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1、概率chapter4习题Chapter 4 = 4.1 以下有理函数是否为功率谱密度函数的正确表达式？为什么？ w26 是，因为是偶数， w+3w2+3exp(-(w-1)2) 否，非偶数 w2-d(w) 否，因为w=0是负数 (3）4w-1w4(4) 否，非实数 261+w+jw4.2 求4.1 题中正确的功率谱密度表达的自相关函数和均方值 4.3 求随相正弦信号X(t)=cos(wt+F)的功率谱密度，w0为常数，F(0,2p)上均匀分布。 解： RX(t)=Ecos(w0t+F)cos(w0(t+t)+F)1Eco(sw0(2t+t)+F)+co(sw0t)21=co(sw0t)2=11
2、jw0tG(w)=cos(w0t)e-jwtdt=(e+e-jw0t)e-jwtdt2-=-1-j(w-w0)t(e+e-j(w+w0)t)dt21d(w-w0)+d(w+w0)24.4 求Y(t)=X(t)cos(w0t+F)的自相关函数和功率谱密度，w0为常数，F(0,2p)上均匀分布，且与X(t)独立。 解： RY(t)=EX(t)X(t+t)cos(w0t+F)cos(w0(t+t)+F)1RX(t)Ecos(w0(2t+t)+F)+cos(w0t)21=RX(t)cos(w0t)2=11GY(w)=RX(t)cos(w0t)e-jwtdt=RX(t)(ejw0t+e-jw0t)e-j
3、wtdt24-=-1RX(t)(e-j(w-w0)t+e-j(w+w0)t)dt41GX(w-w0)+GX(w+w0)44.5 已知平稳过程的功率谱密度为 w2G(w)=4 w+3w2+2求平稳过程的均方值 解： w2ABG(w)=4=+w+3w2+2w2+1w2+2 A=-1;B=21RY(t)=2p1=2p=w2ejwtdt42-w+3w+212jwt+)edt 22w+1w+2-e-t-(-2t12e4.6 已知平稳过程X(t)的自相关函数为：RX(t)=e解： -at,求其功率谱密度，并作图。 GY(w)=e-0-ate-jwtdt=-e-(jw-a)tdt+e-(jw+a)tdt00
4、110e-(jw-a)t-e-(jw+a)t(jw-a)(jw+a)11=-+(jw-a)(jw+a)jw-a-(jw+a)2a=2(jw-a)(jw+a)w+a2=-4.7已知平稳过程X(t)的自相关函数为：RX(t)=e解： -atcosw0t,求其功率谱密度，并作图。 GY(w)=0-e-atcosw0te-jwtdt11=e-(jw-a)t(ejw0t+e-jw0t)dt+(ejw0t+e-jw0t)e-(jw+a)tdt2-2011=e-j(w-w0)-at+e-j(w+w0)-at)dt+(e-j(w-w0)+at+e-j(w+w0)+at)dt2-20111-j(w-w0)-at
5、-j(w+w0)-at=-e-e2j(w-w0)-aj(w+w0)-a+=+=111-j(w-w0)+at-j(w+w0)+at-e-e2j(w-w0)+aj(w+w0)+a111-2j(w-w0)-aj(w+w0)-a111+2j(w-w0)+aj(w+w0)+a12a2a+2(w-w0)2+a2(w+w0)2+a20-00a(w-w0)2+a2-at+a(w+w0)2+a22a；w2+a2解： 由RX(t)=eRY(t)=e,得GX(w)=-atcosw0t，由频谱搬移性质可得：1GX(w)=(GX(w+w0)+GX(w-w0)2=a(w+w0)2+a2+a(w-w0)2+a24.8 已知
6、平稳过程X(t)的自相关函数为： tRX(t)=1-T0解： -TtT求其功率谱密度，并作图。 othersTG(w)=2=2-R(t)eT-jwtdt=-Tt1-TT-jwtedt=20t1-TcoswtdtsinwTwsinwT2-tcoswtdtT0-22TsinwT+wTwTTw0sinwtdt2sin2(wT/2)=2(1-coswT)=TwT(wT/2)2 解(2) 利用付氏变换的微分性质： 1-TR(t)=1TR(t)=0tT-Tt0121d(t+T)-d(t)+d(t-T)TTT1-jwT24wTe+ejwT-=-sin2TTT22=(jw)F(R)F(R)=()F(R)=-4
7、wT22 sin2/(jw)=T2T2wT2sin2wT4.9已知平稳过程X(t)，求Y(t)=A+B X(t)的功率谱密度，A，B为常数 解： RY(t)=E(A+BX(t)(A+BX(t+t) =A2+EABX(t)+EABX(t+t)+B2RX(t) =A2+2ABmX+B2RX(t)GY(w)=2pA2+2ABmXd(w)+B2GX(w)4(-A2+2ABmX+B2RX(t)e-jwtdt)4.10求自相关函数为R(t)=pcos(w0t)的随机过程的功率谱密度，并求其平均功率。 解： GX(w)=-pcoswte04-jwtdtpjw0t-jw0t4-jwt=e+eedt16-()=
