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1、特征根法求数列的递推公式特征根法求数列的递推公式 一、形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数）的数列 形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2=px+q 若有二异根a,b，则可令an=c1an+c2bn(c1,c2是待定常数） 若有二重根a=b，则可令an=(c1+nc2)an(c1,c2是待定常数） 再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2，进而求得an 例1 已知数列an满足a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN*)，求数列an的通项an 解：其特征方程为x2=3x-2，
2、解得x1=1,x2=2，令an=c11n+c22n， c1=1a1=c1+2c2=2n-1由，得1， an=1+2 c2=a2=c1+4c2=32例2已知数列an满足a1=1,a2=2,4an+2=4an+1-an(nN*)，求数列an的通项an 11解：其特征方程为4x=4x-1，解得x1=x2=，令an=(c1+nc2)， 222n1a=(c+c)=112c=-43n-212由，得1， an=n-1 2c2=6a=(c+2c)1=22124二、形如an+1=Aan+B的数列 Can+DAan+B，a1=m,nN*(A,B,C,D是常数且C0,AD-BC0） Can+DAx+B，变形为Cx2
3、+(D-A)x-B=0 Cx+D 对于数列an+1= 其特征方程为x= 若有二异根a,b，则可令值可求得c值。 an+1-aa-a=cn，代入a1,a2的an+1-ban-ba-aa1-a 这样数列n，公比为c的等比数列，于是这样可求得an 是首项为a1-ban-b 若有二重根a=b，则可令的值可求得c值。 11，代入a1,a2=+can+1-aan-a11 这样数列，公差为c的等差数列，于是这样可求得an 是首项为an-aan-a例3已知数列an满足a1=2,an=an-1+2(n2)，求数列an的通项an 2an-1+1解：其特征方程为x= 由a1=2,得a2=x+2a-1a-1，化简得2
4、x2-2=0，解得x1=1,x2=-1，令n+1 =cn2x+1an+1+1an+141，可得c=-， 53n-1a-11a-111a-11数列n是以1=为首项，以-为公比的等比数列，n=-，3a+13an+1331an+13n-(-1)n an=nn3+(-1)例4已知数列an满足a1=2,an+1=解：其特征方程为x=2an-1(nN*)，求数列an的通项an 4an+612x-14x1+0=，即4x2+解得x1=x2=-，令24x+611an+1+2=11an+2+c 由a1=2,得a2=3，求得c=1， 14112是以数列=为首项，以1为公差的等差数列，15an+1a1+22123=+(n-1)1=n-， 155an+213-5nan= 10n-6
