A，B为两个事件，若事件AB，则下列结论中恒成立。 事件A，B互斥 事件A，B互斥 事件A，B互斥 事件A，B互斥 16、设A，B为两个事件，且已知概率P(A)0，P(B)0，若事件A，B相互独立，则下列等式中恒成立。 P=P+ P P=P P=P- P P=PP(B) 1-5.CA DCB；6-10. CA C BA；11-15. A C AA C；16.D 三、计算题、证明题 1某培训机构调查得某地区应考生报考数学班的概率为421，报考外语班的概率为，两者都报的概率为，151510求： 报考数学班或报考外语班的概率； 既不报考数学班又不报考外语班的概率. 2某

10、袋子里装有4个红球与6个黑球，任取3个，求： 其中恰好有2个红球的概率； 其中至多有1个红球的概率. 3. 三人独立去破译一个密码，他们能破译密码的概率分别为1/5，1/3，1/4，问能将密码破译出的概率是多少？ 1114、已知P(A)=,P(B/A)=,P(A/B)=，试求：P P 4325.在10件产品中有4件次品，6件正品，现从中不放回的取两次，每次取一件，试求下列各概率，两件恰好全是正品，次品和正品各一件，第二次取出的是次品。 1. 解 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= PAB=1-P(A+B)=21C4C32. 解 P(A)36= C1010123C4C6+C62 P(

11、B)= =3C1034213+-= 15151010()7 103. 解 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=P(A)+P-(B)+(P)C-(P)A(P)B=+)P(B)P-(C)P()AP(C)(P)A()PBPC111111111111+-+ 5345334545433=5111P(AB)1=, 4、解：已知P(A)=,P(B/A)=,P(AB)=，P(B)=4312P(A/B)61故有：PP(A)+P(B)-P(AB)= 3P(B(A+B)P(AB+BB)P(AB)P(A)-P(AB)1P= P(A+B)P(A+B)P(A+

12、B)P(A+B)25. 设A抽两次恰好全为正品，B次品和正品各一件 ，C第二次抽到次品，且设Ci=第i次抽到次品Ci=第i次抽到正品，C2=C1C2C1C2 211C6C4C18 P(A)=2=,P(B)=26=C103C10151111C6C3C4C42P(C)=1111= C10C9C10C956. 某工厂分配到甲，乙两分厂的生产产量为60与40，据总厂质量检验部门检验统计甲，乙两分厂次品率为2.5%与3.5%,试求总厂的次品率为多少；若从全厂送检产品中任抽一件确认为次品，问该产品是哪个分厂生产的可能性大些。 7、设A,B相互独立，证明A与B相互独立。 1118.若P(A)=,P(BA)=

13、,P(AB)=,，求P(A+B)及PA-B。 2349.某科研小组由5人组成，3男2女，现从中任选3名代表出席学术报告会议，试求至少有一女性参加的概率，至多有一女性参加的概率？. 10. 某省体育部门为了解游泳队员患鼻炎情况，按男，女比例3：2抽样检测，据历次检查记录知，男，女队员患鼻炎的概率分别为3与4，试求全体游泳队员的患鼻炎率；若抽测的队员中任抽一人确认为鼻炎患者，问该队员是男性还是女性队员可能性大些。 6解：设A：甲厂生产，则A：乙厂生产， B：产品为次品 P(A)=60402.5253.535,P(A)=,P(BA)=,P(BA)= 10010010010001001000由全概率公

14、式得 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=29 1000由贝叶斯公式知： P(AB)=)15P(AB)P(A)P(BA =P(B)PB29P(AB)P(A)P(BA)14P(AB)= P(B)P(B)29故被抽检到的次品来自甲厂的可能性大一些。 7证明：QB=BS=B(A+A)=AB+AB,且ABABf QP(B)=P(AB)+P(AB),且P(AB)P(B)-P(AB) 又QA，B相互独立，P(AB)=P(A)P(B) 代入得P(AB)P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A)=P(B)P(A) 即A,B相互独立时，A与B相互独立。 1111118.解：QP(A)=,P

15、(BA)=,P(AB)=.=,且P(AB)= 2323642 3121QP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=1 236111QP(A-B)=P(A)-P(AB)=-= 2639. 解：A至少有一女性参加，B至多有一女性参加 ， P(B)=P(AB)/P(AB)=1221C2C3+C2C39P(A)= 3C5101203C2C3+C2C37P(B)= . 3C51010.解：设A：男性队员，则A：女性队员， B：鼻炎患者 3234P(A)=,P(A)=,P(BA)=,P(BA)= 55100100由全概率公式得 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=17 500由贝叶

