点线面位置关系.docx

《点线面位置关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点线面位置关系.docx（26页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、点线面位置关系 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点 重点：空间直线、平面的位置关系。 难点：三种语言的转换 2、三个公理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 AL BL = L ，A ，B 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 C A B A L 符号表示为：A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面， 使A、B、C。 公理2作用：确定一个平面的依据。 推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面

2、两条相交直线可确定一个平面 两条平行直线可确定一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且PL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 L P 1 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角的范围是 00ac p 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1

3、、直线与平面有三种位置关系： 直线在平面内 有无数个公共点 直线与平面相交 有且只有一个公共点 直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 3 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化

4、辅导学校 符号表示： a ab = P b a b 2、判断两平面平行的方法有三种： 用定义； 判定定理； 垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a ab = b 4 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固： 1、

5、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( d ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中，正确的有( a ) 若a,则a a平面,b则ab 平面平面,aa ,b,则ab 平面,点P,a,且Pa，则A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AEEB=CFFB=13，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定 4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( d ) A.过A有且只有一个平面平行于a,b C.过A有无数个平面平行于a,b B.过

6、A至少有一个平面平行于a,b D.过A且平行a,b的平面可能不存在 5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面,则b与的位置关系是( ) A.b B.b C.b与相交 D.以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为( a ) 直线l平行于平面内的无数条直线，则l;若直线a在平面外，则a; 若直线ab,直线b,则a;若直线ab,b内的无数条直线. A.1 B.2 C.3 D.4 7、下列命题正确的个数是( a ) (1)若直线l上有无数个点不在内，则l (2)若直线l与平面平行，l与平面内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a和平

7、面内一直线b平行，则a A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 平面，那么直线a就平行于平面 5 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 8、已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d 若m,m,则; 若m,n若,则; 若m、n是异面直线，m,m,n,n,mn,则; 则. A.和 B.和 C.和 D.和 9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有( c ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10、对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使、都平行于；内

8、有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l，M，使得l,l,M,M. 其中可以判断两个平面与平行的条件有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 1、在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_. 参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MNPQ(MN平面AC，PQ=平面PMN平面AC，MNPQ).易知DP=DQ=.故. 答案： 2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是_. 参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内 3、若直线

9、a和b都与平面平行，则a和b的位置关系是_. 参考答案与解析:相交或平行或异面 4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_. 参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BDAC=O，连结BD1，在BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点， OE为BDD1的中位线.OEBD1. 又平面ACE，OE平面ACE，BD1平面ACE.答案：平行 三、解答题 6 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 1、如图，直线AC，DF被三个平行平面、所截. 是否一定有ADBECF； 求证： 参考答案与解析:解析：平面平面，平面与没有公共点，但不一

10、定总有ADBE. 同理不总有BECF. 过A点作DF的平行线，交，于G，H两点，AHDF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面,于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有ADGEHF. . AGED为平行四边形.AG=DE. 同理GH=EF. 又过AC，AH两相交直线之平面与平面,的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BGCH. 在ACH中，.而AG=DE，GH=EF，. 2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA平面MDB. 参考答案与解析:解析：要说明SA平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是

11、可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证. 证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MNSA.因为MN平面MDB，所以SA平面MDB. 3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN平面PB1C. 参考答案与解析:证明：如图，连结B F D E A H G 7 C 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 AC， 则P为AC的中点，连结AB1， M、N分别是A1A与A1B1的中点，MNAB1. 又平面PB1C，平面PB1

12、C，故MN面PB1C. 4、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF/平面BB1D1D 答案：证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB， 11OF 平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1， 22OF 平行且等于BE，则OFEB为平行四边形， EF/BO D1 A1 F C1 B1 EF平面BB1D1D，BO平面BB1D1D， EF/平面BB1D1D D D1 F C E B O A 1 D A 5、如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点 求证：MN/平面PAD 答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME M，

13、N分别是AB，PC的中点， NE/PD，ME/AD， 可证明NE/平面PAD，ME/平面PAD 又NEME=E， C1 A B1 C E B ABCD是平行四边形，P 平面MNE/平面PAD， 又MN平面MNE，MN/平面PAD N D 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L与平面内的任意一条直线都垂8 E A C M B 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平

14、面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 一 选择题 1. 已知直线a，b和平面a，有以下

15、四个命题： 9 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 若a/a，a/b，则b/a； 若aa，b若，ba，则； 若其中真命题的个数是 2 ，a=A，则与b异面； ，则b/a 2. 已知直线l平面a，有以下几个判断：若ml，则m/a；若ma，则m/l；若m/a，则ml；若m/l，则ma上述判断中正确的是 3. 已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是 A 4. 在正方形ABCD中，

16、E，F分别是AB及BC的中点，M是EF的中点，沿DE，DF及EF把DAE，DFC，EBF折起使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体P-DEF中必有 DP面PEF DM面PEF PM面DEF PF面DEF 5. 直线a不垂直于平面a，则a内与a垂直的直线有 0条 1条 无数条 a内所有直线 6. 已知三条直线m，n，l，三个平面a，b，g下面四个命题中，正确的是 aga/b bgm/blb lmm/gm/n n/gmgm/n ng7. 在空间四边形ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是 平面ABD平面BDC 平面ABC平面ABD 平面ABC平面