8、pj4w0tj2w0t-j2w0t-j4w0t-jwte+4e+6+4e+eedt16-)pd(w-4w0)+4d(w-2w0)+6d(w)+4d(w+2w0)+d(w+4w0)16平均功率为 P 4.11 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为： G(w)=解： ww01 求X(t)的相关函数 0others1RX(t)=2p1=2p=w0-w0-G(w)ejwtdwjwtedw1ejwtjt2pw0-w0sinw0tw0sinw0tw01(ejw0t-e-jw0t)=sa(w0t)jt2pptpw0tp4.12 已知平稳过程的相关函数为：RX(t)=4e解： -atcospt+cos2pt,求
9、功率谱密度。 QGY(w) =e-atcosw0te-jwta2adt=+ 22(w-w0)+a(w+w0)2+a2GY(w)=-4e(-atcospt+cos2pte-jwtdt)4a4a=+pd(w-2p)+d(w+2p)2222(w-p)+a(w+p)+a4.13 =EX(t)X(t+t)+EX(t-t1)X(t+t)=2RX(t)+RX(t+t1)+RX(t-t1)GY(w)=F(RY(w)=+RY(t)=E(X(t)+X(t-t1)(X(t+t)+X(t+t-t1)+EX(t-t1)X(t+t-t1)+EX(t)X(t+t-t1)-jwt2R(t)+R(t+t)+R(t-t)edtX
10、X1X1=2GX(w)+GX(w)e-jwt1+GX(w)ejwt1=2GX(w)(1+coswt1)4.14 若系统得输入过程X(t)为平稳过程，系统输出为： Y(t)=X(t)+X(t-t)求证Y(t)的功率谱密度为： GY(w)=2GX(w)(1+cowts) 证明： R(t)=E(X(t)+X(t-t0)(X(t+t)+X(t+t-t0)=2RX(t)+RX(t-t0)+RX(t0-t)GY(w)=-2RX(t)+RX(t-t0)+RX(t0-t)e-jwtdt-jwt0=2GX(w)+e-RX(t-t0)e-jw(t-t0)dt+e-jwt0-RX(t0+t)e-jw(t+t0)dt
11、 =2GX(w)(1+coswt0)4.13设平稳过程 X的功率谱密度为 w8d(w)+20(1-GX(w)=10)0求RX(t) 解： 由付氏变换性质可得： w10otherwise1RX(t)=2p=4-GX(w)ejwtdw110p4+20tp4sin10t-p0w10coswtdw=(1+14p+20tpsin10t-20tpsin10t+410pt0sinwtdwppt(cos10t-1)=24pt2sin25t)swt+F)，式中a为常数，w, F统计独立随4.15 设平稳过程 X(t)=aco(机变量， 其中 p(w)=p(-w)F(-p,p)上均匀分布。 证明： GX(w）=a
12、2pp(w) 证明： R(t)=Eacos(wt+F)acos(w(t+t)+F)= =a2Ecos(w(2t+t)+2F)+cos(wt)2a2a2Ecos(w(2t+t)+2F)+Ecos(wt)22a2Ecos(wt)2a2cos(wt)p(w)dw2-1=2p-1cos(wt)pap(w)dw=2p2-cos(wt)Gx(w)dw4.16 随机过程：W(t)=AX(t)+BY(t) ，A，B为使常数，X(t),Y(t)宽联合平稳。 求SW(w) 如果X(t),Y(t)不相关，求SW(w) 求互谱密度GXY(w) 解： R(t)=E(AX(t)+BY(t)(AX(t+t)+BY(t+t)
13、=A2RX(t)+B2RY(t)+ABRXY(t)+ABRYX(t)GZ(w)=A2GX(w)+B2RY(w)+2ABRXY(w)+2ABRYX(w) R(t)=E(AX(t)+BY(t)(AX(t+t)+BY(t+t)=ARX(t)+BRY(t)+2ABmXmY22GZ(w)=A2GX(w)+B2RY(w)+4pABmXmY GXZ(w)=AGX(w)+BRXZ(w);GYZ(w)=AGYZ(w)+BRY(w); 4.17 设平稳过程 Y(t=)X(t)co(swt+F)，式中w0为常数，X(t), F统计独立， F(0,2p)上均匀分布。 证明Y(t)为平稳过程 W(t)=X(t)cos(
14、w0+d)t+F)也是宽平稳 证明： EY(t)=EX(t)cos(w0t+F) =EX(t)Ecos(w0t+F)=0RY(t)=EX(t)cos(w0t+F)X(t+t)cos(w0(t+t)+F)=EX(t)X(t+t)Ecos(w0t+F)cos(w0(t+t)+F)=1RX(t)cosw0t2所以是宽平稳过程 EY(t)=EX(t)cos(w0+d)t+F)=EX(t)Ecos(w0+d)t+F)=0RY(t)=EX(t)cos(w0+d)t+F)X(t+t)cos(w0+d)(t+t)+F)=EX(t)X(t+t)Ecos(w0+d)t+F)cos(w0+d)(t+t)+F)=1RX(t)cos(w0+d)t2所以也是宽平稳过程 RY+W(t)=EX(t)cos(w0+d)t+F)+X(t)cos(w0t+F)X(t+t)cos(w0+d)(t+t)+F)+X(t+t)cos(w0(t+t)RWY(t)=EX(t)cos(w0+d)t+F)X(t+t)cos(w0(t+t)+F)=RX(t)Ecos(w0+d)t+F)cos(w0(t+t)+F)=RX(t)cos(w0t-dt)=f(t)=RX(t)Ecos(2w0+d)t+w0t+2F)+cos(w0t-dt)所以不是宽平稳过程
