《浅论二元函数极限不存在的判定.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅论二元函数极限不存在的判定.docx（27页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、浅论二元函数极限不存在的判定浅谈二元函数极限不存在的判定 摘要：求二元函数极限是高等数学的学习中的难点。本文对利用点的领域、路径、聚点等判定二元函数极限不存在进行了简要地归纳总结，寻找出了一些规律。 关键词：高等数学，二元函数，极限，聚点，邻域，路径 1.理论依据 1.1定义1：设f为定义在D2上的二元函数,P0为D的一个聚点,A是一 个确定的实数。若对任给的正数e,总存在某正数d,使得当PU0(P0;d)ID时,都有 f(P)-Ae 则称f在D上当PP0时,以A为极限,记作 limfP(=)A (1) pp0pD在对于PD不致产生误解时,也可简单地写作 limfP(=)A (1 )pp0当p
2、,p0分别用坐标(x,y),(x0,y0)时, (1)式也常写作 (x,y)(x0,y0)lim) f(x,y)=A (11.2定义2：设函数z=的实数,如果00,$d)得P(x,y(x-x0)+(y-y0)d的一切点P,都有：|f(x.y)-A|e成立,则称A为z=,也记作(x,y)lim(x,y)00在PP0时的极限,记作limf(x,y)=Axx0yy0f(x,y)=A,或者PlimPf(P)=A。 01.3 定理1：limf(p)=A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要p0是E的pp0pD聚点，就有limf(p)=A。 pp0pEf(P)不存在，1.4定理2：设ED,P0是E的聚点，
3、若PlimPPE0则PlimPPDf(P)也不存在。 01.5定理3：设D1,D2D,P0是平面点集D1,D2,D的聚点,若存在极限PP0PD1limf(P)=A1,limf(P)=A2PP0PD2limf(P)不存在。 ,但A1A2,则PPPD01.6 定理 4：极限limf(p)存在的充要条件是：对于D中任一满足条件pp0pDpnp0，且limpn=p0的点列pn，它所对应的函数列f(pn)n都收敛。 (x,y)依据定理2和定理3,可以选择沿一条特定的路径P(x,y)P000，函数f(x,y)的极限不存在(包括非正常极限)，其中路径可以是定义集合内一条通过点P0的连续曲线，也可以是以点P0
4、为极限的点列。 根据二元函数极限的几何意义，若函数f(x,y)在点p0(x0,y0)存在极限，则动点P(x,y)沿任意一条曲线(或点列)无限趋近于点p0(x0,y0)时，函数f(x,y)都存在极限，并且极限值是相同的。 选择沿两条不同的路径P(x,y)P0(x0,y0),使得函数f(x,y)有不同的值。其中路径可以根据函数而确定为直线或者曲线。多数情况下,选择趋于点P0的不同直线(包括坐标轴)和特殊的曲线。 由此可知，我们可以通过下列两条途径来判定f(x,y)在点p0(x0,y0)的极限不存在： (1)沿一条特定的路径p(x,y)p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限不存在。 (2)沿两条
5、不同的路径p(x,y)p0(x0,y0)，函数f(x,y)的极限值不同。 这样一来，判定极限不存在的关键就转化为寻找恰当的路径。下面，我们假定(x0,y0)为原点O(0,0)，根据二元函数f(x,y)的结构特点，提出可供选取的路径。 2.对于以下两种函数结构，可选取直线路径y=kx，(k0)。 2.1不恒为常数的零次齐次函数 不恒为常数的零次齐次函数,是指满足条件f(tx,ty)= f(x,y),且f(x,y)/ C(C为常数)的函数f(x,y),。对于这类函数，由于当动点p(x,y)沿定义域内的直线y=kx趋向于原点O(0,0)时，有limx0y=kx0f(x,y) =limf(x,kx)=
6、f(1,k)=f(k) x0而上式f(x)因k不同而不同，所以f(k)函数f(x,y),当动点p(x,y)/C这表明，沿不同直线趋于原点O(0,0)时，极限值不同，所以极限不存在。 1例1：验证f(x,y)=x2y3在点O(0,0)极限不存在。 3x2+xy+y2解：函数f(x,y)为不恒为常数的零次齐次函数， 定义域D：(x,y)|x0,y0,但x,y不同时为零， 1选取直线y=kx，有limx0y=kx0f(x,y)=limx2kx3x0=3k1+k+k3，这说明，当动点x2+xkx+(kx)2沿直线y=kx趋向于原点时，由于k不同，函数f(x,y)将趋近于不同的常数，因而极限不存在。 另
