理论力学期末前复习题3填空选择.docx

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1、理论力学期末前复习题3填空选择一、填空题 1、质点运动方程为 r = a t ，= bt，则极坐标下的轨道方程为 ，加速度大小为 。 r=aq；ab4+b2t2；a1+b2t2 b1、质点运动方程为x=acoswt,y=bsinwt其轨道方程为 ，速度大小为 。 x2y222222+2=1;v=asinwt+bcoswt ab2、单位质量的两个质点位于xy平面上运动，在某时刻其位矢、速度分别为rrrrrrrrrrvrrr1=i+3j,r2=2i+3j,v1=i-j,v2=2i+5j 则此时质心位矢rc= ，质心速度为vc= ，质系动量p= ，质系动能T= ，vvv质系对原点的角动量J= 。 v

2、vvvvvvv1v1vvrc=(3i+4j)vc=(3i+4j)；p=3i+4j ；T=31/2；J=2k 22vvvvvv3、质量均为1的三个质点组成一质系，若其瞬时速度分别为v，=-2j,v=2k,v=3i123vvv则质系的动量为 ，质心速度为 。3i-2j+2k ；v2v2vi-j+k 333、质量均为1的三个质点组成一质系，某时刻它们的位矢分别为vvvvvvvvvvr1=2i+3j+k,r2=i+j,r3=2j+k,，则质系的质心位矢为 。v2vvvrc=i+2j+k 3vrvv1224、已知质点势能为V=(x+y)，则保守力F= 。F=-xi-yj 25、当质点受有心力作用时，其基

3、本守恒律的数学表达式为 和 。&=h；r2q1&2)+V(r)=E &+r2qm(r26、一个圆盘半径为r，质量为m，沿直线作纯滚动，盘心速度为vc，则圆盘的转动角速度 v11圆盘的绝对动能T= 。w=vc/r；w= ，T=mvc2+mr2w2 247、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置： V V B VB V c VB VB 7、标出下列两图中作平面运动刚体的转动瞬心的位置： VVB VVB c c VA VA c VA VB VA VB 8、作用在刚体上的力可沿力的作用线任意移动而不影响它的作用效果，这叫 ，因此作用在刚体上的力是 矢量。力的可传性原理；滑移 9、科里奥利力的表达

4、式是 ，一个圆盘以角速度w匀速转动，盘上有一质vv；如图示 点相对盘运动，相对速度如图所示，请标出科氏力的方向。Fc=-2mwv v v w w Fc 10、一质点限制在光滑球面上运动，球面半径为R=at，则质点运动约束方程的直角坐标表达式为 ，这种约束属于 约束。 11、质量为m，边长分别为2a和2b的矩形薄板，在薄板上建立如图坐标系，则薄板对其中心的惯量椭球方程是 。211、一半径为r,质量为m的均质圆盘，其主轴如图，则圆盘对原点的中心惯量椭球方程为 。122mr(x+y2+2z2)=1 2z z 2a o 2b y y x x 12、质量m的质点在固定点附近作一维简谐振动x=Asint，

5、质点的拉格朗日函数为 ，哈密顿函数为 。 Px211222L=m(x&-wx)，H=+mw2x2 22m213、若力学体系的拉格朗日函数L=1&2+y&2+z&2)-mgz,则循环坐标m(x2&=常数 为 ，循环积分为 。x,y；mx&=常数，my1k2m22&214、若质点在有心力场中运动的拉格朗日函数为L=m(r,则循环坐标&+rq)+2r&=常数 为 ，循环积分为 。q；mrq216、如图 V(x)-x 图为势能曲线，E1、E2为质点的总机械能，当质点能量为E1时，质点处于 状态，当质点能量为E2时，质点在x1、x2之间作 运动 稳定平衡；往复 V(x) V(x) x1 x2 x3 x

