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1、欧拉积分,余元公式欧拉积分的运用及余元公式的证明 王国俊 01211071 徐州师范大学 数学系 徐州 221116 摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词 欧拉积分；Gamma函数；Beta函数；余元公式 现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识： 在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下： G(a)=0+xa-1e-xdx1p-1(a0)q-1
2、B(p,q)=0x(1-x)dx(p0,q0)两者分别称为Gamma函数和Beta函数,简称为G函数和B函数. 欧拉积分的几个基本变形： (1)G函数 令x=y2, 就有 G(a)=0令x=py, 则有 +xa-1-xedx=20+y2a-1-y2edy(a0) G(a)=0特别地当a=+xa-1e-xdx=pa0+ya-1e-pydy(a0,p0) 11时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有G=p并且 22有G(a+1)=aG(a) (2)B函数 令x=cos2j就有 B(p,q)=202sin2q-1jcos2p-1jdj p令x=y，则有 1+yB(p,q)=0+yp-1dy
3、 p+q(1+y)欧拉积分间的联系： B(p,q)=G(p)G(q) (p0,q0) G(p+q)以上介绍了欧拉积分的定义及相关变形，那么如何利用欧拉积分解决数学中某些积分运算呢? 一 欧拉积分在求解积分中的运用 1 通过式子的变形将积分变成欧拉积分的形式，再利用欧拉积分的相关性质，计算出该积分的值. 例1 求积分01x-x2dx 1233GG33122=p 解 原式=0x(1-x)dx=B(,)=22G(3)812例2 求积分01x21-x4dx 1解 原式=01-142442 (x)(1-x)dx34x3111-14-44244=0(x)(x)(1-x)2dx 41=131B(,) 442
4、 2.利用换元法将未知积分化为欧拉积分，然后再进行计算. 例3 求积分0解 令+xdx (1+x)24xt=t则有 x= 从而有 1+x1-tdx=1dt带入原式有 2(1-t)411-x531440dx=t(1-t)dt=B(,)0244(1+x)53 GG1131pp=44=GG=p22G(2)4444sin4+例4 求02sinxcosxdx ppq1p2解 原式=02(sinx)(1-sinx)dx=02(sinx)2p222令u=sinx得, 0u0) 12n+1G 221+ 则上式=0t2=2n-12e-tdt=(2n-1)!p n2p例6 求0dx3-cosxp解 原式=0dx1
5、-cosx2+22=120pdx1+sin2x2 令u=sin2x得 2上式=120(1+u)(1-u)du=1-12-12120(1-u)udu 12-12-12令u=t得 2上式=12210(1-t)tdt=1-13-241220t13-14(1-t)1-12dt =11B(,) 2242注 在利用欧拉积分进行积分计算时一定要注意欧拉积分的上下限及等价变形. 二 余元公式的相关证明 在几乎所有的数学分析教材中都对余元公式进行了介绍，但没有给出相应的证明，笔者查了很多资料，同时也有了自己对其证明的一种新的证明想法. 下面先介绍一种我所查到的余元公式的一种简单证明. 我们知道余元公式的表达式是
6、B(a,1-a)=psin(ap)1对0a1,G(a)G(1-a)=B(a,1-a)=0t-a(1-t)a-1dt 令t=1，则 1+x0t(1-t)1-aa-1dt=-0a-11-axa-11x dx=01+x1+x1+x(1+x)2a-1xa-1x=0dx+1dx 1+x1+x1当0x1时，由幂级数理论可得 xa-1=(-1)xa+k-1 1+xk=0k此级数在e,t其中0et0,y0 从此出发有两条路径： 一种是利用格林公式的逆运用把此二重积分化为第一型曲线积分，再进行计算，最后令l0,R即可，其理由是因为有人已经使用留数定理证明过了，而复变函数的留数定理与数学分析中的第一型曲线积分相通
7、.所以该方法有很大可行性.但是这个过程需要偏微分方程的知识，以我现在的知识储备解决不了. 另一种方法是换元，我进行的过程如下： 令x=rcosq,y=rsinq，则有 则积分变为 xD1p-1-xeyedxdy =02(R-p-ypRl(rcosq)p-1e-rcosq(rsinq)-pe-rsinqrdr)dq =02(pl(cosq)p-1e-rcosq(sinq)-pe-rsinqdr)dq (cosq)p-1(sinq)-pe-R(sinq+cosq)=02p1-(sinq+cosq)-e-l(sinq+cosq)dq 令R有e,l0得 -R(sinq+cosq)-e-l(sinq+c
8、osq)-1 R(sinq+cosq)从而02=02pp1(cosq)p-1(sinq)-pe-(sinq+cosq)-e-l(sinq+cosq)drdq 1(cosq)p-1(sinq)-pdq sinq+cosq令t=sinq,有q=arcsint上式=01(0qp22) 11+1-t12(1-t2)p-1t-p11-tdt =011+1-t21(1-t2)p-2t-pdt 22p-2-p-2dt =0(1-1-t)(1-t)t2p-2-p-2dt-0(1-t2)p-1t-p-2dt =0(1-t)t11令t=sinw,则w=arcsint 上式=02(cosw)=02(cosw)=B(
9、pp-1pp-2(sinw)-p-2-p-2coswdw-02(cosw)p-1(sinw)-p-2coswdw pp(sinw)dw-02(cosw)p(sinw)-p-2dw 12-p-1p-p-1p+1,)-B(,) 2222即有B(p,1-p)=1-p-1p-p-1p+1B(,)-B(,) 22222证明进行到此，发现用换元这条路行不通了，但意外得到了欧拉积分关于余元公式的一种新的变形，在查了很多资料后没发现这个变形公式，想必在知识储备越来越多的情况下第一种方法还是可行的 欧拉积分和一些应用 Gamma函数: Gamma函数定义为. 有递推公式,特别地Beta函数: Beta函数定义为. 两个函数之间有关系.利用这个可以计算很多积分. 例如旧贴里面有一题(卧龙先生): 解: 作变量代换而 其中. ,原积分化为 . 又如计算解:作变量代换原积分化为. 容易计算得当时, . ,则 时,.
