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1、正方形经典题型正方形的性质及判定 知识归纳 1正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系： 3正方形的判定 判定：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定：有一个角是直角的菱形是正方形 4重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用 平行四边形正矩形方菱形形例题讲
2、解 一、正方形的性质 例1：如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AEAF，AF=20，则BE的长为 ADFEBC变式1：如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，GEF=90，则GF的长为 1 变式2：将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，.，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 A2A1A3A4A5例2：如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE AEDBC变式1：如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.
3、求证：AP=EF. ADPFCBE例3：如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且DABP为等边三角形，那么DCP= DPCAB变式1：如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若EAF=50， 则CME+CNF= ANEMBDFC 2 变式2：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正方形ABE，CE与BD相交于点F，则AFD= DAEFCB例4：如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE,DG，求证：BE=DG. EADFBCG变式1：如图，在正方形ABCD中，CE=CF，E为CD边上的一点，F为BC延
4、长线上的一点，FDC=30，求BEF的度数. ADEBCF变式2：已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F 求证：DBCGDDCE； 将DCE绕点D顺时针旋转90得到DDAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由 A D E G B F E C 例5：若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射3 线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 变式1：如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG、FH，交点为O 如
5、图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； 将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个 四边形若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为_cm2 DGCFHA图1OEBHA图2EB图3DGCF变式2：如图，正方形ABCD对角线相交于点O，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQDP，求证：OP=OQ；OPOQ. ADQOBPC例6：如图，正方形ABCD中，E，且EF=AE+FC，F是AB，BC边上两点，DGEF于G，求证：DG=DA AEGBFCD变式1：如图，点M，N分别在正方
6、形ABCD的边BC，CD上，已知DMCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN的度数 4 DNCMAB变式2：如图，设EF正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AG=AD，EG与DF交于H，求证：AH=正方形的边长 GADEHBFC例7：把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想 DGCHFBEA变式1：如图所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作E求证2EP+AD=2CD. Pl于点P，lA
7、PBFMECD 5 二、正方形的判定 例1：四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH，求证： 四边形EFGH对角互补； 若四边形ABCD为平行四边形，则四边形EFGH为矩形 四边形ABCD为长方形，则四边形EFGH为正方形 ABGHFDEC变式1：如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且DACE是等边三角形 求证：四边形ABCD是菱形； 若AED=2EAD，求证：四边形ABCD是正方形 EAOBDC变式2：已知：如图，在DABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是DABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E 求证：四
8、边形ADCE为矩形； 当DABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明 MAENBDC例2：如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，6 2若SEFGH=，则b-a= 3AEDFHCBG例3：如图，若在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形 ENRSADCQBPMF 7 附加题： 1. 如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则DCDE的面积为 ECDFBAG2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AM=AD ADEMBFC3. 如图，正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OEOF，分别交F，若AE=4，AB，CD于E，CF=3，则EF= AOEBFCD4. 如图所示，ABCD是正方形，E为BF上的一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，则EAB=_. FDCEAB 8