6、E2 E1 17、当约束方程含有时间t 时，称为 约束，例如一单摆的摆长原为 l0 ,以不变速222x+y(l-vt)率v变短,则摆的约束方程为 。不稳定； 18、对作用在刚体上的力系进行简化时，总是选定一点作为简化中心，力系的合力叫 合力偶叫 ，改变简化中心时， 不变， 改变。 主矢，主矩，主矢，主矩 19、在转动参照系中，科里奥利加速度是由 和 互相影响而产生的。 牵连运动；相对运动 20、虚位移只需满足约束条件，因而在方向上具有 ，而实位移只有一个，当约束 时，实位移是虚位移中的一个。任意性，稳定 21、刚体做定点转动时，其转动轴的方向是 的，转动瞬时轴在惯性空间和刚体各画出一个顶点在固

7、定点的 面，前者叫 ，后者叫 。 随时变化；锥；空间极面；本体极面 22、刚体作平面运动时，瞬心的瞬时速度为零，加速度 ，当瞬心在无穷远处时，刚体作 运动。 不为零；平动 100vvvvv23、刚体作定点转动，已知在动坐标系中，惯量张量I=020，角速度w=2tj+2k，001则在t=2时刻，该刚体的转动惯量为 ，转动动能为 ，动量矩为 ，所受外力矩为 。 24、若刚体作平面平行运动，取动坐标系，基点A的速度vA=2ti，刚体绕基点转动的角vvvvvv速度w=3k，则在t=1时刻该刚体上位矢为r=3j的点B的速度vB= ，v加速度aB= ，瞬心位置rc= ，并求出其本体极迹为 。 vvv25、

8、动坐标系绕O点以角速度w=5k转动，质量为2的质点在动坐标系中的运动方程为vvvv2vr=tj，求该质点在t=1时的速度v= ，加速度a= ，所受牵连惯性力Ft= ，科氏惯性力Fc= 。 26、质量为m1和m2的二质点组成质点组，在相互作用力F=-k(x2-x1-a)下作直线运动，取质心坐标xc和相对坐标x为广义坐标，则此质点系的动能T= ，势能V= ，拉格朗日函数L= ，拉氏方程为 。 27、已知某系统的拉氏函数为L=vv1&2)-V(r)，则循环坐标有 ，守恒量&2+r2qm(r2有 ，哈密顿函数为 ，哈密顿正则方程为 。 500vvvvv28、刚体作定点转动，已知在动坐标系中，惯量张量I

9、=050，角速度w=4i+3tk，0010则在t=1时刻，该刚体的转动惯量为 ，转动动能为 ，动量矩为 ，所受外力矩为 。 6.8/4.8；85；20i+30k；-60j+30k vv29、若刚体作平面平行运动，在动坐标系中，基点A的速度vA=3tj，刚体绕基点转动的角速度w=5k，则在t=1时刻该刚体上位矢为r=2i的点B的速度vB= ，加速度aB= ，瞬心位置rc= ，并求出其本体极迹为 。13j ；-50i+3j；rc=-0.6i；y=0 vvvvvvvv30、转动坐标系绕O点以角速度w=4k转动，质量为3的质点在动坐标系中的运动方程为vvvvv2r=5ti，求该质点在t=1时的速度v=

10、 ，加速度a= ，所受vv牵连惯性力Ft= ，科氏惯性力Fc= 。 10i+20j；-70i-80j；240i；-240j 31、质量为m的质点在作用力F=mwr下作自由运动，取平面极坐标，则该此质点的动能T= ，势能V= ，拉格朗日函数L= ，拉氏方程为 。 22111122&22222&222&T=m(r+rq),V=-mwr;L=m(r+rq)+mwr; 22222&2+w2)=0r&-mr(qmrq=h,m&32、已知某系统的拉氏函数为L=112&c2+mx&-V(r)，则循环坐标有 ，守恒mx22量 ，哈密顿函数为 ，哈密顿正则方程为 。 1211212&c,E=mx&c+mx&+V

