特殊平行四边形例题.docx

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1、特殊平行四边形例题特殊平行四边形例题精选 1、已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC 求证：AE=EC； 当ABC=60，CEF=60时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由 证明：连接AC， BD也是菱形ABCD的对角线， BD垂直平分AC， AE=EC； 点F是线段BC的中点 理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC， 又ABC=60， ABC是等边三角形， BAC=60， 1AE=EC，CEF=60， EAC=BAC=30， 2AF是ABC的角平分线， AF交BC于F， AF是ABC的BC边上的中线， 点F是线段BC的中点 2、已知：如图，菱

2、形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF 求证：AE=AF； 若B=60，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：AEF为等边三角形 证明：由菱形ABCD可知：AB=AD，B=D， BE=DF， ABEADF， AE=AF； 连接AC， 菱形ABCD，B=60， ABC为等边三角形，BAD=120， E是BC的中点， AEBC， BAE=30，同理DAF=30， EAF=60， 由可知AE=AF， AEF为等边三角形 3、如图，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，ACD=30，BD=6。 求证：ABD是正三角形； 求AC的长。 1 解：证明：AC是菱形ABCD的对角线， A

3、C平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD与BCD是菱形的一组对角 BAD=BCD=60 AB、AD是菱形的两条边，AB=AD ABD是正三角形。 O为菱形对角线的交点 1AC=2OC，OD= BD=3，COD=90 2OD=tanOCD=tan30 在RtDCOD中，OCOD=33 AC=2OC=63 答：AC的长为63。 OC= tan304、已知：如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O且DAE=2BAE求证：EB=OA 5、已知，如图四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F，垂足为O 求证：M是AD的中点；

4、 1DF=2CD 若DF=2，求菱形ABCD的周长 证明：连接BD， 四边形ABCD是菱形， AO平分BAD，ACBD， EFAC，点E是AB中点， EM是ABD的中位线， M是AD的中点； 在AME和DMF中， EAM=FDM，AM=DM，AME=DMF， AME DMF， DF=AE， AE=0.5AB=0.5CD， DF= 0.5CD 6、如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E。 求证：四边形AECD是菱形； 若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由。 2 证明：ABCD，即AECD， 又CEAD，四边形AECD是平行四边形 AC平分BAD， CA

5、E=CAD， 又ADCE， ACE=CAD， ACE=CAE， AE=CE， 四边形AECD是菱形； 解：ABC是直角三角形 证法一： E是AB中点， AE=BE 又AE=CE， BE=CE，B=BCE， B+BCA+BAC=180， 2BCE+2ACE=180， BCE+ACE=90即ACB=90， ABC是直角三角形 证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DEAC，且平分AC，设DE交AC于F， E是AB的中点，且F为AC中点， EFBCAFE=90， ACB=AFE=90， BCAC， ABC是直角三角形 7、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线

6、上的点，且ACE是等边三角形。 求证：四边形ABCD是菱形； 若AED=2EAD，求证：四边形ABCD是正方形。 证明：四边形ABCD是平行四边形， AO=CO， 又ACE是等边三角形， EOAC，即BDAC 平行四边形ABCD是菱形； ACE是等边三角形，AEC=60， 1EOAC，AEO=AEC=30， 2AED=2EAD， EAD=15， ADO=EAD+AED=45， 四边形ABCD是菱形， ADC=2ADO=90， 四边形ABCD是正方形。 8、如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F 求证：四边形AEDF是菱形 证明：AD平分BAC BAD=C

7、AD 3 又EFAD， AOE=AOF=90 EAO=FAO 在AEO和AFO中 AO=AO AOE=AOF， AEOAFO， EO=FO 即EF、AD相互平分， 四边形AEDF是平行四边形 又EFAD， 平行四边形AEDF为菱形 9、如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点。连接DP交对角线 AC于E，连接BE。 证明：APD=CBE； 若DAB=60，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的？请说明理由。 证明：四边形ABCD是菱形， BC=CD，AC平分BCD， CE=CE， BCEDCE， EBC=EDC， 又ABDC， APD=CDP， EBC=APD； 1当

