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1、概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 2样本空间、随机事件 1事件间的关系 AB 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 AB =xxA或xB称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件 时，事件AB发生 AB =xxA且xB称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生AB发生 AB =xxA且xB称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件 AB发生 AB=f，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 互为对立事件 2运算规则 交换律 AB =S且AB
2、=f，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件BAB=BA AB=BA =A(BC) (AB)C=A(BC) 结合律(AB)C分配律 A=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) AB=A B AB=AB 徳摩根律3频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率 概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P，称为事件的概率 1概率P(A)满足下列条件： 非负性：对于每一个事件A 规范性：对于必然事件S 0P(A)1 P(S)=1 可列可加性：设A1,A2,L
3、,An是两两互不相容的事件，有P(UA)=P(A) kkk=1k=1nn 1 2概率的一些重要性质： P(f)=0 nn若A1,A2,L,An是两两互不相容的事件，则有P(UAk)=P(Ak) k=1k=1设A，B是两个事件若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)，P(B)P(A) 1 对于任意事件A，P(A)P(A)=1-P(A) 对于任意事件A，B有P(AB)4等可能概型 =P(A)+P(B)-P(AB) 等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即A=ei1Uei2ULUeik，里i1，i2,L，ik是1,2，Ln中某k个不同
4、的数，则有P(A)=Peij=j=1k()kA包含的基本事件数= nS中基本事件的总数5条件概率 定义：设A,B是两个事件，且P(A)件B发生的条件概率 条件概率符合概率定义中的三个条件 1非负性：对于某一事件B，有P(B|。0，称P(B|A)=P(AB)为事件A发生的条件下事P(A)A)0 2规范性：对于必然事件S，P(S。|A)=1 3可列可加性：设B1,B2,L是两两互不相容的事件，则有P(UBi=1iA)=P(BiA) i=1 乘法定理 设P(A) 全概率公式： 0，则有P(AB)=P(B)P(A|B)称为乘法公式 P(A)=P(Bi)P(A|Bi) i=1n 2 贝叶斯公式： P(B
5、k|A)=P(Bk)P(A|Bk)P(B)P(A|B)iii=1n6独立性 定义 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)定理一 设A，B是两事件，且P(A)=P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立 0，若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B) 定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B，A与B，A与B 第二章 随机变量及其分布 1随机变量 定义 设随机试验的样本空间为S=e. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量 2离散性随机变量及其分布律 1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离
6、散型随机变量 P(X=xk)=pk满足如下两个条件pk0，Pkk=1=1 2 三种重要的离散型随机变量 分布 设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是k1-kP(X=k)=p，k=0,1伯努利实验、二项分布 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A)=pPkP(X=k)=Ln满足条件pk0，kpq，k=0,1,2，k=1=1注意到nkn-knk是二项式的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二pqk项分布。 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为 3 P(X=k)=lke-lk!,k=0,1,2L,其中l0是常数，则称
7、X服从参数为l的泊松分布记为 Xp3随机变量的分布函数 定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)称为X的分布函数 分布函数=PXx,-x F(x)=P(Xx)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 0F(x)1，且F(-)=0,F()=1 F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的 4连续性随机变量及其概率密度 连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F，存在非负可积函数有F(x)=fdt,-xf(x)，使对于任意函数x则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度 1 概率密度f(x)具有以下性质，满足f(x)0, (2) x2x1+-f(
8、x)dx=1； P(x1，若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x) Xx2)=f(x)dx；2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布 若连续性随机变量X具有概率密度1，ax0，其他 其中q则称X服从参数0为常数，为q的指数分布。 正态分布 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)=12pse-2(x-m）2s2，-x，的正态分布或高斯分布，记为其中m，s 4 特别，当m=0，s=1时称随机变量X服从标准正态分布 5随机变量的函数的分布 定理 设随机变量X具有概率密度fx(x)，-x0，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为第三章 多维随机变量 1二维随机变量 fXh(y)h,(y
9、),ay0, 则称PX=xiY=yj=PX=xi,Y=yjPY=yj=pijpj,i=1,2,L为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律，同样PY=yjX=Xi=PX=xi,Y=yjPX=xi=pijpi,j=1,2,L为在X=xi条件下随机变量X的条件分布律。 设二维离散型随机变量的概率密度为f(x,y)，关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)0，则称f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fY(y)fXY(xy)=f(x,y)fY(y)4相互独立的随机变量 定义 设F及FX布函数.若对于所有x,y有PX(x)，FY(y)分别是二维离散型随机变量的分布函数及