11、(x);H=pc+p+V;xc;pc=mx222m2m pcHHpV&c=&=&c=0,p&=-=,x=,pxpcmpmx32、若水平面上的自由质点的拉氏函数为L=1&2+y&2)，则广义动量m(x2为 ，哈密顿函数为 。 &,py=my&;H=px=mx122(px+py) 2m33、如果ox轴是刚体的惯量主轴，则刚体的惯量积 和 必为零。Ixy ；Ixz v34、在定轴转动中，如果角速度w为恒矢量，则距轴R处的点的切向加速度的大小为 ；法向加速度为 。 35、在北半球，河水所受科氏力的水平分量指向河的 岸。 35、在地球上，由于 的作用，使南北方向的气流产生 方向的偏转；北半球河流 岸冲刷

12、较甚，自由下落物体 ，竖直上抛物体 。 科里奥利力；东西；右；偏东；偏西 36、一个半径为R,质量为m的圆盘沿斜面作无滑滚动，质心速度为vc，则它相对转动瞬心的角动量为 。 37、刚体作一般运动时有 个自由度；作平动时有 个自由度；作定轴转动时有 个 自由度；作平面平行运动时有 个自由度；作定点转动时有 个自由度。 6；3；1；3；3 38、泊松括号的定义为j,f= ，用泊松括号表示的正则方程为 。 v(a=1sjfjf&a=pa,H,q&a=qa,H -);pqapapaqa39、质量为m的质点在固定点附近作一维简谐振动x=Asin(wt+a)，则质点的拉格朗日函数为 ，哈密顿函数为 。 2

13、px11222&-wx;H=+w2mx2 L=mx22m2()40、欧勒角即 、 、 三个角，是描述刚体作 运动的三个独立变量。 进动角，章动角，自转角；定点转动 41、选取惯量椭球的三条对称轴为坐标轴时，惯量积将 ，这些对称轴称为 。全部为零；惯量主轴 42、有心力是保守力，质点在有心力作用下运动， 守恒， 守恒。 动量矩/角动量；机械能 43、设Ri为质系中第i个质点所受的约束力,则理想约束条件为 ；若在约束vvv方程中不显含时间t，则此约束称为 约束。Ridri=0；稳定 i44、设质点组第i个质点对知心的速度为vi，质心对定点O的速度为vc，则柯尼希定理表vv121n2示为 。T=mv

14、c+mivi 22i=145、取惯量主轴为坐标轴时，惯量椭球的方程为 。I1x2+I2y2+I3z2=1 46、车轮在直轨上作纯滚动时，轮缘与轨道接触点称为 ，轮缘的圆周曲线称为 ，轨道直线称为 。转动瞬心；本体极迹；空间极迹 47、若力学系统是稳定的，则哈密顿函数H表示系统的 ，而H=常数 则表示系统 。总能量；机械能守恒 vvdrdrdvdv48、表示 ，表示 ，表示 ，表dtdtdtdt示 。 质点的速度矢量；质点的径向速率；质点的加速度矢量；质点的切向加速度 49、在平方反比有心力作用下，若质点能量E0，则轨道形状为 ，若质点能量E0，则轨道形状为 。双曲线，椭圆 49、在平方反比有心

15、力作用下，若质点能量E=0，则轨道形状为 ，若质点能量EG RG R=G R=0 28、一半径为R的圆盘以速度v向前掷去，且使盘绕垂直于盘面的轴以角速度w旋转，w的方向有使盘向后转动的趋势，且有v=Rw，当圆盘落到粗糙地面时，则圆盘： 向前滚动 向后滚动 静止不动 无法判断 29、在以Ixxx2+Iyyy2+Izzz2=1表示的惯量椭球中，有Ixx=Iyy，则此惯量椭球为： 一般椭球 关于x轴对称的旋转椭球 关于y轴对称的旋转椭球 关于z轴对称的旋转椭球 30、轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速绕轴转动，一质量为m的小环，套在金属丝上，并可沿着金属丝滑动，取如图动坐标系，则小环某时刻