7、外曲线路径里面,比较典型的是沿着二次曲线路径使动点P趋于定点P0,使得函数解析式中出现无穷小的部分。对于满足f(x,y)=F(ay-b(cx-d)2)的函数,讨论db(x,y)(,calimfx(y,的时候), 可以考虑沿着路径：y=)(cx-d)+ba2使动点P(x,y)趋于定点P0(,)。 cadblim例2：(x,y)(2,1)(x-2)(y-1)3(x-2)+(y-1)422,可以选择动点P(x,y)沿着曲线y=k(x-2)2+1趋于P0(2,1),此时函数所趋于的常数值与k有关系, 因而极限不存在。 2.2分子的次数不大于分母的次数的齐次有理分式函数 对于有理分式函数f(x,y)=P
8、(x,y)Q(x,y)，其中P(x,y),Q(x,y)分别是关于变量x,y的m次f(x,y),可以选取动点和n次齐次多项式,而且mn,此时计算二元函数极限(x,ylim)(0,0)P(x,y)沿着直线而趋O(0,0)时有： P(k)Q(K)x0y=kx0limf(x,y)=limxm-nx0=P(k)Q(K)，此极限的值随k的变化而不同， P(k)Q(K)当m0,n0)的函数f(x,y),对于这类函数,若令t=xm-1n,则有f(x,y)=f(1,yx于原点-mn) 当动点p(x,y)沿lim曲线y=nk- x(x0) mn趋O(0,0)时,有x0y=kx0f(x,y)=limx0y=kx0f
9、(1,yx。显然 当k改变时, f(k)不是一)=limf(1,k)=f(k)。x0个常数。这表明f(x,y)在原点O(0,0)的极限不存在。 例5：讨论f(x,y)=xyx+y22 当(x,y)(0,0)时是否存在极限。 y=mx趋解：当动点p(x,y)沿直线f(x,y)=f(x,mx)=m1+m2于定点(0,0)时，由于此时。 这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同因而所讨论的极限不存在。 例6：验证limx0y0xy2x+yxy2x+y422242不存在。 的定义域D： (x,y)|xR,yR,但x,y不同时为0，其limxy2x+y422解：函数f(x,y)=
10、中m=2，n=1，取y=kx，有22x02y=kx0=limxkx42222x02x+(kx)=k2+k2，其结果与k有关，因而limx0y0xy2x+y42不存在。 4.函数f(x,y)含有“x2+y2”，或f(x,y)为齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换x=rcosqy=rsinq，0r+， -pqp，然后再根据相应的结构形式，选取不同的路径。 例7：验证limx0y0x+yx+2222x+y不存在。 x+yx+2222x=rcosq解：作坐标变换y=rsinq，函数x+y化为r1+cosq取路径q=q0p，当q=q0，r0+时， r1+cosq0r； 1， 取路径r(q)=1+cosq
11、，当qp-，r0+时，所以limx0y01+cosqx+yx+2222x+y不存在。 x+y233例8：验证limx0y0x+y是否存在。 x+yx+y233解：当y1时，有33f(x,y)32，坐标变换3x=rcoqsy=rsiqn3，则30limf(x,y)limx0y0r(cosq+sinq)r2=limr(cosq+sinq)=0，所以函数limx0r0y03x+y2x+y存在。 5.判断二元函数极限不存在的方法，一般采用选取两条不同的路径获得不同的极限值，若找到一条路径，函数在其上有定义，但极限不存在，都能断言其原极限不存在。 例9： 讨论limxy+1-1x+y的存在性。 1xy+
12、1+1x0y0解：limxy+1-1x+y=lim1xyx+yxyx0y0x0y0 =lim2x0y0x+y =01y=xy=x-x2 ,故原函数极限不存在。 6.对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在。 例10：证明lim1-cos(x+y)(x+y)xy222222不存在。 x0y0证：先将函数变形，有 1-cos(x+y)(x+y)xy2222222=2222(x+y)xy2sinx+y22sinx+y22=(222x+y2)x+y2xy2222sinx+y22令f(x,y)=(222x+y2)，g(x,y)=2x+y2xy2222一方面，limf(x,y)=10， x0y0另一方面，当动点p(x,y)沿直线limgx(y=,lim)2x2x24y=kx趋于原点时O(0,0，有x0y=x0xo=lim1x2xo=。 1-cos(x+y)(x+y)xy222222所以，limg(x,y)=，从而limf(x,y)g(x,y)=,这表明limx0y=x0x0y0不存在。 x0y0 参考文献 1韩超，王继成，齐秀丽.数学分析选讲M .哈尔滨：黑龙江教育出版社，2003. 2华东师范大学数学系编.北京.高等教育出版社. 3侯风波，王富彬.应用数学M . 北京：科学出版社，2012.
