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1、求函数解析式及值域的基本方法求函数解析式的基本方法 求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知f(x+1)=x+2x，求f(x)。 解：因为 f(x+1)=x+2x=(x)+12-1,x+11,所以f(x)=x2-1(x1)二、换元法 已知fg(x)求f(x),把g(x)看成一个整体t，进行换元，从而求出f(x)的方法。 例2. 同例1。 2解：令x+1=t,则t1,x=t-1,x=(t-1)， 22所以f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1(t1)， 2所以f(x)=
2、x-1(x1)。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。 三、方程组法 根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=x+1，求f(x)的解析式。 解：Qf(-x)+2f(x)=x+1， f(x)+2f(-x)=-x+1 2-得3f(x)=3x+1， 所以f(x)=x+13。 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。 例4. 已知函数f(x)的定义域为R，并对一切实数x，y都有2f(x-y)=f(x)+3f(
3、y)+x(x+2y+1)，求f(x)的解析式。 2y=0得2f(x)=f(x)+3f(0)+x+x， 解：令令x=y=0得2f(0)=f(0)+3f(0)， 所以f(0)=0， 2所以f(x)=x+x(xR) 五、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例5. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为，方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式。 解：因为f(x)+2x0的解集为， 设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0， 所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2
4、x =ax2-(2+4a)x+3a 由方程f(x)+6a=0 2得ax-(2+4a)x+9a=0 因为方程有两个相等的实根， 2所以D=-(2+4a)-4a9a=0， 2即5a-4a-1=0, 解得a=1或a=-15 15， 又a0,所以a=-将a=-15得 163f(x)=-x2-x-555。 六、函数性质法 利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 x例6. 已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x0时,f(x)=3-1,求f(x)的解析式。 解析：因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x)， 当x0， f(x)=-f(-x)=-
5、(3-x-1)=-3-x+1 x3-1,x0f(x)=-x-3+1,x0 所以函数值域的八大求法 方法一：观察法 2y=4-x 例1. 求函数的值域。 222解析：由x0及4-x0,知4-x0,2。 故此函数值域为0,2。 评注：此方法适用于解答选择题和填空题。 方法三：反函数法 例3. 求函数y=x-1(x-4)x+2的值域。 x-1x=2y+1y=1-y。 x+2得解析：由2y+15-4y或y1y-15。 3(-,-(1,+)5故此函数值域为。 评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。 方法八：配方法 例8. 求函数y=x-2x+3的值域。 2解析：因为y=(x-1)+22，故此函数值域为2,+)。 评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。