16、动能为： 11&2+y&2+z&2) T=mw2x2 m(x2211&2+y&2) T=m(x&2+y&2+w2x2) T=m(x22T=y m O x 31、一圆盘沿直线轨道转动，此运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动，以下哪个说法是正确的： 平动位移与基点的选取无关 转动角速度与基点的选取有关 圆盘与轨道的切点速度、加速度均为零 如果w=0，说明无转动瞬心 rvvvv32、若力场F(r,t)满足：F=-U(r,t)及F=0则此力场为： 保守力场，稳恒力场 非保守力场，非稳恒力场 有势力场，稳恒力场 有势力场，非稳恒力场 33、一力场F=yi-xj，则此力为： 保守力，有心力 非保守力，

17、有心力 保守力，非有心力 非保守力，非有心力 34、有人对拉格朗日方程vvvdTT-=Qa有如下理解，正确的有： &adtqqa方程中的坐标不包含系统的非独立坐标 方程中的动能T既可以是对惯性系的，也可以是对非惯性系的 对惯性系与非惯性系，拉氏方程的形式不同 拉氏方程的个数与力学体系的约束条件无关 35、若选定直角坐标后，一质点从原点射出作抛体运动，以下说法正确的有： 质点的拉格朗日函数为L=哈密顿函数为L=1&2+y&2+z&2)+mgz m(x21&2+y&2+z&2)-mgz m(x2&=常数，my&=常数 (D) 循环坐标为z 循环积分为mx36、一卧放的圆锥体，限制在一平面上运动，其

18、自由度： 为6 为4 为3 为2 r 37、一金属圈套在圆环上，圆环以匀角速绕其对称轴转动，则金属圈受到的约束为： 完整、可解、稳定约束 不完整、不可解、不稳定约束 完整、不可解、稳定约束 完整、不可解、不稳定约束 38、力学系统受约束如下，试指出非理想约束 两球用刚性杆相连 两刚体用光滑铰链相连 车轮在粗糙轨道上作滑动 车轮在粗糙轨道上作纯滚动 39、圆盘以匀角速度w绕竖直轴转动，离盘心为r的地方安装着一根竖直管，管中有一球沿管下落，则此球受到的惯性力有： 三种惯性力 科里奥利力和惯性离心力 科里奥利力 惯性离心力 40、有关惯性力与惯性离心力有如下说明，正确的有： 惯性离心力是作用在质点上

19、的力，有反作用力，符合牛顿定律 惯性离心力是作用在质点上的力，没有反作用力，不符合牛顿定律 离心力是作用在质点上的力，有反作用力，符合牛顿定律 离心力是作用在质点上的力，没有反作用力，不符合牛顿定律 A C B l O R 一、计算题 1、通风机的转动部分以某一初角速度w0绕其轴转动，空气阻力矩与角速度成正比，比例常数为k，如转动部分对其轴的转动惯量为I，问经过多少时间后其转动的角速度为初角速度的一半。 解：Idw=M=-kwdtw02积分：w0dwk=-dt wI0Iln2kt得：t=2、设质量为m1和m2的两质点相距为l，求其中心转动惯量。 解答：取质心为坐标原点Qx1+x2=l,m1x1

20、=m2x2x1=m2m1l,x2=l m1+m2m1+m2x1 x2 m1 x m2 y m1m22I1=0,I2=I3=lm1+m23、利用拉格朗日方程推导平面极坐标系下质点运动方程。 解答：取极坐标r、q为广义坐标vvvdr=dri+rdqjvvdW=Fdr=Frdr+rFqdqQr=Fr,Qq=rFqT= r j i m 1&2)代入拉氏方程得：&2+r2qm(r2&2)=F；m(rq&+2r&)=F&qm(&r&-rqrq4、 半径为a的光滑圆形金属丝圈，以匀角速绕竖直直线转动，圈上套着质量为m的小环，起始时小环自圆圈最高点无初速地沿着圆圈滑下当环和圈中心的连线与铅直直径成角时，用哈密

