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1、第三章 谓词逻辑（第一部分）(Chapter 3 Predicate Logic)(Part A),徐从富浙江大学人工智能研究所2002年第一稿2004年9月修改,一阶谓词演算是一种形式语言，其根本目的在于把数学中的逻辑论证符号化，之所以有用是其给出了一种数学演绎方法：旧知识 数学演绎 新知识参考书：1俞瑞钊.数理逻辑.浙江大学出版社.2Chang,C.L.,Lee,R.C.T.Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving.Academic Press,1973.,最重要的三类谓词演算的相互关系：命题演算 一阶谓词演算 二阶谓词演算【注】：本课程对
2、二阶谓词演算不予讨论。,3.1 谓词演算3.1.1 命题逻辑及其局限性命题：不带参数的谓词谓词：带参数的命题我们可以很容易地把客观世界的各种事实表示为逻辑命题，用命题逻辑把各种命题写成合适公式（WFF），也称“谓词公式”。例如：晴天:表示为 SUNNY雨天：表示为 RAINING雾天：表示为 FOGGY,带有参数的命题叫谓词，比起命题来，谓词有更强的表达能力。谓词逻辑可以表达那些无法用命题逻辑表达的事实。因为：（1）命题没有概括能力。为了表达：“XX是一个城市”，则有多少个城市就要用多少个命题来表示：P1:代表“杭州是一个城市”P2:代表“上海是一个城市”P3:代表“北京是一个城市”,事实上，
3、上述命题只要用一个谓词CITY(X)即可表示，其中X可以是杭州、上海、北京，上述三个命题变为：P1:CITY(杭州)P2:CITY(上海)P3:CITY(北京)（2）谓词可以代表变化着的情况，而命 题只能代表某种固定的情况。对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如：P：杭州是一个城市 P之值恒真Q：鸵鸟会飞 Q之值恒假,但是，谓词值的真假却可因参数而异。例如：P1：CITY(杭州)P1之值为真P2：CITY(鸵鸟)P2之值为假（3）可以利用谓词在不同的知识之间建立联系。例如：HUMAN(X)X是人LAWED(X)X受法律管制COMMIT(X)X犯法PUNISHED(X)X受法律制裁,前两个知识
4、单元可联成一个高一级的知识单元：第一判断：HUMAN(X)LAWED(X)表示：人人都要受法律的管制。直译：由于X是人，则X这个人就要受法律管制。后两个知识单元也可联成一个高一级的知识单元：第二判断：COMMIT(X)PUNISHED(X)表示：只要X犯了罪，X就要受到惩罚。这里X不一定是人，可以是人，也可以是某种动物。,进一步，还可把这两个高级知识单元联成更高级的知识单元：HUMAN(X)LAWED(X)COMMIT(X)PUNISHED(X)错误的理解：“因为人人都受法律的管制，所以任何人犯了罪一定要受到惩罚。”正确的意思：“如果【由于某个X是人而受到法律管制】，则这个人犯了罪就一定要受到
5、惩罚。”,事实上，由第一判断推不出第二判断。例如：(1)晁盖劫了生辰纲，违犯了宋王朝的法律，受到官府的追究。(2)高俅强抢民女，同样违犯了宋王朝的法律，却可以横行无忌。从第二判断看，可以解释得通：(1)晁盖是人而受到法律管制。对晁盖来说，第二判断的前提成立，因此要治罪。(2)高俅同样是人而不受法律管制。而对高俅来说，第二判断的前提不成立，故可逍遥法外。,更有甚者，第二判断还包括这样的意思：“如果X不是人，则X犯了罪就一定要受到惩罚。”例如：兔子犯罪要受到惩罚。这是因为，如HUMAN(X)为假，则不论LAWED(X)如何，第二判断的前提自然为真，其结论又必然为真。需特别注意的是：谓词公式对于同名
6、参数置换的一致性要求使得不同论断之间可以建立起内在联系。但是这样做的时候必须特别小心，否则很容易把意思搞错。,3.1.2 句法和语义 谓词逻辑的基本组成部分：谓词符号、变量符号、函数符号、常量符号，并用（）、和，隔开，以表示论域内的关系。例如：INROOM(ROBOT,R1)谓词符号 常量符号表示：机器人ROBOT在1号房间（ROOM1）内。,(1)原子公式：由若干谓词符号和项组成。(2)常量符号（项）：表示论域内的物体或实体，可以是物、人、概念或事情。(3)变量符号（项）：允许不必明确涉及是哪一个实体，如INROOM(X,Y),X,Y即为变量。(4)函数符号：表示论域内的函数。例如函数符号M
