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1、概率论与数理统计东华大学出 答案第六章第六章 数理统计基本概念与抽样分布 第一节 数理统计基本概念习题 Page203 1、 设总体x分布为下述情形x:B(k,p)；x服从参数为l的指数分布；x:N(m,1)，x1,Lx4为取自总体n=4的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律。 ll解答：因x:B(k,p)，所以Px=l=Ckp(1-p)k-l,l=0,1,Lk，故样本空间为 X=(k1,L,k4)|k1,L,k4=0,1,L,k，Px1=k1,L,x4=k4=Px1=k1LPx4=k4 =Ckk1pk1(1-p)k-k1LCkk4pk4(1-p)k-k4，k1,L,k4=0,1,L
2、,k； 因x:p(l)，所以Px=k=lkk!e-l,k=0,1,L，故样本空间 X=(k1,L,k4)|k1Lk4=0,1,L，Px1=k1,L,x4=k4=Px1=k1LPx4=k4 =lk1k1!eL-llk4k4!e-l,k1,L,k4=0,1,L； 21(x-m)(-x)，故样本空间因x:N(m,1)，所以f(x)=exp(-)22pX=(k1,L,k4)|k1,L,k4R， (x1-m)21f(x1,L,x4)=exp(-)L22p(x4-m)21exp(-)(-x1,L,x4)。 22p2、 设样本观察值x1,x2,L,xn中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为x(1)
3、x(2)L0.3=2(1-Px-h0.3) _=2(1-F(0.3)=0.8065。 1.53、 设总体N(10,3)，问样本容量n取多大时，才能以0.95的概率保证样本平均值与总体期望之差的绝对值不超过0.3？ 解答：因样本均值x:N(10,3/n)，即0.95P|x-m|0.3=2Px-m0.3-1，即得：_F(0.30.3)0.975，因此1.96，因n为整数可得：n129。 3n3n24、 已知x1,L,x4是N(0,2)的一个样本，令h=a(x1-2x2)2+b(3x3-4x4)2，问a,b取什么值时，h服从c分布？并给出自由度。 解答：因x1,L,x4是N(0,2)的一个样本，所以
4、a(x1-2x2)与b(3x3-4x4)相互独立，且由例3.16可知它们分别服从N(0,20a)、N(0,100b)，要使h服从c分布，只要使a(x1-2x2)与b(3x3-4x4)均服从标准正态分布，即令a=0.05,b=0.01即可，此时，可知h:222c2(2)。 5、 设总体x:N(0,0.3)，从中抽取容量为10的样本，求满足P大的l。 2xi=1102il=0.05的最解答：因总体x:N(0,0.32)，所以x0.3:N(0,1)，即从中抽取的容量为10的样本，去我们有2，所以(x0.3):c(10)0.05=Pxl=P(x/0.3)222i=1i=1i=11010100.09l查
5、表可知l0.09=18.307，即l=1.64763。 2_6、 设x1,L,xn为取自c(m)总体的样本，求样本均值x的期望与方差。 解答：由定理6.1及其推论知：E(x)=m,D(x)=_s2n，因x1,L,xn为取自c2(m)总体的样_本，因此E(x)=m,D(x)=2m，即E(x)=m,D(x)=2n2m。 n2i1n27、 设x1,L,xn为取自N(0,s)总体的样本，令h1=x；h2=xi；ni=1i=11nnh4=xi。求常数ki，使zi=kihi服从c2分布。 h3=xi；ni=1i=1解答：x1,L,xn为取自N(0,s)总体的样本，所以互相独立，且222xi:N(0,1)i
6、=1,L,n，sxi=1ni:N(0,ns)，即12xi=1nins:N(0,1)。因此： k1=s2n，则z1=k1h1=xi2x=:c2(n)； 2si=1i=1s1n2in k2=s2，则z2=k2h2=1s2xi=1n2i=(i)2:c2(n)； i=1nxsxi11n22i=1 k3=，则z=kh=(x)=:c(1)； 333i22nsnsi=1nsn2nxi11n k4=2，则z4=k4h4=(x)2=i=1:c2(1)。 2isnsi=1ns2m8、 设x1,L,xn,Lxn+m是取自N(0,s2)的容量为n+m的样本，令h1=nxi=1n+mj=n+1ni，2jxh2=mxi2
