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1、数字信号处理各种域和各种变换关系图,1,2,第一章 绪论,1.信号的基本概念模拟信号，离散时间信号，量化阶梯信号，数字信号（自变量连续、离散；幅值连续、离散）2.信号处理系统模拟系统，离散系统，数字系统3.数字信号处理的特点精度高、可靠性强、灵活性好、大规模集成4.模拟信号的数字处理系统5.数字信号处理的基本内容6.数字信号处理技术的应用通信工程、语音处理、图像处理、仪器仪表、生物医学等,3,第二章 离散时间信号与系统,1.离散时间信号-序列 常用序列：单位取样序列、单位阶跃序列、指数序列、周期序列 序列的基本运算：加、乘、标量乘、移位、反转、尺度变换、相关运算。序列的表示：2.线性非时变（L
2、TI）系统时域分析 LTI系统的定义，单位取样响应，输入输出关系（线性卷积、卷积运算），因果稳定性概念，LTI因果稳定的充要条件，LTI系统差分方程的时域求解。,4,2.1.1 离散时间信号序列,一个时间信号表示为x(t)，其自变量时间t取等间隔离散值(，-T,0,T,2T,nT，)后得到的结果为(，x(-T),x(0),x(T),x(2T),x(nT),)，这里n取整数，称为离散时间信号。此时信号是由一串大小不等的数值序列构成，故又称序列，简记为x(n)。信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则可用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,
3、2.5,3.3,1.9,0,4.1,第一节离散时间信号的时域分析,5,2.1.5 任意序列的表示,任意序列可表示成单位取样序列的移位加权和。,6,第二节线性移不变离散时间系统的时域分析,离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。设变换或运算关系用T表示，则输入与输出之间的关系可表示为：,根据输入与输出的关系，可将离散时间系统分为四类：线性移不变系统、线性移变系统、非线性移不变系统以及非线性移变系统。其中最重要、最常用的是线性移不变系统。这是因为许多实际的物理过程都可以用它来表征，数学上易于描述，理论上又便于分析。本书中仅限于讨论这类系统。,7,2.2
4、.1 线性移不变系统的定义,一个离散时间系统同时具有线性和移不变性质，则称该系统为线性移不变系统。（1）线性系统线性系统是指满足线性叠加原理的系统，即具有线性性质的离散时间系统。,设x1(n)和x2(n)分别为系统的输入序列时，其对应的输出序列分别为y1(n)和y2(n)，即：又设输入序列x(n)=ax1(n)+bx2(n)，a，b为任意常数，对应的输出序列为y(n)，如果y(n)满足下式：,则称该系统满足线性叠加原理，具有线性性质。,8,（2）移不变性定义：设y(n)=Tx(n)，对任意常整数n0，若成立，则称该系统为移不变系统，或者说该系统具有移不变性质。,所谓移不变系统是指具有移不变性质
5、的系统，即系统对输入序列的运算关系在整个运算过程中保持不变，或者说系统对输入信号的响应与信号加于系统的时刻无关。系统移不变性也可这样理解：一个系统的功能和特性参数不会随时间发生变化，只要输入x(n)是相同的，无论何时进行激励，输出y(n)总是相同的，这就是系统移不变性的特征。,9,2.2.2 单位取样响应,定义：设任一离散时间系统的输入输出运算关系为y(n)=Tx(n)，当输入序列x(n)为(n)时，对应的输出序列y(n)称为系统的单位取样响应，记为h(n)，即：,10,2.1.3线性移不变系统输入输出关系描述 序列线性卷积,设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即
6、:那么，系统对应的输出为：,如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：又根据移不变性和h(n)定义，则有：,线性系统满足比例性和可加性,移不变性,11,所以此时系统输出为：上式称为序列x(n)和h(n)的线性卷积，这种运算关系用“*”表示。,单位取样响应h(n)从时域描述了一个线性移不变系统，即一个线性移不变系统由对应的单位取样响应h(n)决定。,12,2.2.4 线性卷积的性质和计算方法,（1）性质线性卷积运算具有“积”的相同性质，即线性卷积运算满足交换律、结合律和分配律，分别用公式表示如下：,不存在微分、积分性质。,1交换律,2结合律,3分配律,4,13,(2)卷积计算方法两个序列的线
7、性卷积求和运算的计算方法有图解法和公式法。图解法适于易于作图的序列之间的卷积计算，而公式法适于用闭合函数式表示的序列之间的卷积计算。从式（2.2.10）的定义可知，任一时刻n的卷积计算结果y(n)是x(m)与h(m)经过反转并移位n个点以后的h(n-m)对应相乘并求和而得到。具体的计算过程通过例子加以说明。,14,卷积计算,1.解析式法,2.图解法(板书),3.对位相乘求和法,离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和,4.序列排列法（板书）,15,例2 使用对位相乘求和法求卷积,两序列右对齐（最高位）逐个样值对应相乘但不进位同列乘积值相加（注意n=0的点）,16,最高位对齐,对应相乘,同列相加,解：
8、,17,2.2.5 系统的稳定性、因果性,对于线性移不变系统是因果系统的充要条件：,稳定性的充要条件：,单位取样响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。,因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。,稳定系统：输入有界，输出必有界的系统。,18,例,(1)讨论因果性：,(2)讨论稳定性：,因为是单边序列，,所以系统是因果的。,19,例：h(n)=-an u(-n-1),因果性,稳定性,当n0时，h(n)0,当|a|1时系统稳定,非因果,因果序列：序列当 n0 时等于零，则此序列为因果序列。即当 n0 时，x(n)=0,一个线性非移变系统是因果系统的充分必要条件是其单位冲激响应为因果序列。,20,2.