16、斯公式知： P(AB)=)9P(AB)P(A)P(BA= P(B)PB17P(AB)P(A)P(BA)8P(AB)= P(B)P(B)17故被抽检到的鼻炎患者是男性的可能性大一些。 11、设A,B相互独立，证明P(AB)=P(A)。 12、已知P(A)=0.5, P(AB)=0.2, P(B)=0.4, 求(1) P(AB); (2) P(A-B); (3) P(AB); 13、设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,(1) 求取到的是次品的概率;(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产

17、品是甲厂生产的概率. 14、设P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AUB)=0.6, 求P(A-B)及P(B-A) 15、设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率. 11证明： QA，B相互独立，P(AB)=P(A)P(B) P(AB)P(A)P(B)=P(A) 由条件概率定义P(AB)=P(B)P(B) A,B相互独立有P(AB)=P(A) 12、解： (1) 因为AB+AB=B, 且AB与AB是不相容的, 故有P(AB)+P(AB)=P(B) 于是P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2;(3分)

18、 (2) P(A)=1-P(A)=1-0.5=0.5, P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.2=0.3; (2分) (3) P(AUB)=p(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7;(2分) 13、解：记事件A1:“该产品是次品”, 事件A2:“该产品为乙厂生产的”, 事件A3:“该产品为丙厂生产的”, 事件B:“该产品是次品”. 由题设, 知 P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%, (1) 由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=3.5%.(3分) i=13(2)

19、 由贝叶斯公式(或条件概率定义), 得 P(A1B)P(A1)P(B|A1)=51.4%.(4分) P(A1|B)=P(B)P(B)14、解 QP(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.1 又QA=AB+AB,ABIAB=f P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB)=0.3 同理P(B-A)=P(BA)=P(B)-P(AB)=0.2 15解 设B表示“活到20岁”， A表示“活到25岁”，则P(B)=0.8,P(A)=0.4 由于AB,有AB=A,因此P(AB)=P(A)=0.4 P

20、(AB)0.4由定义，P(A|B)=0.5. P(B)0.816、一袋中装有8个球, 其中3个黑球、5个白球，从中先后随意各取一球，求第二次取到的是黑球的概率. 42117某地区一年内刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为，求： 151510 刮风或下雨的概率； 既不刮风又不下雨的概率. 18 箱子里装有4个一级品与6个二级品，任取3个产品，求： 其中恰好有2个一级品的概率； 其中至多有1个一级品的概率. 19、已知P(A)=0.6， P(AB)=0.3 ，P(B)=0.5, 求 (1) P(AB); (2) P(A-B); (3) P(AB); (4) P(AB). 20某商店有1

21、00台相同型号的冰箱待售，其中50台是甲厂生产的，30台是乙厂生产的，20台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.2、0.3、0.4，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求： 该顾客取到一台不合格冰箱的概率； 顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？ 16、解 设A,B分别表示“第一、二次取到的是黑球”， 则A，A构成一个完备事件组，依题意知: 3523由题设易知P(A)=，P(A)=，P(B|A)=，P(B|A)= 8877由全概率公式有: 325321P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=

22、+= 56878742137+-=17、解 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(AB)=1-P(A+B)= 151510101021123C4C63C4C6+C6218、解 P(A)3= P(B)= =3C1010C10319、解： (1) 因为AB+AB=B, 且AB与AB是不相容的, 故有P(AB)+P(AB)=P(B) 于是P(AB)=P(B)-P(AB)=0.5-0.3=0.2; (2) P(A)=1-P(A)=1-0.6=0.4；P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.2 (3) P(AUB)=p(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.2=0

23、.7; (4) P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-0.7=0.3. 20解：设A1=甲厂生产的，A2=乙厂生产的，A3=丙厂生产的，B=不合格品 则A1，A2，A3为完备事件组。 P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2， P(B|A1)=0.2，P(B|A2)=0.3，P(B|A3)=0.4， 由全概率公式得： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.50.2+0.30.3+0.20.4=0.1+0.09+0.08=0.27 由贝叶斯公式得 P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)0.50.210= 0.2

24、727P(B)21、设P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AUB)=0.6, 求P(A-B)及P(B-A) 22用甲、乙、丙3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.9，0.8，0.7，试求：求全部产品中的合格率；已知该产品为合格品，求该件产品为甲机床的概率是多大？ 23.设A与B相互独立，且P=0.2，P=0.3，求 P； P(AB)； P 111,P(B/A)=,P(A/B)=，试求： 432P P P. 25口袋内有10球，4红球，6黄球，现从中每次任取1球，不放回的抽取两次，试求： 所取 2球都是同色球

