概率统计重要知识点.docx

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1、概率统计重要知识点概率论与数理统计重要知识点 1七个概率公式 加法公式 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)， P(A1UA2ULUAn)=P(Ai)-i=1n1ijnP(AiAj) +1ij0(1jn),P(A)0，则 P(Bj|A)=P(Bj)P(A|Bj)n P(B)P(A|B)iii=1二项概率公式 伯努利概型：在相同的条件下，重复做n次试验，这n次试验是相互独立的，每次试验的结果只有两个：A或A，且在每次试验中A发生的概率不变，这样的n次试验称为Bernoulli概型若P(A)=p，则在这n次试验中事件A恰好发生k次的概率为 kkpn(k)=Cnp(1-p)n-k,0kn 2

2、分布函数 定义 随机变量X的分布函数定义为 pk,X为离散型r.v.,取值为x1,x2,L,pk=PX=xk,xx F(x)PXx=kxf(t)dt,X为连续型r.v.,f(x)为X的概率密度.-3离散型r.v.及其分布律 定义 r.v.X的可能取值为x1,x2,L，称PX=xkpk,k=1,2,L为X的概率分布或分布律也可用表格表示为 X x1 p1 x2 p2 L L pk 4连续型r.v.及其概率密度 定义 设r.v.X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得xR，有 F(x)=x-f(t)dt，-x+， 则称X为连续型r.v.，f(x)是X的概率密度或密度函数 性质f(x)0

3、； +-f(x)dx=1； bPaXb=PaXb=PaXb=PaXb=f(x)dx； a若f(x)在x处连续，则F(x)=f(x) 5r.v.函数的分布 Xr.v.，Y=j(X)，f(x)X的概率密度，y=j(x)单调可导，则 |x(y)|,ayb,fXx(y) fY(y)=否则,0,其中，a=minj(-),j(+),b=maxj(-),j(+) 6数学期望 xkpk,X为离散型r.v.,取值为x1,x2,L,pk=PX=xk,xx定义 EXk +xf(x)dx,X为连续型r.v.,f(x)为X的概率密度.-性质E(X+Y)=EX+EY； E(XY)=EXEY； j(xk)pk,X为离散型r

4、.v.,取值为x1,x2,L,pk=PX=xk,xxEj(X)k +j(x)f(x)dx,X为连续型r.v.,f(x)为X的概率密度.-kn-kk工具箱Cnab=(a+b)n； k=0nxn=n=01,-1x1； 1-xx,-1x1； (1-x)2x(1+x),-1x1； (1-x)3nxn=n=1n2xn=n=1xn=ex,-x+； n=0n!+0xne-xdx=n!； 2e-xdx=p -+e-+-x22dx=2p 7方差 定义 DXE(X-EX)2=E(X2)-(EX)2 性质若Y=aX+b，则DY=a2DX； D(XY)=DX+DY 8常见分布 名称 分布律或概率密度 PX=1=p,P

5、X=0=q， 期望 p 方差 pq 0-1分布 0p1,p+q=1 二项分布 B(n,p) kkn-kPX=k=Cnpq， np npq 0p0， l l 超几何分布 kn-kCMCN-MPX=k=,k=0,1,L,l， nCNl=min(M,n),M,N,n0,MN,nN PX=k=pqk-1， 几何分布 0p1,p+q=1,k=1,2,L 1 pq 2p均匀分布 正态分布 1,ax0 x0,0,l标准正态分布N(0,1)：概率密度j(x)=x1e2p-x22， 分布函数F(x)=-1edt 2p-t222性质若XN(m，则,s)X-msN(0,1)，故PaXb=F(b-m)-F(a-m)；

6、 ss2若X1N(m,s,2X2N(,ms,11)2)2,nLX(nN,m)snn2n，X1,X2,L,Xn相n互独立，C1,C2,L,Cn为任意常数，则 CkXkN(Ckmk,Ck2sk2)； k=1k=1k=110联合分布与边缘分布 r.v.X：WR，Y：WR(X,Y)称为二维r.v.或二维随机向量 X与Y的联合分布函数 pij,pij=PX=xi,Y=yj,xxyyF(x,y)PXx,Yy=ij(x,y)R2 xyf(u,v)dvdu,-X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布：FX(x)=limF(x,y)=F(x,+) y+Y的分布函数称为(X,Y)关于Y的边缘分布：FY(y)=l

7、imF(x,y)=F(+,y) x+limF(x,y)=0，limF(x,y)=0，limF(x,y)=1； 性质limF(x,y)=0，x-y-x-y-x+y+Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) 11联合分布律 定义 设(X,Y)的可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,L，称 PX=xi,Y=yj=pij,i,j=1,2,L(pij=1) i=1j=1即 YXy1 y2 L yn L x1 x2 M p11 p21 M p12 p22 M L L O p1n p2n M L L M xm pm1 pm2 L pmn L M M

8、 M O M M 为(X,Y)的分布律或X与Y的联合分布律(X,Y)称为离散型二维r.v. 12边缘分布律 PX=xi=pijpi,i=1,2,L， j=1PY=yj=pijpj,j=1,2,L i=1Yy1 y2 L yn L pi Xx1 x2 M p11 p21 M p12 p22 M L L O p1n p2n M L L O p1 p2 M xm M pm1 M pm2 M L O pmn M L O pm M 1 pj p1 p2 L pn L 13联合概率密度 定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，若$f(x,y)0，s.t.x,yR，都有 F(x,y)=x-yf(u,

9、v)dvdu， 则称(X,Y)为二维连续型r.v.，f(x,y)称为X与Y的联合概率密度 性质+-+-f(x,y)dxdy=1； 2F(x,y)若f(x,y)在(x,y)处连续，则=f(x,y)； xyP(X,Y)D=f(x,y)dxdy D14边缘概率密度 fX(x)=+-f(x,y)dy,-x+， fY(y)=15r.v.的独立性 +-f(x,y)dx,-y0,DY0) DXDYDXDY性质rXY=1(rXY=-1)X与Y概率为1地正线性相关，即存在常数a0(0，恒有 limP|Xn-X|e=0， n或等价地 limP|Xn-X|0，有P|X-EX|e22切比雪夫大数定律 DXe2 设r.