9、2.6 常系数线性差分方程,对一个系统的数学描述主要是输入输出之间的关系。对连续时间系统，通常采用微分方程描述；对离散时间系统就用差分方程进行描述。而其中常用的一类线性移不变系统则可用常系数线性差分方程描述。一个N阶常系数线性差分方程用下式描述：,式中，ai和bj均为与n无关的常数，体现“时不变”特性，式中y(n-i)和x(n-j)项只有一次幂，体现“线性”特性，故称为线性常系数差分方程。,21,已知系统的输入序列x(n)，可以通过求解差分方程获得系统的输出序列y(n)。对差分方程的求解通常有三种方法：（1）经典解法：齐次解和特解，复杂。分三步：求通解，得到系统的零输入响应；求特解，得到系统的
10、零状态响应；求全解，将通解、特解相加。（2）变换域解法：Z变换后再逆Z变换。对差分方程两边取单边Z变换，并利用Z变换的位移特性把差分方程转变为Z域的代数方程，再将求解结果进行反Z变换，得到解的时域表达式。（3）递归解法：在给定输入和初始条件下，直接有差分方程按递推的办法求系统的瞬态解。,22,第二章 离散时间信号与系统,3.离散时间信号与系统的频域分析（1）序列频谱（DTFT），DTFT的性质(时移、频移、对称、卷积)（2）系统频域分析-系统频率响应，LTI系统输入输出之间的频域关系：4.离散时间信号与系统的Z域分析(1)Z变换的定义、收敛域、主要性质；逆Z变换及其计算方法。(2)Z变换与序列
11、之间的对应关系(3)差分方程的Z域求解（零输入解+零状态解）(4)系统函数零极点分析，系统因果稳定与其极点的关系，系统函数零极点与频率响应的关系5.采样定理,23,2.3.3系统的频率响应特性,1.系统频率响应特性的定义 对于一个线性移不变系统，设其单位取样响应为h(n),则称 为系统的频率响应特性。,线性移不变系统的频率响应特性为系统单位取样响应序列的傅里叶变换。,24,3.LTI系统输入输出之间的频域关系时域：频域：,序列通过LTI系统后，其输出序列的频谱可能发生改变，但这种改变完全由系统的频率响应特性决定。,25,2.4离散时间信号与系统的Z域分析,在线性连续时间系统中，我们使用微分方程
12、描述系统的性能，利用拉普拉斯变换求解系统的响应。然而，在离散时间系统中，我们使用差分方程来描述系统的性能，利用Z变换求解系统的响应。DTFT在表述和分析离散时间信号与系统中具有重要意义。z变换是DTFT的推广（做这种推广的动机）并不是所有序列的DTFT都收敛z变换在分析问题时表述更简洁z变换在离散时间信号与系统分析中的地位等同于Laplace变换在连续时间信号与系统分析中的地位。,26,2.4.1 z变换的定义及其收敛域1、Z变换的定义,序列x(n)的傅里叶变换(DTFT)序列x(n)的z变换定义为,其中，z为复变量。为方便起见，x(n)的z变换通常表示为，x(n)与X(z)的关系可表示为。,
13、27,在序列的频域分析中，我们知道并非所有序列的傅里叶变换都是收敛的。同样地，序列的z变换也并不是对所有z的取值都是收敛的。对于任意序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的z值的集合称为X(z)的收敛域(Region of Convergence,ROC)，一般收敛域用环状域表示，,如何确定序列z变换的收敛域?,2.4.1 z变换的定义及其收敛域,28,已经知道，序列x(n)的z变换可以解释为序列x(n)与指数序列r-n的乘积的傅里叶变换；序列x(n)傅里叶变换收敛的充分条件是：x(n)绝对可和；序列x(n)的z变换收敛的条件是：x(n)与r-n的乘积绝对可和，即：,2.4.1 z变换的定义及其
14、收敛域,29,第三章 离散傅立叶变换及其快速算法,四种形式傅立叶变换的定义及其特点 周期-离散；非周期-连续傅立叶级数（DFS）及离散傅立叶变换（DFT）针对周期序列和有限长序列（周期移位及圆周移位，周期卷积及圆周卷积）DFT与序列傅立叶变换(DTFT)、序列Z变换的关系频域取样定理快速傅立叶变换（FFT）的算法依据和原理FFT计算线性卷积和线性相关,30,第四章 相关与谱分析,DFT对连续信号的谱分析原理及公式、误差来源及减小误差的措施、参数选择问题DFT对离散时间序列的频谱分析DFT对周期信号的频谱分析,31,第五章 数字滤波器的设计与实现,滤波器的概念及其分类滤波器设计指标模拟滤波器设计