8、P点运动到AB边的中点时，SADP= S菱形ABCD， 4连接DB，DAB=60，AD=AB， ABD等边三角形 P是AB边的中点， DPAB 1SADP= APDP，S菱形ABCD=ABDP， 21111AP= AB，SADP=ABDP=S菱形ABCD， 22241即ADP的面积等于菱形ABCD面积的。 410、如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F 求证：梯形ABCD是等腰梯形； 当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积 证明：ADBC， DEC=EDA，BEA=EAD， 又

9、EA=ED， EAD=EDA， DEC=AEB， 又EB=EC， DECAEB， AB=CD， 梯形ABCD是等腰梯形 当ABAC时，四边形AECD是菱形 证明：ADBC，BE=EC=AD， 4 四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形 AB=ED， ABAC， AE=BE=EC， 四边形AECD是菱形 过A作AGBE于点G， AE=BE=AB=2， ABE是等边三角形， AEB=60， AG= 3， S菱形AECD=ECAG=23 =23 11、如图,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,且AB=CD,下列结论 1EGFE；四边形EFGH是矩形；HF平分EHG EG=；2四边

10、形EFGH是菱形. 其中正确的个数是 C A.1 B.2 C.3 D.4 解答 ：E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点, EF=1/2CD,FG=1/2AB,GH=1/2CD,HE=1/2AB, AB=CD, EF=FG=GH=HE, 四边形EFGH是菱形, EGFH,正确； 四边形EFGH是矩形,错误； HF平分EHG,正确； 当ADBC,如图所示：E,G分别为BD,AC中点, 连接CD,延长EG到CD上一点N, EN=1/2BC,GN=1/2AD, EG=1/2,只有ADBC时才可以成立,而本题AD与BC很显然不平行,故本小题错误； 四边形EFGH是菱形,正确 综上所述,共3个

11、正确故选C 12、准备一张矩形纸片，按如图操作： 将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点 求证：四边形BFDE是平行四边形； 若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积 证明：四边形ABCD是矩形， 5 A=C=90，AB=CD，ABCD， ABD=CDB， EBD=FDB， EBDF， EDBF， 四边形BFDE为平行四边形 解：四边形BFDE为菱形， BE=ED，EBD=FBD=ABE， 四边形ABCD是矩形， AD=BC，ABC=90， ABE=30， A=90，AB=2， AE= 22343 = ，BF=BE=2A

12、E= ， 333菱形BFDE的面积为： 43832= 3313、已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF 求证：DOEBOF 当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由 四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OB=OD， EDO=FBO，OED=OFB. DOEBOF. 当DOE=90时，四边形BFDE为菱形，理由如下： DOEBOF，DE=BF. 又EDBF，四边形BEDF是平行四边形. DOE=90，EFBD. 四边形BEDF是菱形 14、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形

13、，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_cm 如图将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为_ 解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在RtABC中，由勾股定理：x2=2+22，解得：x=17/4 4x=17，即菱形的最大周长为17cm 故答案为17 6 如图1，过点A作AEBC于E，AFCD于F， 两条纸条宽度相同，ABCD，ADBC，AE=AF， 四边形ABCD是平行四边形，S四边形ABCD=BCAE=CDAF， 又AE=AF， BC=CD， 四边形ABCD是菱形； 当两张

14、纸条如图2所示放置时，菱形周长最小，即是正方形时取得最小值为：24=8 故答案是：8 15、如图，菱形纸片ABCD的一内角为60，边长为2，将它绕O点顺时针旋转90后到ABCD位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是_ 解：AD=AB=2，DAB=60， DAO=BA=30， OD=OB=1，AO=AO=3， AB=AO-BO=31， DAC=30，ABC=60 DAC=AFB=30， AB=BF=FD=AD， BF=FD=3-1， 根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形， 旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长是8(3-1) 16、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF

15、与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2 若CE=1，求BC的长； 求证：AM=DF+ME 解：四边形ABCD是菱形， ABCD，1=ACD， 1=2， ACD=2， MC=MD， MECD， CD=2CE， CE=1， CD=2， BC=CD=2； 1证明：如图，F为边BC的中点，BF=CF= BC， CF=CE， 2在菱形ABCD中，AC平分BCD， ACB=ACD， CE=CF 在CEM和CFM中， ACD=ACB CM=CM 7 CEMCFM， ME=MF， 延长AB交DF于点G， ABCD， G=2， 1=2， 1=G， AM=MG， G=2 在CDF和BGF中， BFG=