21、顿原理求出小环的运动微分方程。 解答：体系自由度为1，取如图q为广义坐标1&2+a2w2sin2q)-mgacosqL=m(a2q2t2代入哈密顿原理：dLdt=0t1 m a 利用dqt1=0,dqt2=0g)sinq=0a&-得：q 2解答：ma=mg-TIAb=mgr13IA=mr2+mr2=mr2222gb=3r2a=rb=g3wT= 3 T O r A w r28、半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度可以用下式表示r=r0(1-a2),式中r0 R及a是常数。试求圆柱绕直径转动时的回转半径。 3解答：m=rdV =00Rp2p05-3ar22) r0(1-a2)rsinqdqdr

22、dr =4pr0R3(15R257-5aI=r2rdV=pr0R53835I14-10ak=Rm35-21a9、两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起，且ABC形成一直角，如图，棒AB长为a，BC长为b，线密度均为r，B点有一质量为m的质点和棒联结，求平衡时的q角。 解答： V=-abragcosq-amgcosq-(acosq+sinq)brg 22a2mb2=-gr(+a+ab)cosq+sinq 2r2 因为：V=0 qA 2-(amb+a+ab)cosq+cosq=0 2r22 B tgq=2b2a+2ab+2amrC 10、质量为m，长为2l的均质棒，A端抵在光滑墙上，而棒身斜靠在

23、与墙相距为d 的光滑棱角上，棒的B端固定一质量为m的质点，求平衡时棒与水平面 所成的角q。 解答：V=(2lsinq-dtgq+lsinq-dtgq)mg =mg(3lsinq-2dtgq)mg A B V1=3lcosq-2d=0qcos2qcosq=(2d)3l1311、证明：q=2PsinQ,p=2mwPcosQ，为正则变换。 mwmwq21证明：由题意：P= 22sinQp=2mwPcosQ=mwqctgQ 代入正则变换条件：(padqa-PadQa)=dF 右方 amwq21mw2mwqctgQdq-dQ=d(qctgQ)=dF 22sinQ2所以得证 12、一直线以匀角速度w在一固

24、定平面内绕其一端转动，当其直线位于ox的位置时，有一质点P开始从O点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度v的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动？ vv解答：w=wk,r=rivrvvvv&i+wk(ri)=r&i+wrj v=r&2+w2r2v2=r&=v2-w2r2=rdrdtt0rdrv2-w2r2sin-1(v0=dtO x 1wvwr)=tr=wsinwt13、证明：Q=ln(sinp),P=qctgp为一正则变换。 1q1证明：pdq-PdQ=pdq-qctgpdln(sinp)q=pdq-qdp+ctgpdq-qdp-qctg2pdp=d(pq)+ctgpdq-qcsc2pd

25、p=d(pq+qctgp)=dF 所以得证。 14、一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速度w转动，管中有一质量为m的质点，开始时细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对管的运动微分方程。 解答：取广义坐标q=xvvvvvvv&iv=v0+v=wr+v=xwj+xT=1&2),U=mgxsinwtm(w2x2+x2 1222&)-mgxsinwtL=T-U=m(wx+x2dLL代入-=0&dtxx&-w2x=-gsinwt得：&xP t O 15、试用哈密顿正则方程导出单摆作微振动时的运动微分方程，设单摆的摆长为l。解答：取如图q=q为广义坐标，取O所在的水平面为零势面12&2mlq,U=-mglcosq21&2+mglcosqL=T-U=ml2q2L&pq=ml2q&q&q&=pq,q&=pqml2ml2T=y o x m