15、方法冲击响应不变法和双线性变换法，设计思想及优缺点FIR DF特点、线性相位FIR DF时域、频域特性窗口法设计FIR DF思想和步骤频域采样法设计FIR DF思想和步骤DF的实现方框图、流图,32,、填空题1已知线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则系统因果的充分必要条件为（），系统稳定的充分必要条件为（）。,2x1(n)=1，-2，-1，3，0，0,x2=0，2，0，0，-1，1，0，0，若使得x1(n)和x2(n)的N点循环卷积等于这两个序列的线性卷积，则N的最小值是（）。3FIR滤波器具有线性相位时，其单位取样响应h(n)应满足（）。,h(n)=0，n0,13,33,1.序列的傅里
16、叶变换是（）的Z变换。A 单位圆内 B单位圆外C 单位圆上 D 虚轴上 2.FIR的系统函数H(z)的特点是（）A 只有极点，没有零点 B 只有零点，没有非零极点C 只有零极点 D只有零点，没有极点 3.序列x(n)的长度为M，当频域采样点数NM，由频域采样X(k)恢复原序列x(n)时会产生（）。A 频谱泄漏 B 时域混叠C 频谱混叠 D 谱间干扰4.，该序列是 _。A非周期序列 B周期 C周期D 周期5.已知某线性相位FIR滤波器的零点Zi,则下面那些点仍是该滤波器的零点_ A Zi*B 1/Zi*C 1/Zi D 0,二、选择题,C,B,C,A,B,34,三、判断题,连续周期信号的离散序列
17、一定是周期序列。（）两序列的z变换形式相同则这两序列也必相同。（）IIR滤波器设计方法中，双线性变换把S平面的虚轴唯一映射到Z平面的单位圆周上。（）因果稳定系统的系统函数的极点必然在单位圆内。（）利用DFT计算频谱时可以通过补零来减小栅栏效应。（）,35,三、计算题,已知长度为3的有限长序列x(k)如下：,试求：（1）x(k)与x(k)的线性卷积；（2）x(k)与x(k)的4点循环卷积；（3）x(k)与x(k)的5点循环卷积；,36,分析：分别按定义求解。注意x(n)是3点序列，故x(n)*x(n)是3+3-1=5点序列，因此，x(n)x(n)的前5个点就是x(n)*x(n)的值。,(1)y(
18、n)=x(n)*x(n)=1,4,10,12,9,37,(2)y(n)=x(n)x(n)=10,4,10,12,38,(2)y(n)=x(n)x(n)=1,4,10,12,9,39,四、分析计算题,已知一因果线性时不变系统的差分方程如下式,求系统函数H(z)，并画出其零点和极点分布图；画出系统的幅频特性；求系统单位取样响应h(n)；判断该系统是否稳定。,40,答案,3.因为系统为因果，故收敛域为，所以,部分分式法：,留数法：,1.,2.,41,例1 已知归一化二阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数为 要求用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通滤波器，该滤波器的3dB截止频率为，为了简单，设采样间
19、隔T=2s。（1）求出该数字滤波器的系统函数H(z)。（2）画出该数字低通滤波器的直接型结构图。（3）设试写出h15(n)与h(n)之间的关系式。,五、其他,42,解题思路,（2）,（3）,43,例 对实际信号进行频谱分析时，若要求频谱分辨率F=5Hz，信号最高频率fh=4kHz，试确定最小记录时间Tpmin，最大抽样间隔Tmax，最少抽样点数Nmin。如果fh不变，要求分辨率增加一倍，重新确定上述分量。,由抽样定理，,所以最大抽样间隔,若频谱分辨率再大一倍，则F应减少一半，F=2.5Hz，则,44,试用冲激响应不变法及双线性变换法将该模拟传递函数转变为数字传递函数H(z)，采样周期T=0.5.,解:(1)冲激响应不变法,Ha(s)的极点为sp1=-1，sp2=-3,45,(2)双线性变换法：,