16、CFD BF=CF CDFBGF， GF=DF， 由图形可知，GM=GF+MF， AM=DF+ME 17、如图，在等腰三角形ABC中，ABC=90，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，求证：DE=DF 若AE=4，FC=3，求EF长。 解：连接BD 等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点， BDAC，BD=CD=AD，ABD=45， C=45，ABD=C DE丄DF， FDC+BDF=EDB+BDF， FDC=EDB 在EDB与FDC中， EDBFDC， DE=DF； EDBFDC， BE=FC=3， AB=AE+BE=4+3=7，则BC=AB=7， BF=BC-CF

17、=7-3=4 在RtEBF中，EBF=90，EF2=BE2+BF2=32+42， EF=5故线段EF的长为5 18、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2。. 请你探究：当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图(2)证明你的结论 答：对图(2)的探究结论为_ 对图(3)的探究结论为_ 8 结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2 证明：如图2过点P作MNAD于点M，交BC于点N，因为ADBC，MNAD， 所以MNBC 在RtAMP中，PA2=PM2+MA2 在

18、RtBNP中，PB2=PN2+BN2 在RtDMP中，PD2=DM2+PM2 在RtCNP中，PC2=PN2+NC2 所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2 因为MNAD，MNNC，DCBC， 所以四边形MNCD是矩形所以MD=NC， 同理AM = BN， 所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2 即PA2+PC2=PB2+PD2 19、如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE：AC=_ ASK：从D，E处向AC作高DF，EH 设AB=4k，AD=

19、3k，则AC=5k 由AEC的面积=4k3k=5kEH，得EH=12k/5； 根据勾股定理得CH=9k/5， 四边形ACED是等腰梯形， CH=AF=9k/5， 所以DE=5k-9k/52=7k/5 所以DE：AC=7k/5：5k=7：25 故答案为：7：25 20、如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若ABE是等边三角形，求ASK：过E作EMAB于M，交DC于N， 四边形ABCD是矩形， DC=AB，DCAB，ABC=90， MN=BC， ENDC， 延AC折叠B和E重合，AEB是等边三角形， EAC=BAC=30， 设AB=AE=BE=2a，则BC

20、=a， 即MN=a， ABE是等边三角形，EMAB， AM=a，由勾股定理得：EM=a， 9 DCE的面积是DCEN=2a=a， 2ABE的面积是ABEM=2aa=a， 2= 21、如图所示，在RtABC中，ABC=90将RtABC绕点C顺时针方向旋转60得到DEC，点E在AC上，再将RtABC沿着AB所在直线翻转180得到ABF连接AD 求证：四边形AFCD是菱形； 连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形，为什么？ 证明：RtDEC是由RtABC绕C点旋转60得到的， AC=DC，ACB=ACD=60， ACD是等边三角形， AD=DC=AC， 又RtA

21、BF是由RtABC沿AB所在直线翻转180得到的， AC=AF，ABF=ABC=90， ACB=ACD=60， AFC是等边三角形， AF=FC=AC， AD=DC=FC=AF， 四边形AFCD是菱形； 四边形ABCG是矩形 证明：由(1)可知：ACD，AFC是等边三角形， ACBAFB， 1EDC=BAC=FAC=30， 21且ABC为直角三角形，BC=AC， 21EC=CB， EC=AC， 2E为AC中点， DEAC，AE=EC， AGBC， EAG=ECB，AGE=EBC， AEGCEB， AG=BC， 四边形ABCG是平行四边形，而ABC=90， 四边形ABCG是矩形 22、矩形纸片A

22、BCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当EFC为直角三角形时，求BE的长 10 解：由题意可知有两种情况，见图1与图2； 图1：当点F在对角线AC上时，EFC=90， AFE=B=90，EFC=90，点A、F、C共线， 矩形ABCD的边AD=8， BC=AD=8， 在RtABC中，AC=10， 设BE=x，则CE=BCBE=8x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x， CF=ACAF=106=4， 在RtCEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+42=2，解得x=3，即BE=3； 图2：当点F落在AD边上时，CEF=90

23、， 由翻折的性质得，AEB=AEF=45， 四边形ABEF是正方形， BE=AB=6， 综上所述，BE的长为3或6 23、平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,点P是四边形外一点,且PAPC,PBPD,垂足为P。求证：四边形ABCD是矩形 证明：连接OP 在直角APC中,OP是斜边中线 1在OP=2AC 2直角BPD中,OP是斜边中线 1又OP=BD AC=BD 2四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形 24、如图，在平行四边形ABCD中，DAB=60，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G 求证：四边形DEBF是菱形； 请判