7、OTHER可表示某人与他或她母亲的映射。原子公式举例：“李的父亲与他的母亲结婚”MARRIEDfather(LI),mother(LI),说明：(1)一般可用大写字母串表示谓词符号，如INROOM,MARRIED。(2)“大写字母数字短串”即可表示谓词符号，也可作为常量符号。如，P1,Q2,(3)常量符号与谓词符合的区别要通过上下文来区分。(4)小写字母表示函数符号，如father,mother(5)原子公式的真、假。对已定义了某个解释的一个原子公式，只有当其对应的语句在定义域内为真时，才具有真值；反之，也成立。,3.1.3 连词和量词 原子公式是谓词演算的基本“积木块”，应用连词（与）、（或
8、）、蕴涵（隐含）或(1)连词 表示“合取”，组成复合句子。例如：“我喜爱音乐和绘画”LIKE(I,MUSIC)LIKE(I,PAINTING)“李住在一幢黄色的房子里”LIVES(LI,HOUSE-1)COLOR(HOUSE-1,YELLOW),(2)连词 表示“析取”，表示可兼有的“或”。例如：“李明打篮球或踢足球”PLAYS(LIMING,BASKETBALL)PLAYS(LIMING,FOOTBALL)(3)真值的确定 每个合取项都为真（T），则合取值为真。若析取项中至少又一个取真，则析取值为真（T），否则为假(F)。,(4)连词 表示“如果那么”。例如：“如果兔子跑得最快，那么它取得冠
9、军”RUNS(RABBIT,FASTEST)WINS(RABBIT,CHAMPION)蕴涵：用“”连接两个公式所构成的公式，其中，蕴涵的左式称为“前项”，右式成为“后项”。蕴涵真值的确定：a)若前项取值为假（F），不管其后项的真值如何(T or F)，则蕴涵取值为真(T)。b)若后项取值为真（T），不管其前项的值为如何(T or F)，则蕴涵取值为真(T)。c)只有在前项为真，后项为假时，蕴涵为假。,(5)“”（非）或“”用来否定一个公式的真值。INROOM(ROBOT,R2)(6)命题演算是谓词演算的子集，不使用变量项，它缺乏用有效的方法来表达多个命题的能力。如：“所有的乌鸦都是黑的”(7)
10、全称量词 x：表示“所有的x或任一个x”存在量词 x：表示“存在一个x，至少有一个x”(x)ROBOT(x)COLOR(x,GRAY)(x)INROOM(x,R1),3.2 谓词公式3.2.1 谓词公式的定义 原子公式（原子谓词公式）：P(x1,x2,xn)分子谓词公式：用连词（,等）把原子谓词公式组成的复合谓词公式。例如：“任何整数或者为正或者为负”(x)I(x)(P(x)N(x)所有x x是整数 x是整数 x是负数,常用的谓词公式表示方法对照表：,3.2.2 合适公式的性质 若P,Q是两个合适公式，则真值表为：,(1)否定之否定:(P)P注：表示“等价与”(2)P Q P Q或 P Q P
11、 Q(3)狄摩根(De Morgan)定律(P Q)P Q(P Q)P Q(4)分配率 P(Q R)(P Q)(P R)P(Q R)(P Q)(P R),(9)全称量词、局部量词的分配率(x)P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(x)P(x)Q(x)(x)P(x)(x)Q(x)(10)约束变量的替换法则(x)P(x)(y)P(y)(x)P(x)(y)P(y)关于上述性质（10）的说明：在一个量化的表达式中的约束变量是一类“虚元”，它可用任何一个未在表达式中出现过的其它变量符号来代替。,P,Q两个合适公式的析取、合取、蕴涵、等价四种运算的形象化（集合）表示：,谓词公式的表达方法举例：例1
12、.试用谓词演算表示如下英文句子：“For every set x,there is a set y,such that the cardinality of y is greater than the cardinality of x.”步1.For(x)SET(x),then(y)SET(y),|y|x|步2.(x)SET(x)(y)SET(y)(|y|x|)步3.(x)SET(x)(y)SET(y)(u)CARD(y,u)(v)CARD(x,v)步4.(x)SET(x)(y)SET(y)(u)CARD(y,u)(v)CARD(x,v)G(u,v),步5.(x)SET(x)(y)(u)(v)