10、边缘分=x,Y=y=PXxPYy，即Fx,y=FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于二维正态随机变量，X和Y相互独立的充要条件是参数r5两个随机变量的函数的分布 1，Z=X+Y的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度=0 f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其-概率密度为fX+Y(z)=f(z-y,y）dy或fX+Y(z)=f(x,z-x）dx -又若X和Y相互独立，设关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则fX+Y(z)=fX(z-y）ffY(z-x)dx这两个公式称为Yy)dy 和fX+Y(z)=-fX,fY的卷积公式 有限个相互独
11、立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，Z=Y的分布、Z=XY的分布 Xf(x,y)，则Z=设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度Y，Z=XY X 6 仍为连续性随机变量其概率密度分别为fYX(z)=xf(x,xz)dxfXY(z)=-1zf(x,)dx又xx若X和Y相互独立，设关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则可化为fYX(z)=fX(x)fY(xz)dx fXY(z)=-1zfX(x)fYdx xx3M=maxX，Y及N=minX,Y的分布 (x),FY(y)由于M=maxX，Y设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX不大于z等价于X和Y
12、都不大于z故有PMz=PXz,Yz又由于X和Y相互独立，得到M=maxX，Y的分布函数为Fmax(z)=FX(z)FY(z) N=minX,Y的分布函数为Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z) 第四章 随机变量的数字特征 1数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k=1,2，若级数xkpkk=1绝对收敛，则称级数xk=1kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=xkpki 设连续型随机变量X的概率密度为若积分xf(x)dx绝对收敛，则称积分xf(x)dxf(x)，-的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)=xf(x)dx -+定理
13、设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数) 如果X是离散型随机变量，它的分布律为PXpk绝对收敛=xk=pk，k=1,2，若g(xk）k=1则有E(Y)pk =E(g(X)=g(xk）k=1如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)，若g(x)f(x)dx绝对收敛则有-E(Y)=E(g(X)=-g(x)f(x)dx 数学期望的几个重要性质 1设C是常数，则有E(C) =C 7 2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)3设X,Y是两个随机变量，则有E(X=CE(X) +Y)=E(X)+E(Y)； =E(X)E(Y) 4设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)2方差 定义 设X
14、是一个随机变量，若ED即D=EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(x)，记为s(x)，称为标准差或均方差。 X-E(X)2，在应用上还引入量D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)-(EX)2 方差的几个重要性质 1设C是常数，则有D(C)=0, 2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)3设X,Y是两个随机变量，则有D(X若X,Y相互独立，则有D(X4D(X)=C2D(X)，D(X+C)=D(X) +Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别，+Y)=D(X)+D(Y) =0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即PX=E(X)=1 切比雪夫不等式
15、：设随机变量X具有数学期望E(X)=s2，则对于任意正数e，不等式s2PX-me2e3协方差及相关系数 定义 量成立 EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E(X-E(X)Y(-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 而rXY=Cov(X，Y）D(X)D(Y)称为随机变量X和Y的相关系数 对于任意两个随机变量X 和Y，D(X协方差具有下述性质 1Cov(X,Y)2Cov(X1 +Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y) _-=Cov(Y,X), Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) +X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y
16、) 8 定理 1 2 当rXY1 rXY=1的充要条件是，存在常数a,b使PY=a+bx=1 rXY=0时，称X和Y不相关 附：几种常用的概率分布表 分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 两点分布 0p1 n1PX=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1， kP(X=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,Ln， p np p(1-p) 二项式分布 0p0 P(X=k)=lke-lk!,k=0,1,2,L l 1pl 1-pp2几何分布 0p1 P(X=k)=(1-p)k-1p, k=1,2,L 1,axb， f(x)=b-a0，其他均匀分布 a0 1-xqef(x)=q0,x0,
17、其他- (x-m)22s2q q2 正态分布 m s0 f(x)=12psem s2 第五章 大数定律与中心极限定理 1 大数定律 弱大数定理 设X1，X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并具有数学期望E(Xk)=m(k=1,2,L).作前n个变量的算术平均1nXknk=1，则对于任意e0，有1nlimPXk-me=1 nnk=1定义 设Y1,Y2,LYnL是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数e，有 9 pa limPYn-ae=1，则称序列Y1,Y2,LYnL依概率收敛于a，记为Ynn伯努利大数定理 设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，Pfnf-p0,k=1,2L记Bn=ek2k=12定理三设随机变量hn(n=1,2,L)服从参数为n,p(0p1）的二项分x布，则对任意x，有lim nPhn-npnp(1-p)x=12p-e-t2dt=F(x) 2 10