24、断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明 证明：四边形ABCD是平行四边形 ABCD且AB=CD，ADBC且AD=BC E，F分别为AB，CD的中点， 11BE=AB，DF=CD， BE=DF， 22四边形DEBF是平行四边形 1在ABD中，E是AB的中点，AE=BE=AB=AD， 2而DAB=60 AED是等边三角形，即DE=AE=AD， 故DE=BE 11 平行四边形DEBF是菱形 四边形AGBD是矩形，理由如下： ADBC且AGDB 四边形AGBD是平行四边形 由的证明知AD=DE=AE=BE， ADE=DEA=60， EDB=DBE=30 故ADB=90 四边形AGBD是矩形 25

25、、如图，在RtABC中，ACB=90，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若DE=2，CD=2，则BE的长为：42 26、如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK。 (1)若1=70，求MKN的度数； 1(2)MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理2由； (3)如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。 解：(1)四边形ABCD是矩形，AMDN，KNM=1， KMN=1，KNM=KMN， 1=70，KNM=KM

26、N=70，MKN=40； (2)不能，理由如下： 过M 点作AEDN，垂足为点E，则ME=AD=1， 由知，KNM=KMN， MK=NK， 又MKME，ME=AD=1， MK1， 12 11NKME， 2211即MNK面积的最小值为，不可能小于； 22(3)分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K与点D也重合， 设NK=MK=MD=x，则AM=5-x， 根据勾股定理，得12+2=x2， 解之，得x=2.6， 12.6=1.3； 则MD=NK=2.6，SMNK=SMND=2情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为AC， 设MK=AK=CK=x，则DK=5-x， 同理可

27、得，MK=AK=CK=2.6， 12.6=1.3， SMNK=SACK=2因此，MNK的面积的最大值为1.3。 27、如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。 (1)那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。 (2)在(1)的前提下ABC满足什么条件,四边形AECF是正方形？(直接写出答案,无需证明)。 (1)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形. 1证明：如图所示O运动到AC中点，OA=OC=AC， 2MNBC，1=2(两直线平行，内错角相等) CF为BCA的外角平分线

28、1=3， 2=3 OF=OC，同理可得OE=OC OA=OC，OF=OC，OE=OCOA=OC=OE=OF即EF、AC相互平分，且AC=EF，四边形AECF是矩形. (2)当ABC为直角三角形且BCA=90时四边形AECF是正方形. 证明MNBCAOE=BCA=90即ACEF，又四边形AECF是矩形，又SMNK=13 四边形AECF是正方形. 28、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。 如图1，连接AF、CE，求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长； 如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动

29、一周，即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止，在运动过程中， 已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值； 若点P、Q的运动路程分别为a、b，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。 解：四边形ABCD是矩形， ADBC， CAD=ACB，AEF=CFE， EF垂直平分AC，垂足为O， OA=OC， AOECOF， OE=OF，四边形AFCE为平行四边形， 又EFAC， 四边形AFCE为菱形， 设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=cm， 在RtABF中，AB=4cm，

30、由勾股定理得42+2=x2， 解得x=5， AF=5cm； 显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形， 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， 以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， 点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， PC=5t，QA=124t， 5t=124t， 4解得， t=S 3以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是 4平行四边形时，t=秒. 3由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q

31、在互相平行的对应边上， 分三种情况： 如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12b，得a+b=12 14 如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12b=a，得a+b=12 如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12a=b，得a+b=12， 综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12。 29、如图，矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD边上1的一点，DE=AD，连接BE，n作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F、G，FG与BC的交点为O，连接BF和EG。 试判断四边形BFEG的形状，并说明理由； 当AB= a，n=3时，求FG的长； 记四

32、边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当S117时，求n的值。=S230 解：四边形BFEG是菱形，理由： FG为BE的垂直平分线，FEFB，GBGE，FEBFBO. 又FEBG，FEBGBO. FBOGBO，BOBO，BOFBOG. BOFBOG. BFBG. BGGEEFFB. BFEG为菱形. 4a5a4a2a；AE=，BE=，设EF=m，则AF=-m，333325a222由勾股定理得：AB+AF=BF，解得m=， 245a1又菱形面积S=BEFG=EFAB；FG=； 42AB= a，n=3；AD=2a，DE=n=6。 S1171717BG17=；，设AB=a，则AD=BC