10、v.Xk(k=1,2,L)相互独立，且有相同的数学期望和方差： EXk=m,DXk=s2,k=1,2,L 则e0，有 1nlimP|Xk-m|0，有 1nlimP|Xk-m|ca(n)=a，则称ca(n)为c2(n)分布的上a分位数 nx-1-1x2e2,x0;nn f(x)=22G2x0.0,22性质若c12c2(n1),c2独立，则 c2(n2)，且c12,c22c12+c2c2(n1+n2)； 若c2c2(n)，则E(c2)=n,D(c2)=2n； 12(n)(ua+2n-1)2 当n45时，ca2定义2 设XN(0,1),Yc2(n)，并且X,Y独立，则称r.v. T=X Y/n所服从

11、的分布是自由度为n的t分布，记为Tt(n) 若PTta(n)=a，则称ta(n)为t(n)分布的上a分位数 f(x)=G2n+1x1+nnnG22-n+12,-x+， 1-t2性质limf(t)=e,-tFa(n1,n2)=a，则称Fa(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上a分位数 性质 F1-a(n1,n2)=1 Fa(n2,n1)定理2 设X1,X2,L,Xn是来自正态总体N(m,s2)的样本，则 X-mN(0,1)； s/n(n-1)S2s2=1s2(Xi=1ni-X)2c2(n-1)； X与S2独立，且X-mt(n-1) S/n定理3 设X1,X2,L,Xn1和Y1,Y2,L,Yn2

12、分别是来自正态总体N(m1,s12)和2N(m2,s2)的样本，且这两个样本相互独立，记 1n11n11n21n2222X=Xi，Y=Yi，S1=(Xi-X)，S2=(Yi-Y)2. n1i=1n1-1i=1n2-1i=1n2i=1则 (X-Y)-(m1-m2)s21n1+s22N(0,1)； n2S12/s1222F(n1-1,n2-1)； S2/s229点估计 =q(X,X,L,X)来估计q，点估计 设q是总体X的未知参数，用统计量q12n称q为q的估计量求参数q的估计量q称为点估计 =q，则q是q的无偏估计量 无偏性 若Eq0，有limP|qn30求估计量的常用方法 矩估计 设总体X的分

13、布形式已知，q1,q2,L,qk为未知参数，且X的前k阶矩存在X1,X2,L,Xn是来自X的一个样本，求q1,q2,L,qk的矩估计量的步骤如下： 第一步，求总体X的前k阶矩 m1=EX=m1(q1,q2,L,qk);2m2=E(X)=m2(q1,q2,L,qk); LLLLLLLLLLLL;m=E(Xk)=m(q,q,L,q).k12kk第二步，解中的k个方程得未知参数q1,q2,L,qk q1=q1(m1,m2,L,mk);q=q(m,m,L,m);2212k LLLLLLLL;qk=qk(m1,m2,L,mk).1nm第三步，用样本矩Am=Xi代替相应的总体m阶矩mm(m=1,2,L,k

14、)，ni=1得到q1,q2,L,qk的矩估计量 =q(A,A,L,A);q1112k=q(A,A,L,A);q2212k LLLLLLLL;qk=qk(A1,A2,L,Ak).最大似然估计法 设总体X的分布形式已知，q1,q2,L,qk为未知参数，x1,x2,L,xn是样本X1,X2,L,Xn的观测值，求q1,q2,L,qk的最大似然估计量的步骤如下： 第一步，求似然函数L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qk)若总体X属离散型，其分布律为PX=x=p(x;q1,q2,L,qk)，则 L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qk)=Pp(xi;q1,q2,L,qk) i=1n若总体X属

15、连续型，其概率密度为f(x)=f(x;q1,q2,L,qk)，则 L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qk)=Pf(xi;q1,q2,L,qk) i=1n第二步，求似然函数L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qk)的最大值点若似然函数L是关于q1,q2,L,qk的可微函数，则解以下对数似然方程组 lnLq=0,1lnL=0, q2LLL,lnLq=0.k若lnL的驻点惟一，又能验证它是极大值点，则它必是lnL的最大值点，即为待估参数的最大似然估计值但若驻点不惟一，则需进一步判断哪一个为最大值点 若似然方程组无解或似然函数不可微，则必须根据最大似然估计值的定义直接求L的最大值点 第三步，用样本(X1,X2,L,Xn)代替第二步的结果中的(x1,x2,L,xn)，得到q1,q2,L,qk的最大似然估计量 31区间估计 正态总体的置信区间表 待估参数 条件 置信度 置信区间 m s已知 21-a (X-ua/2sn,X+ua/2sn) m s2未知 1-a (X-ta/2(n-1)SS,X+ta/2(n-1) nns 2m未知 1-a (n-1)S2(n-1)S2,22 c(n-1)c(n-1)1-a/2a/2