7、nxj2j=n+1i=1n+mn，问h1,h2分别服从什么分布。 解答：因x1,L,xn,Lxn+m是取自N(0,s)的容量为n+m的样本，因此： 2xxin+mxxjj22i=1i=1与2相互独立，由此可得 :N(0,1)，:c(m)，且nsnsj=n+1sj=n+1sinnn+mmh1=nxi=1n+mj=n+1ni=2jxi=in+mj=n+1ninsx(xj2)msnxi2x2:t(m)；又因:c(n)，且(i)2 i=1si=1snxn+mxj1i=1s与2相互独立，因此h2=ni+=m=n+:F(n,m)。 mxj=n+1snxj2(j)2mj=n+1j=n+1smxn2i(i)2
8、nn9、 设x1,L,x11为N(11,0.3)的一个样本，问样本方差大于0.144的概率？ 解答：因x1,L,x11为N(11,0.3)的一个样本，而由定理6.4知：22(n-1)S2s2:c2(n-1)。 10S2100.144=Pc216=0.10。 所以，PS0.144=P220.30.3210、 _1n设x1,L,xn为来自N(m,s)总体的一个样本，令S=(xi-x)2，求n-1i=122E(S2),D(S2)。 解答：由定理6.4可知：h=(n-1)S2s2:c2(n-1)，而E(h)=n-1，D(h)=2(n-1)，2s22s4222E(h)=s，D(S)=因此，E(S)=。
9、D(h)=n-1n-1n-1s211、 设x1,L,xn为来自N(m,s)总体的一个样本，x与S是它的样本均值与样本方2_2差；又设xn+1与x1,L,xn相互独立。且服从N(m,s2)，试证： xn+1-xS2_n:t(n-1)。 n+1_解答：因x1,L,xn为N(m,s)总体的样本，所以x:N(m,_s2n)，(n-1)S2s2:c2(n-1)，又因xn+1与x1,L,xn相互独立，所以xn+1与x、(n-1)S2s2相互独立，因此我们有(n+1)s2x-xxn+1-x:N(0,)，即n+1nS_n=n+1xn+1-xs2_(n-1)S2(n+1)s2n:t(n-1)。 (n-1)12、
10、 e-x,x0设x:f(x)=，求x的a=0.05和0.10的上侧分位数。 0, x0解答：由上侧分位数的定义，即要求Pxx=a的x。今x:f(x)=，显然0, x0，a=Pxx=xf(t)dt=ex-tdt=e-x，即：x=ln13、 1a，因此x1=ln1a1=ln111=2.996，x1=ln=ln=2.996。 0.05a10.05查表求下列分布的上侧a分位数： m0.01，m0.95； 22c0.025(13)，c0.99(20)，c0.10(70)； 2t0.10(12)，t0.95(17)，t0.5(20)，t0.01(60)； 2F0.01(12,15)，F0.975(12,1
11、5)。 解答：因表中不一定恰好有我们所需要的数值，因此可通过线形内插法求出它的近似解。即：若有(x1,f(x1)、(x2,f(x2)，假定x1x2，现要求x1xca=P2c2-2n-12ca-2n-1=1-F(2ca-2n-1)今n=70,a=0.1，可得u0.1=1.28+20.11.29-1.28(0.1-0.1003)=1.28375，0.0885-0.1003(1.28735+139)2即c(70)=85.4592。 2 t0.10(12)=1.3562,t0.95(17)=-t0.05(17)=-1.7396，t0.05(20)=2.086，因表中2没有自由度为60的值，因此可利用：
12、当n充分大时，T分布的渐进分布为标准正态分布，可得：t0.01(60)u0.01=2.32667。 F0.01(12,15)=3.67，因表中没有a=0.975的值，利用1:F(15,12)，F(12,15)可得：F0.975(12,15)=11=0.3145。 F0.025(15,12)3.18复习题 1、 总体抽取n=60的样本，它的频数分布为 xi ni _1 8 23 40 6 10 26 2 求样本均值x，样本方差S和标准差S。 1n1k1解答：x=xi=nixi=(81+403+106+226)=4， ni=1ni=160_1k12S=nixi-n(x)2=(812+4032+10