33、=2a，EF=FB=BG=BC=a，所以=3015BC30S2308112a，DE=AD-AF-EF=a，又DE=AD=a，所以n=6。 153nnAF=15 30、如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线D-C-B方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动 若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？ 动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；如果

34、线段MN不过此交点，请说明理由 点N只在AD上运动， 当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形， 即2.5t7.5， 设经过t秒，四点可组成平行四边形分两种情形： 当M点在E点右侧， 如图：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形， DN=t，CM=2t-5， AN=10-t，EM=10-4-， 10-t=10-4-， 解得：t=1， 2.5t7.5， t=1舍去， 当M点在B点与E点之间，如图， 则MC=2t-5，BM=10-=15-2t， ME=4-=2t-11， 2t-11=10-t，解得t=7，此时符合， 16 当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；

35、 动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图， 四边形ABCD是矩形， OA=OC，ADBC， NAO=MCO， NAOMCO 在ANO和CMO中 AOOC AONCOM ANOCMO， AN=CM， 设N运动的时间是t秒，则10-t=2t-5， 解得：t=5， 即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒 31、如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45得到正方形ABCD，AB交AD于点E，连接AA、CE求证： ADACDE； 直线CE是线段AA的垂直平分线 证明：四边形ABCD是正方形

36、， AD=CD，ADC=90， ADE=90， 根据旋转的方法可得：EAD=45， AED=45， AD=DE， 在AAD和CED中， AADCED； AC=AC， 点C在AA的垂直平分线上， AC是正方形ABCD的对角线， CAE=45， AC=AC，CD=CB， AB=AD， 在AEB和AED中， AEBAED， 17 AE=AE， 点E也在AA的垂直平分线上， 直线CE是线段AA的垂直平分线 32、如图，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到FOE ） 探究AE与BF的数量关系，并给予证明； 当=3

37、0时，求证：AOE为直角三角形。 解：AE=BF，证明如下： O为正方形ABCD的中心， OA=OB=OD， OE=OF EOF是EOF绕点O逆时针旋转角得到， OE=OF， AOB=EOF=90， EOA=90-FOA=FOB， 在EOA和FOB中， EOAFOB AE=BF； 取OE中点G，连接AG， AOD=90，=30， EOA=90-=60， OE=2OA， OA=OG， EOA=AGO=OAG=60， AG=GE， GAE=GE1A=30， EAO=90， AOE为直角三角形。 33、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF。 求证：BE=DF； 连接

38、AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论。 证明：四边形ABCD是正方形， AB=AD，B=D=90， AE=AF， ABEADF， BE=DF； 四边形AEMF是菱形； 四边形ABCD是正方形， BCA=DCA=45，BC=DC， 18 BE=DF， BC-BE=DC-DF，即CE=CF， OE=OF， OM=OA， 四边形AEMF是平行四边形， AE=AF， 平行四边形AEMF是菱形。 34、 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分DAM 证明：AM=AD+MC； AM=DE+

39、BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示、中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明 证明：延长AE、BC交于点N，如图1， 四边形ABCD是正方形， ADBC DAE=ENC AE平分DAM， DAE=MAE ENC=MAE MA=MN 在ADE和NCE中，ADENCE AD=NC MA=MN=NC+MC=AD+MC AM=DE+BM成立 证明：过点A作AFAE，交CB的延长线于点F，如图1所示 四边形ABCD是正方形， BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC AFAE， FAE=90 FAB=90

40、BAE=DAE 19 在ABF和ADE中， ABFADE BF=DE，F=AED ABDC， AED=BAE FAB=EAD=EAM， AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM 来源:Z。xx。k.ComF=FAM AM=FM AM=FB+BM=DE+BM 结论AM=AD+MC仍然成立 证明：延长AE、BC交于点P，如图2， 四边形ABCD是矩形， ADBC DAE=EPC AE平分DAM， DAE=MAE EPC=MAE MA=MP 在ADE和PCE中，ADEPCE AD=PC MA=MP=PC+MC=AD+MC 结论AM=DE+BM不成立 证明：假设AM=DE+BM成立 过点A作AQAE，交CB的延长线于点Q，如图2所示