13、SET(y)CARD(y,u)CARD(x,v)G(u,v)说明：（1）SET(x)和SET(y)分别表示集合x，集合y；（2）CARD(x,v)表示集合x的“模”为v，同样 CARD(y,u)表示集合x的“模”为u；（3）G(u,v)表示u的值大于v的值。,例2.把论断“世上决没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨。”表示成谓词公式的形式。解题思路：把论断的表示形式“分细”，即知识的模块化问题。在下列不同程度上予以细分：步1.P表示整个论断（即命题）步2.分解为2个命题：没有无缘无故的爱 没有无缘无故的恨步3.否定词分出来：存在无缘无故的爱 存在无缘无故的恨步4.存在量词分出来：x无缘无故的爱
14、(x)y无缘无故的恨(y),步5.把“爱”和“恨”的概念分出来：x爱(x)无缘故(x)y爱(y)无缘故(y)步6.把“缘故”的否定词分出来：x爱(x)有缘故(x)y爱(y)有缘故(y)步7.把“A是B的原因”这个概念中的A和B分解开来：x爱(x)y 缘故(x,y)t爱(t)s 缘故(t,s)注意：一般地，分得越细，所含的知识越丰富，但推理效率也越低，究竟分到什么程度，应视需要而定。,3.2.3 永真性 永真：一个公式如果它对所有的解释均取真值，则称作“永真”。重言式：永真的基公式。例如：P(x)P(x)P(y)为永真。P(x)P(y)P(x)P(y)说明 FFF T FTT T TFT T T
15、TT T,3.3 与或句演绎系统3.3.1 与或句的SKOLEM标准形 SKOLEM标准形：只有,谓词（原子），前有“非”符号（）的谓词（负原子），以及看不见的全称量词（）组成的合适公式称为“与或句”SKOLEM标准形。【注】：正、负原子统称为“句节”。任何合适公式都可化成与或句的形式。分为两步：第一步：化成前束范式，即所有量词都在合适公式的最前面，每个量词的辖域（适用范围）都是整个公式。进而将合适公式化成等值的合取范式。,第二步：消去存在量词，只剩下全称量词。化为前束范式的步骤是：1.把“If A then B else C”化成(A B)(A C)或(A B)(A C)2.把 A B（或A
16、 B）化成(A B)(B A)或(A B)(B A)3.把 A B（或A B）化成 A B,4.利用下列式子消去或移入“非”符号(1)把 A化成 A(2)把(A B)化成 A B(3)把(A B)化成 A B(4)把 x A(x)化成 x(A(x)(5)把 x A(x)化成 x(A(x)5.把所有的量词变量全部换成不同的名字例如：x A(x)x B(x)化成 x A(x)y B(y)6.把所有的量词按原来次序移至最前边。,7.消去存在量词。假定此时的前束范式中不存在自由变量，因此，范式中的每个变量必定属于某个量词管辖的范围。假设共有n个量词，前束形式是：Qixii=1,2,.,n其中，每个Qi
17、或是，或是，从Q1始，到Qn止。消去存在量词的算法如下：(1)若Qi是，则移向下一个i，原Qixi不变动。(2)若Qi是，则消去Qixi，并且 a)若Qi前没有全称量词，则把后面公式中的所有同名xi换成一个从未出现过的常数名；,b)若Qi前有m个全称量词，则把后面公式中的所有同名xi换成fi(xi,1,.,xi,m)，其中，fi是从未出现过的函数名，xi,1,.,xi,m是这m个全称量词管辖的变量名；c)做完第n个（最后一个）量词后算法停止。此时，实际上把所有的存在量词都去掉了，剩下的变量都有全称量词在管着它，这时得到的公式称作合适公式的SKOLEM标准形。,3.3.2 SKOLEM标准形的作
18、用 在定理的机械化证明（一种机械化的、在计算机上实现的推理）过程中，我们面临的首要问题是如何建立推理规则。例如：假设由命题逻辑描述的命题A1,A2,A3和B，要求证明在A1 A2 A3成立的条件下B成立。或者说要证明A1 A2 A3 B 是定理（重言式）事实上，我们经常采用反演推理方法（即反证法）来证明。要证明A1 A2 A3 B 是重言式，就等价于证明A1 A2 A3 B是矛盾式（永假式）。,然而，要证明A1 A2 A3 B是矛盾式（永假式），就要遇到量词（包括存在量词和全称量词）的问题，为此，需要将A1 A2 A3 B化成SKOLEM标准形，进而建立“子句集”，方可使用Herbrand（海
19、伯伦）定理和归结（Resolution）原理来证明A1 A2 A3 B 是不可满足的。因此，SKOLEM标准形是利用Herbrand定理和归结（Resolution）原理等进行定理机械化证明的基础，具有非常重要的地位和作用。,3.3.3 合适公式转换成SKOLEM标准形举例例1.试将 G=(x)(y)(z)(P(x,y)Q(x,z)R(x,y,z)化成SKOLEM标准形（即“与或式”）。解：令 M(x,y,z)=(P(x,y)Q(x,z)R(x,y,z)则 G=(x)(y)(z)M(x,y,z)可知，G已是前束形了，需将M(x,y,z)化成合取范式。得M(x,y,z)=(P(x,y)R(x,y