13、62+2262-6042)=18.983，n-1i=1592S=S2=4.357。 2、 设总体x:p(l)，x1,L,xn为其样本，x与S是它的样本均值和样本方差，求E(x)和_2_E(S2)。 解答：由定理6.1及其推论、定理6.2可知：E(x)=m=l,E(S)=s=l。 3、 下面是100个学生的身高 身高 学生数 154158 158162 162166 166170 170174 174178 178182 10 14 26 _2228 212 8 2 同组内学生以组中值表示其身高，试求x与S。 解答：因同组内学生以组中值表示其身高，因此可得个各身高的频数为： 身高 学生数 156
14、 10 160 14 164 26 168 28 172 12 176 8 180 2 令：y=x-168，则可得： yi ni niyi -12 10 -120 1440 _-8 14 -112 896 -4 26 -104 416 0 28 0 0 4 12 48 192 8 8 64 512 12 2 24 288 niyi2 1k1得：x=168+y=168+niyi=168+(-200)=166， ni=1100 _4、 设x1,L,xn为N(m,4)的一个样本，x是样本均值，试问样本容量n取多大才能使下式成立： E|x-m|0.1； P|x-m|0.10.95。 解答：因x1,L,
15、xn为N(m,4)的一个样本，因此x:N(m,)，即h=_4nx-m4n+_:N(0,1)，得 1x2E(|x-m|)=4nE(h)=4n|x|exp(-)dx=22p-_+42npx2x2exp(-)d 220=80040.1，因此n。 p2np_n|x-m|0.10.10.95P|x-m|0.1=P=2F-1，即F0.975， 204n4n4n也即：n 1.96，由此n(1.9620)2=1536.64。因n为正整数，所以n1537。205、 设x1,x2,L,x6为N(0,1)的样本，令h=(x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2，求参数c，使ch满足c2分布，并给出自由度。 解答
16、：因x1,x2,L,x6为N(0,1)的样本，因此x1+x2+x3与x4+x5+x6相互独立，且均服从N(0,3)，也就是说：x1+x2+x33:N(0,1)，x4+x5+x63:N(0,1)。要使ch=c(x1+x2+x3)2+(x4+x5+x6)2)服从c2分布，由c2的定义可知：c=3，且此时，ch:c2(2)。 26、 设x1,L,xn为N(m,s)的样本，利用给出h1=n(i=1nxi-m2 )；sh2=(xi-m)2的密度函数。 i=1解答：因x1,L,xn为N(m,s2)的样本，所以xi-m:N(0,1)i=1,L,n，且相互独立，因sx-1-n22xe,x0n此h1:c2(n)
17、，即h1得密度函数为：fh1(x)=22G(n)。因h2=s2h1，所20, x0,x0n1y2snn以fh2(y)=2fh1(2)=s。 =s2n22Gn22Gss220, x00, x027、 设x:t(n)，求证h=x2:F(1,n)。 解答：因x:t(n)，所以x可看成有两个相互独立的随机变量w:N(0,1),z:c2(n)通过w21w222:F(1,n)。 构造而来，而w:c(1)，因此h=x=x=znzn8、 设x1,L,xm为N(m1,s2)的样本，h1,L,hn为N(m2,s2)的一个样本，且两样本独立，2(m-1)S12+(n-1)S2x与h分布为样本均值，S,S分别为样本方
18、差，S=，a,b为m+n-2_21222w常数： a2b22 求证：ax+bh:N(am1+bm2,(+)s)； mn_ 求证：ax+bh-(am1+bm2)2Sw_ab+mn222:t(m+n-2)。 解答：由题意可知，x:N(m1,s_m)、h:N(m2,s2n)，且这两个随机变量相互独立。_a2b22因此，由例3.16可知。ax+bh:N(am1+bm2,(+)s)，因此mnax+bh-(am1+bm2)a2b22(+)smn_:N(0,1)。由定理6.4可知：(m-1)S12s2:c2(m-1)、，且这两个随机变量相互独立，由c2的性质3可知：2(n-1)S22(m+n-2)Sw(m-1)S12s2_+_s2:c(m+n-2)，即2s2:c2(m+n-2)，因此：ax+bh-(am1+bm2)a2b22_(+)sax+bh-(am1+bm2)mn=:t(m+n-2)。 222(m+n-2)SwabS+(m+n-2)wmns2
