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1、概率论与数理统计公式 小抄必备概率论和数理统计公式集锦 一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 AUB=AIB，AIB=AUB 古典概型 P(A)=mA包含的基本事件数n=基本事件总数 几何概型 P(A)=m(A)m(W)，其中为几何度量 求逆公式 P(A)=1-P(A) 加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(AB)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，BA时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 P(BA)=P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB) 与乘法公式 P(ABC)=
2、P(A)P(BA)P(CAB) n全概率公式 P(A)=P(Bi)P(ABi) i=1贝叶斯公式 P(BP(Bi)P(ABi)iA)= nP(Bi)P(ABi)i=1两个事件 相互独立 P(AB)=P(A)P(B)；P(BA)=P(B)；P(BA)=P(BA)； 二、随机变量及其分布 1、分布函数 P(X=xkF(x)=P(Xx)=)xkx,P(aXb)=F(b)-F(a) x-f(t)dt 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 01分布 Xb(1,p) P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 二项分布 Xb(n,p) P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,L,
3、n 泊松分布 kXP(l) P(X=k)=l-lk!e,k=0,1,2,3、续型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 0,xaf(x)=1,axbXU(b-a F(x)=a,b) x-a b-a,ax0F(x)=x00,x01-e,0,x0 2正态分布e-(x-m)f(x)=12s2F(x)=1xt-m)22s2XN(m,s2) 2ps2ps-e-(dt-x+标准正态分布 j(x)=1-x22x-1t2XN(0,1) 2peF(x)=12-x+2p-edt 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：P(Y=yi)=pj,i=1,2,， g(xj)=yi连续型：分布函数法，
4、公式法fY(y)=fX(h(y)h(y)(x=h(y)单调)三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,分布函数F(X,Y)=xpijixyiy边缘分布律：pi=P(X=xi)=pij pj=P(Y=yj)=pij ji条件分布律：P(X=xiY=yj)=pijijp,i=1,2,，P(Y=yjX=xi)=pjp,j=1,2,i2、连续型二维随机变量及其分布 分布函数及性质 分布函数：F(x,y)=xy-f(u,v)dudv 性质：F(+,+)=1,2F(x,y)xy=f(x,y),P(x,y)G)=f(x,y)dxdy
5、G边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：F+X(x)=x+-f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)=-f(x,v)dv F+Y(y)=y-f(u,v)dudv fY(y)=+-f(u,y)du 条件概率密度 f,y)YX(yx)=f(xf),-y+，ff(x,y)XY(xy)=f,-x0有PX-E(X)eD(X)e22、大数定律： 切比雪夫大数定律：若X1LXn相互独立， nnE(Xi)=mi,D(XXP1i)=si2且si2C，则：1nii=1nE(Xi),(n) i=1伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则e0，有：limnAnP-
6、p0，当n充分大时有：nYn=(Xk-nm)nsN(0,1) k=1棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量XB(n,p)，则对任意x有： 2limPX-np-t2nnp(1-p)x=x1-2pedt=F(x) n近似计算：P(aXkb)F(b-nma-nk=1ns)-F(mns) 六、数理统计的基本概念 1、总体和样本的分布函数 设总体XF(x)，则样本的联合分布函数F(x)=n1,x2Lxnk=1F(xk) 2、统计量 样本均值：X=1nnX1i，样本方差：S2=n(X212n-1i-X)=(Xi2-nX) i=1i=1n-1ni=1n样本标准差：S=11kn-1(Xi-X)2 ，样本k阶原点
7、距：Ak=,k=1,2L i=1nnXii=1样本k阶中心距：nBk=1n(Xi-X)k,k=1,2,3i=13、三大抽样分布 (1)c2分布：设随机变量XiN(0,1)(i=1,2,n)且相互独立，则称统计量c2=X12+X22+LXn2服从自由度为n的c2分布，记为c2c2(n) 性质：Ec2(n)=n,Dc2(n)=2n设Xc2(m),Yc2(n)且相互独立，则X+Yc2(m+n) (2)t分布：设随机变量XN(0,1),Yc2(n)，且X与Y独立，则称统计量：T=XYn服从自由度为n的t分布，记为Tt(n) 2性质：E(T)=0(n1),D(T)=n1-x2n-2(n2)limnfn(
