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1、电大专科微积分初步小抄电大微积分初步考试小抄 一、填空题 =f(x)或d(f(x)dx)=f(x)dx x方程y-1=10.微分方程y=y,y(0)=1的特解为 y=e . 111(x-1)y=x+ 222函数f(x)=15-x的定义域是 y=y dy5x0 x5 dx=y dyy=dx两边积分1ydy=dx y=limex+c又y(0)=1 (x=0 , y=1) xxsin1x= 1 lny=x+c 1=e0+c，c=0 limsinxxx=1，x时，1x0 11.函数f(x)=1ln(x+2)+4-x2的定义域是已知f(x)=2x，则f(x)= 22 (-2，-1)(-1,2 若f(x)
2、dx=F(x)+c，则f(2x-3)dx=14-x20-2x22F(2x-3)+C x+20x-2微分方程xy+(y)4sinx=ex+y的阶数是 三ln(x+2)0ln(x+2)ln1 阶 y -2x2-2x26.函数f(x)=1x+21x-1ln(x+2)的定义域是U x2-6x 13.曲线y=x在点(1,1)处的切线方程是=x4-6x3+11x2-6x , y=43-18x2+22x-6 y(0)=-6,x 2x+2 19.de-x22dx=e-xdx y=x=x2 ， y=1-112x2 y|x=1=2=k切 14.(sinx)dx= sin x+c 15.微分方程(y)3+4xy=y
3、5sinx的阶数为 三阶 16.函数f(x)=xln(x-2)的定义域是U x-20xln(x-2)02ln(x-2)n x2x-21x|x2且x317.limsinxx2x= 1/2 18.已知f(x)=x3+3x，则f(3)= 27+27ln3 f(x)=3x2+3xln3 f(3)=27+27ln3 19.dex2= ex2+c 20.微分方程(y)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为 四阶 二、单项选择题 设函数y=e-x+ex2，则该函数是ex+e-xf(-x)=2=f(x)所以是偶函数函数f(x)=x-3x2-3x+2的间断点是分母无意义的点是间断点x2-3x+2=0,x=1,x
4、=2 下列结论中正确可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 11如果等式f(x)exdx=-ex+c，则f(x)= Qf(x)dx=F(x)+C,F(x)=f(x),(e-1x)=，令u=-1x,y=eu (e-1x)=(eu)(-1x)=eu-(x-1)-1=eu(x-2)=exx2-1f(x)e-1=exx1x2f(x)=x2下列微分方程中，是线性微分方程 x-x6.设函数y=e-e2，则该函数是 7.当k=时，函数f(x)=x2+2,x0k,x=0在x=0处连续. 8.下列函数在指定区间(-,+)上单调减少的是 dx=d3x9.以下等式正确的是 10
5、.下列微分方程中为可分离变量方程的是 11.设f(x+1)=x2-1，则f(x)= 12.若函数f (x)在点xlim0处可导，则(xxf(x)=A，0但Af(x0)是错误的 13.函数y=(x+1)2在区间(-2,2)是 14.xf(x)dx=(xf(x)-f(x)+c） 15.下列微分方程中为可分离变量方程的是 16.下列函数中为奇函数是 17.当k=时，函数f(x)=ex+1,x0在x=k,x=00处连续. 18.函数y=x2+1在区间(-2,2)是 19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点的曲线为 20.微分方程y=y,y(0)=1的特解为 三、计算题 x2计算极限lim-3x+2
6、x2x2-4 解:lim(x-1）(x-2)x2x-2=lim(x-1)x2(x+2)=14 设y=e-2x+xx，求dy. 解：e-2x+xx12=e-2x+x32 y1=e-2x y1=eu，u= -2x y11=(eu)(-2x)=eu = -2e-2x 1y= -2e-2x+32x2 dy=(-2e-2x+312x2)dx 计算不定积分sinxxdx 解：令u=x=x12,u=12x-12=12xd1u=2xdx sinu2du=2sinudu=2(-cos)+c = -2cosx+c 计算定积分102xexdx u=x，v=ex,v= ex 1110uvdx=uv|0-0uvdx 1
7、0xexdx=xex|1x0-10edx=xex|1-ex|100 =e-(e-原式=2 e0)=15.计算极限limx2+2x-15 x3x2-9lim(x+5)(x-3)limx+54 x3(x-3)(x+3)=x3x+3=36.设y=xx+lncosx，求dy 1解：y=xx2+lncosx=x32+lncosx y1=lncosx y1y1=(lnu)(cosx)1=lnu1,u=cosx =1u(-sinx)=-sinxcosx131y=sinx2x2-cosxdy=(32x12-sinxcosx)dx 7.计算不定积分(1-2x)9dx 解：(1-2x)9dx 令u=1-2x ,
8、u= -2 du=-2xdx=-du 12Qu9119(-du)=-udu221010(1-2x)1u elnx11xdx+51xdxelnxe=lnx|+5dx111x令u=lnx, u=, e(2x-1)10dx=u101du2=12u10du=1u+c21111111=+c 2x-1=-29+1+c=-20+c8.计算定积分1-x0xedx 解：u=x,v=e-x，v=-e-x 1xe-xdx=-xe-x|1-1(-e-x000)dx=e-1-1e-x0d(-x)=e-1-e-x|10=1e-(1e-1)=1 9.计算极限limx2-6x+8x4x2-5x+4lim(x-2)(x-4)x