17、ADC 平面ABC平面BED 8. a，b，g，w是四个不同平面，若ag，bg，aw，bw，则 a/b且g/w a/b或g/w 这四个平面中可能任意两个都不平行 这四个平面中至多有一对平面平行 10 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 9. 设a，b是异面直线，下列命题正确的是 过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交 过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直 过a一定可以作一个平面与b垂直 过a一定可以作一个平面与b平行 10. 设平面a平面b，且ab=l，直线aa，直线bb，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b 可能垂直，不可能平行 可能垂直，也可能平

18、行 可能平行，不可能垂直 不可能垂直，也不能垂直 二 填空题 11已知直线a，b和平面a，且ab，aa，则b与a的位置关系是_ 12. a，b是两个不同的平面，m，n是平面a及b之外的两条不同的直线，给出四个论断： mn；ab；nb；ma以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_ 13. 设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的关系是_ 14. 设三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内射影O，且到三个侧面的距离相等，则O是ABC的_心. 4、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周 上

19、的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则PAB，PAC， PABC，PBC中，直角三角形的个数是_ 三 解答题 16已知平面a，b，g满足ag，bg，a AOBb=l，求证：lg C17. 如图，已知平面a，b，直线a满足ab，ab，aa，试判断直线a与平面a的位置关系并证明 a 11 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 18. 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G S 求证：AESB，AGSD F G D E C A B EF/CD，AM=EF19. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEP

20、D， 求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线 P 20. 如图，直角ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC； (2)若AB=BC，求证：BD面SAC 12 E A M B C F D 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 S A D C B 21. 如图所示，平面a平面b，ab=l，在l上取线段AB=4，AC，BD分别在平面a和平面b内，且ACAB，DBAB，AC=3，BD=12，求CD长 a C B A l bD 答 案 一 选择题 BBBAC;DDBDB 二 填空题 11.b/a或ba 12.或 13.垂直 14.内心 15.4

21、三 解答题 16解：在平面g内做两条相交直线分别垂直于平面a，b与平面g的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l平面g 17解：在a内作垂直于a与b交线的直线b，因为ab，所以bb因为ab，所以a/b又因为aa，所以a/a即直线a与平面a平行 18答案：证明：SA平面ABCD，SABC又ABBC，BC平面SAB AE平面SAB，SCAE，AE平面SBC，BCAE，SC平面AEFG，AESB同理AGSD 13 19答案：证明：PA底面，PAAB已知ABAD，AB面PADBAAE又AM/CD/EF，且AM=EFAEFM是矩形，AMMF 又AEPD，AECD，AE平面PCD又MF/AE，MF平面PC

22、D MFPCMF是异面直线AB与PC的公垂线 20答案：证明：SA=SC，D为AC的中点，SDAC 连结BD在RtABC中，则AD=DC=BDADSBDS，SDBD 又ACBD=D，SD面ABC BA=BC，D为AC的中点，BDAC 又由知SD面ABC， SDBD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线 BD面SAC 21答案：解：连结BCACAB，ACb，ACBDBDAB，BDa， 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 BDBCCBD是直角三角形在RtBAC中，BC=AC2+AB2=32+42=5，在RtCBD中，CD=5+12=13CD长为13 22针对性练习： 1.若直线a不平行于

23、平面a，则下列结论成立的是 14 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 A. a内所有的直线都与a异面； B. a内不存在与a平行的直线； C. a内所有的直线都与a相交； D.直线a与平面a有公共点. 2.已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 3.空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为 A、3

24、00 B、450 C、600 D、900 4. 给出下列命题： 直线a与平面a不平行，则a与平面a内的所有直线都不平行； 直线a与平面a不垂直，则a与平面a内的所有直线都不垂直； 异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直； 若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 其中错误命题的个数为 0 1 2 3 5正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有条 A3 B4 C6 D8 6. 点P为ABC所在平面外一点，PO平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ABC的 内心 外心 重心 垂心 7.如图长方体中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角 D1 A1

25、 D B1 C1 C1BDC的大小为 30 45 60 90 000 0C B A 8.直线a,b,c及平面,下列命题正确的是 15 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 A、若a，b,ca, cb 则c B、若b, a/b 则 a/ C、若a/,=b 则a/b D、若a, b 则a/b 9.平面a与平面b平行的条件可以是 A.a内有无穷多条直线与b平行； B.直线a/a,a/b C.直线aa,直线bb,且a/b,b/a D.a内的任何直线都与b平行 10、 a, b是异面直线，下面四个命题： 过a至少有一个平面平行于b； 过a至少有一个平面垂直于b； 至多有一条直线与a，b都垂直；至少

26、有一个平面与a，b都平行。 其中正确命题的个数是 二、填空题 11.已知直线a/平面a，平面a/平面b，则a与b的位置关系为 . 12已知直线a直线b, a/平面b,则b与b的位置关系为 . 13如图，ABC是直角三角形，ACB=90，PA平面ABC，此图形中有 个直角三角形 14.、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线P , 给出四个论断： m n m n A B C 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：_. 三、解答题 15如图，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求证：ABBC 16 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 P A B C 16在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC，O是BC的中点，平面SAO 平面ABC 求证：SAB=SAC B S C O A 求证：平面17如图，PA平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2AEF平面PBC； 求二面角PBCA的大小；求三棱锥PAEF的体积. P A F E C B 参考答案 17 1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C 11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若则 17.45 龙文教育您值得信赖的专业化、个性化辅导学校 18