20、,z)(Q(x,z)R(x,y,z)于是G=(x)(y)(z)(P(x,y)R(x,y,z)(Q(x,z)R(x,y,z),先消去(y)，令 y=f(x)，有G=(x)(z)(P(x,f(x)R(x,f(x),z)(Q(x,z)R(x,f(x),z)再消去(z)，令 z=g(x)，有G=(x)(P(x,f(x)R(x,f(x),g(x)(Q(x,g(x)R(x,f(x),g(x)上式即为G的SKOLEM标准形。其中，f(x),g(x)称作SKOLEM函数。,例2.试将 G=(x)(y)(z)(u)P(x,y,z,u)化成SKOLEM标准形。解：令 x=a（某个常量）则 G=(y)(z)(u)P
21、(a,y,z,u)再令 u=f(y,z)，得G的SKOLEM标准形为：G=(y)(z)P(a,y,z,f(y,z)【注意】：G的SKOLEM标准形同G并不等值。,3.3.4 有目标的与或句演绎系统 与或句演绎系统可用于求证某个目标的推理。例1.假设有下列事实和规则：1.喜欢三国演义者必读水浒 2.某书与儒林外史同类，则一定不与水浒同类 3.没有人喜欢的书不会和三国演义同类 4.俞平伯只读与红楼梦同类的书求证：若红楼梦与儒林外史同类，则俞平伯一定不喜欢三国演义。,证明：第一步，先将上述事实、规则和求证目标写成一阶谓词形式：规则1.(x)(like(x,三国)read(x,水浒)规则2.(x)(s
22、amesort(x,儒林外史)samesort(x,水浒)规则3.(x)like(x,y)samesort(y,三国)规则4.read(俞平伯,y)samesort(y,红楼梦)辅助规则：samesort(x,y)samesort(y,x)求证目标：samesort(红楼梦,儒林外史)like(俞平伯,三国),第二步，将规则1化成SKOLEM标准形：like(x,三国)read(x,水浒)第三步，将规则3变成(x)like(x,y)samesort(y,三国)即(x)like(x,y)samesort(y,三国)(x)like(x,y)samesort(y,三国)故规则3的SKOLEM标准形为
23、：like(f(y),y)samesort(y,三国)得 like(f(y),y)samesort(y,三国),第四步，证明过程：假设俞平伯喜欢三国演义，即like(俞平伯,三国),要推出 samesort(红楼梦,儒林外史)的矛盾结论。假设：俞平伯喜欢三国,将俞平伯代入规则1中的x，得like(俞平伯,三国)read(俞平伯,水浒)利用规则4：read(俞平伯,y)samesort(y,红楼梦)得samesort(水浒,红楼梦)由辅助规则可知，samesort(红楼梦，水浒)用规则2的逆形式：samesort(x,水浒)samesort(x,儒林外史)得 samesort(红楼梦,儒林外史)
24、即：红楼梦不与儒林外史同类。这与已知条件矛盾，故可证明“俞平伯一定不喜欢三国演义”。,【说明】：有目标的与或句演绎系统的缺点 1.出发点不能是任意的，若选错了，就可能得不到正确的答案。在上题中，若选规则3作为出发点，就不可能解出此题，但规则2和4均可作为出发点（作为【习题】）。2.推出的结论的结构形式一定要与目标的结构形式相符，否则也不可能得到正确的解。比如：把规则1改成：“喜欢三国演义者必读水浒和东周列国志”。这本来不应对推理有任何影响，但与或句演绎系统却无能为力了。总之，与或句演绎系统既可作正向推理，也可作反向推理。用作正向推理时局限性很大，缺乏实用价值，尤其不适合用于带目标的正向推理，但
25、用作反向推理比较实用。,【习题】：请针对“3.3.4 有目标的与或句演绎系统”中的“例1”做如下推理：1.分别选规则2，3，4作为出发点推理；2.把规则1改成：“喜欢三国演义者必读水浒和东周列国志”再进行推理。【注】：对经典谓词逻辑感兴趣者，可重点参考陆汝钤院士编著的人工智能（上册）和石纯一等编的人工智能原理的相关章节。,Thank you!2002年第一稿2004年9月修改,饭卡打开巴士风格反对广泛的,的非官是大苏打 发的发非官方共和国符合国家和国际撒的方大哥 给飞得更高是个搜狗是归属感是搞后呵呵敢死队敢死队敢死队好地方 个地方豆腐花 哈哈动画的发挥和家具风格就 国防军广泛几个房间房管局房管
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