25、的概率。 第二次抽到黄球的概率。 24. 已知P(A)=21、解 QP(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=0.1 又QA=AB+AB,ABIAB=f P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) P(A-B)=P(AB)=P(A)-P(AB)=0.3 同理P(B-A)=P(BA)=P(B)-P(AB)=0.2 22、解：设A1=甲机床生产的，A2=乙机床生产的，A3=丙机床生产的，B=合格品 则A1，A2，A3为完备事件组。 P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2， P(B|A1)=0.9，P(B|A2)=0.8，

26、P(B|A3)=0.7， 由全概率公式得： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.45+0.24+0.14=0.83 由贝叶斯公式得：P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)0.50.945= 0.8383P(B)23解： P=PP=0.20.3=0.06 2分 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56 2分 P=P=0.2 3分 1124解：已知P(A)=,P(B/A)=,， 431P(AB)=P(A)P(B/A)= 2分 12P(AB)1=, 2分 P(B)=P(A/B)61 PP

27、(A)+P(B)-P(AB)= 3分 325、解：设Ai=第i次取到红球，i=1,2； Ai=第i次取到黄球，i=1,2；B：2球都是同色球；C：第二次抽到黄球； 2分 7 P(B)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=； 2分 153 P(C)=P(A2)=P(A2(A1+A1)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)= 3分 526、盒子里装有5张壹角邮票、3张贰角邮票及2张叁角邮票，任取3张邮票，求： 其中恰好有1张壹角邮票、2张贰角邮票的概率； 其中恰好有2张壹角邮票、1张叁角邮票的概率； 其中至少有2张邮票面值相同的概率。 27、.市场上供应的

28、某种商品只由甲厂与乙厂生产;甲厂占7000,乙厂占3000,甲厂产品的次品率为400,乙厂产品的次品率为900，求： 从市场上任买一件商品是次品的概率; 从市场上已买一件次品是乙厂生产的概率； 从市场上已买一件正品是甲厂生产的概率; 28、盒子里装有8支红圆珠笔与5支蓝圆珠笔，每次任取1支圆珠笔，不放回取两次，求：两次都取到红圆珠笔的概率；第二次取到红圆珠笔的概率。 29、设A，B为两个事件，且已知概率P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.4，求：P(AB)； P(AB)； P(B|A)； P(A+B)。 30、设A,B是任意二事件,其中A的概率只等于0和1,证明P(B|A)=

29、P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件。 26、解：设事件A表示任取3张邮票中恰好有1张壹角邮票、2张贰角邮票，则 12C5C353531P(A)= 3分 310981208C10321所以任取3张邮票中恰好有1张壹角邮票、2张贰角邮票的概率为1/8 设事件B表示任取3张邮票中恰好有2张壹角邮票、1张叁角邮票，则 5421C52C210212P(B)= 3分 310981206C10321所以任取3张邮票中恰好有2张壹角邮票、1张叁角邮票的概率为1/6 设事件D表示任取3张邮票中至少有2张邮票面值相同，则 111C5C3C253213P(D)=1-P(D)=1-=1-=1-= 2分 312

30、044C10所以任取3张邮票中至少有2张邮票面值相同的概率为3/4 27、解:设A表示甲厂生产的产品,B表示次品, 2分 则(1)P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=70%4%+30%9%=5.5% 所以从市场上任一件商品是次品的概率是5.5% 2分 (2)P(A|B)=P(AB)P(B)49.09% 所以从市场上已买一件次品是乙厂生产的概率是49.09% 2分 (3) P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B|A)0.70.961-P(B)=0.94571.1% 所以从市场上已买一件正品是甲厂生产的概率 是71.1% 2分 28.解:设事件A表示第一次取到红圆珠笔,

31、事件B表示第二次取到红圆珠笔,则 P(A)=813P(B|A)=7812 P(B|A)=12=23 2分 (1)P(AB)=P(A)P(B|A)=87141312=39 所以两次都取到红圆珠笔的概率为1439 3分 (2)P(B)=P(AB+AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=813712+51323=813 所以第二次取到红圆珠笔的概率为813 3分 29、 解: (1)P(AB)=P(A)P(B|A)=(1-P(A)P(B|A)=(1-0.5)0.4=0.2 2分 (2) P(AB)=P(B)-P(AB)=0.6-0.2=0.4 2分 (3) P(B|A)=P(AB)0.P(A)=40.5=0.8 2分 (4) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7 2分 30、证： 4分由A与B独立知A与B也独立P=P，P=PP=P 由=P可见PP=PP=P-P1-P=P ， A与B独立。 P(A)=513