正弦定理余弦定理.docx

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1、正弦定理余弦定理正弦定理、余弦定理 目标认知 学习目标： 1. 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形； 2.熟记正弦、余弦定理及其变形形式； 3. 通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。 重点： 正、余弦定理的推导及应用。 难点： 正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。 知识要点梳理 知识点一：初中的三角知识 1. 三角形中 一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、； ； 大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即； 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，. 2. 直角三角形中， ， ， ， ， ， ； 知识点二

2、：正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导： 即 ， ， ， ， ， ， 斜三角形中的正弦定理的推导： 证明：法一 如图，圆O是 ，则， 同理： 故， 另：当角A为钝角时， . 中： ， ， 即得：， 法二：在任意斜 中，如图，则 同理： 故 两边同除以 方法三： 由三角函数关系：如图， a,即即中作边上的高线 . 交于，则， 法四： 当为锐角三角形时， 过作单位向量垂直于，则(+)= ， 两边同乘以单位向量，得 即 同理：若过 ， 作垂直于， ， ， 得： ， 当为钝角三角形时， 设，过作单位向量垂直于向量 ， 同样可证得： 说明： 正弦

3、定理适合于任何三角形； 可以证明； 每个等式可视为一个方程：知三求一。 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。 知识点三：余弦定理 1. 余弦定理的推导 已知：中，及角，求角的对应边. 方法一： 锐角中， ， 即： (*) 同理可得：, 注意： 推导中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此角应为，而不是. 钝角三角形情况与锐角三角形相同。 与的夹 对于直角三角形中 方法二： 锐角中，做时，,则，恰好满足勾股定理。 边上的高， 根据勾股定理有： 中， = 即： 钝角中，做， ， . 边上的

4、高， 根据勾股定理有： 中， 即： 直角中， . 仍然成立。 时，,则，恰好满足勾股定理。 方法三： 这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。 如图所示建立坐标系. 则点 由 即、，两点间的距离可知， 整理得到. 2. 余弦定理： 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即： 由上式变形可得： 3. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； 已知三角形的三条边，求其三个角。 知识点四：解三角形 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 规律方

5、法指导 1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知两角和任一边，求其他两边和一角； 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 2.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 已知三边，求三个角； 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3.解斜三角形的基本三角问题： 已知条件 一边和两角 1利用A+B+C=180，求A a,b,C） 3利用A+B+C=180，求第三个角. 三边 3、利用A+B+C=180，求第三个角 此类问题首先要讨论解的情况 1应用正弦定理，求另一边的对角 2、利用A+B+C=180，求第三个角 3、应用正弦或余弦定理求第三边 解法 解的情况

6、唯一解 唯一解 唯一解 两边及其中 一边的对角 进行讨论从而舍掉不合理的解。 4.判断三角形形状 判断三角形形状的常用方法：(1)统一成边；(2)统一成角；(3)边角一起化. 经典例题透析 类型一：正弦定理的应用： 1已知在中，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上，可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 解析： 又 ， ， ， ， 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 在中，已知，解三角形。

7、根据三角形内角和定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理， 在 根据正弦定理 在中，已知，中，已知，； ，求、， . ，求 . ； 根据正弦定理 2在，得，求：和， . 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上，可以确定先用正弦定理求出角内角和求出角，最后用正弦定理求出边. 解析：由正弦定理得： 当 当 ，即， 时，时， 为锐角， ， ， ， 或， ，； ，然后用三角形 总结升华： 1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。 2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角 再求出角. 3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三： 在 当 当

8、所以， 在 当 当 在中, ， ， 时，时，中，, ，或, ； 。 , 求. . ，即 中， ， 时，时，或, 求和； 或； ； ，求和 ， 的范围， 由正弦定理，得 3已知, 中，类型二：余弦定理的应用： 、，求中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：三边中 根据余弦定理： 最大，其所对角最大， ， ， 故中的最大角是. 总结升华： 1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三： 已知中, , , 求角. ， ， 中，角，的各角的大小 ，所对的三边长分别为，若， 根

9、据余弦定理： 在 求 设 根据余弦定理得： 同理可得 在 4在， ； 中，若， ， 中，已知，求角. ； ， 类型三：正、余弦定理的综合应用 ，求及. 思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角. 解析：由余弦定理得： = = = 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ， 又 ，即， 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三： 在中，已知, , .求和. ， ， 为锐角， . 中，已知角所对的三边长分别为，求角和 ， . 由余弦定理得： 由正弦定理得： 因为 在 若， 根据余弦定理可得： ， ； 为钝角，则 由正弦定理得：.