8、x)=j(x)=2pe (3)F分布：设随机变量Xc2(m),Yc2(n)，且X与Y独立，则称统计量F(m,n)=XmYn服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为FF(m,n)，性质：设FF(m,n)，则1FF(n,m) 七、参数估计 1.参数估计 定义：用q(X1,X2,L,Xn)估计总体参数q，称q(X1,X2,L,Xn)为q的估计量，相应的q(x1,x2,xn)为总体q的估计值。 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法： 基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩 求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数q1,q2,qk，它的前k阶原点
9、 矩mi=E(Xi)(i=1,2,k)中包含了未知参数q1,q2,qk， 即mi=gi(q1,q2,qk)(i=1,2,k)；又设x1,x2,L,xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替mi，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数q1,q2,qk的矩估计量q1,q2,qk。 注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。 3.点估计中的极大似然估计 设X1,X2,LXn取自X的样本，设Xf(x,q)或XP(x,q)， 求法步骤： nn似然函数：L(q)=f(xi,q)(连续型)或L(q)=Pi(xi,q)(离散型) i=1i=1nn取对数：lnL(q)=lnf(xi,q) 或lnL(q)=ln
10、pi(xi,q) i=1i=1解方程：lnLq1=q1(x1,x2,xn)q=0,L,lnL=0，解得： 1qkqk=qk(x1,x2,xn)4.估计量的评价标准 设估无偏性 q=q(x1,x2,L,xn)为未知参数q的估计量。若E(q）=q，计则称 q为q的无偏估计量。 量的设q1=q1(x1,x2,L,xn)和q2=q2(x1,x2,L,xn)是未知参数评有效性 价q的两个无偏估计量。若D(q1)0，有limnP(|qn-q|e)=0则称qn为q的一致估计量。 5. 单正态总体参数的置信区间 条件 估计 枢轴量枢轴量 参数 分布 置信水平为1-a的置信区间 已知s2m Z=X-ms/n N
11、(0,1) x-zsan,x+zsa2n 2未知s2 m T=X-mS/n t(n-1) x-tSSa(n-1)n,x+ta(n-1)22n n2nn已知ms2c2=(Xi-m)2(Xi X-mi=1isc2(n) i=1-m)2i=1 c2(n),c2a1-a(n)22未知c2(n-1)m s2c2=(n-1)S2(n-1)S22s2,(n-1)S22 ca(n-1)2c1-a(n-1)2八、假设检验 1.假设检验的基本概念 基本假设检验的统计思想是小概率原理。 思想 小概率事件的概率就是显著性水平，常取=0.05，0.01或0.10。 提出原假设H0；选择检验统计量g(X1,L,Xn)；对
12、于查表找基本分位数，使P(g(X1,L,Xn)W)=a，从而定出拒绝域W； 步骤 由样本观测值计算统计量实测值g(x1,xn)；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。 当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，第一类我们把客观上H0成立判为H0为不成立，称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记a为犯此类错误的概率，即：P拒绝H0|H0为真=a； 当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。这时，两类第二类我们把客观上H0不成立判为H0成立，称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记b为犯此类错误的概率，即：P接受H0|H1为真=b。 两类错人们当然希望犯两
13、类错误的概率同时都很小。但是，当误的关容量n一定时，a变小，则b变大；相反地，b变小，则a系 变大。取定a要想使b变小，则必须增加样本容量。 2.单正态总体均值和方差的假设检验 条件 原假设 检验统计量 统计量 分布 拒绝域 H0:m=m0 |z|za 2已知s2H0:mm0 Z=X-m0s/nN(0,1) zza H0:mm0 zta(n-1) 2未知s2Hm0:mm0 T=X-0S/nt(n-1) tta(n-1) H0:mm0 t-ta(n-1) c2c2a(n-1) 未知m c2=(n-1)S22Hs2s c2(n-1)20:s20 0 c2c2a(n-1) H2s20:s0 c2c21-a(n-1) c2ca(n) i-m)2H2s2c2=(Xi=10:s0 s2c2(n) 20c2c2a(n) H:s2s200 c2c21-a(n)