9、-2x4(x-1)(x-4)=limx4x-1=23 10.设y=2x+sin3x，求dy y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y1=3cos3x y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分xcosxdx xcosxdx u=x , v=cosx , v=sinx xcosxdx=xsinx- sinxdx=xsinx-(-cosx)+c12.计算定积分e1+5lnx1xdx =1+5elnx1xdxdu=1xdx , 1xe 0lnx1 elnx112111xdx=0udu=2u|0=2原式=1+5172=2x213.计算极限li
10、m-3x+2x2x2+x-6 解：lim(x-2)(x-1)x2(x+3)(x-2)=limx-1x2x+3=15114.设y=x2ex，求y 解：y=x2e1xy=e1(x1) , yu1=e , u=1x , 1y11=(eu)(1x)=eu(-1xx2)=-ex2) y=(x21)ex+x21(ex)11=2xe+x(-ex11 x2x2)=2xex-ex15.计算不定积分(2x-1)10dx 解：(2x-1)10dx u=2x-1 ,d=2 du=2dx x216.计算定积分10xexdx 解：1xex , v=ex0xedx u=x , v= 1xx11x0xedx=xe|0-0ed
11、x =e-(e-1)=1四、应用题 用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h=4x2所以S(x)=x2+4xh=x2+16xS=2x-16x2令S=0，得x=2 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。 此时的费用为S10+40=160元 欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216
12、另一边长为216/x 总材料y=2x+3216/x=2x +648xy=2+648(x-1)=2+648(-1) =2 - 648x2y=0得2 =648一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 2 设底边长为a 底面积为aah=v=32 h=22x2 x=324 x=18 232a22表面积为a+4ah= a+4ay= a+232128a2= a+2128a , y=2a+128( -1a2y=0 得 2a=128a)=2a-128a2a2 a=64 a=4 3底面边长为4， h=32=2 16设矩形的周长为120厘米
13、，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x 以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-x V=px v=260px-3px=120px-3px v=0得：120px=3pxx=40 (60-x)=60p2x2x2-p322矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax 作业函数，极限和连续 一、填空题 1.函数f(x)=1的定义域是 答案：ln(x-2)Ay=x Bx轴 Cy轴 D坐标原点 4下列函数中为奇函数是 Clnx2,3)U(3,+) x2 2函数f(x)=(-,5) 3.15-x的定义域是 答案：
14、函数12的定义域1答案：D +ln(x+5)的定义域为 x+4 Ax-5 Bx-4 Cx-5且x0 5函数y=x-3的间断点是答案：A 22x-3x+2ln(x+1+x) Ax=1,x=2 Bx=3 Cx=1,x=2,x=3 D无间断点 12函数f(x)=f(x)=lnx(+2)+4-x是 答案：(-2,-1)U(-1,2 4.函数f(x-1)=x2-2x+7，则f(x)= 答案：x2+6 5函数f(x)=x2+2x0，则f(0)= 答案：2 exx06函数f(x-1)=x2-2x，则f(x)= 答案：x2-1 7函数y=x2-2x-3x+1的间断点是 答案：x=-1 8.limxsin1xx
15、= 答案： 1 9若limsin4xkx=2，则k= 答案： 2 x0sin 10若limsin3x=2，则k= 答案： 1.5； x0kx二、单项选择题 1e-x+ex设函数y=2，则该函数是答案：B A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 2设函数y=x2sinx，则该函数是答案：A A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数2x+2-xf(x)=x2的图形是关于对称答案：D Dx-5且x-4 6函数f(x)=1ln(x-1)的定义域是答案：D A(1,+) B(0,1)(1,+) C(0,2)(2,+)D(1,2)(2,+) 7设f(x+1)=x2-1，则f(
16、x)=答案：C Ax(x+1) Bx2 Cx(x-2)D(x+2)(x-1) 8下列各函数对中，中的两个函数相等答案：D Af(x)=(x)2，g(x)=x Bf(x)=x2，g(x)=x Cf(x)=lnx2，g(x)=2lnx Df(x)=lnx3g(x)=3lnx 9当x0时，下列变量中为无穷小量的是答案：C. A1x Bsinxx Cln(1+x) Dxx210当k=时，函数f(x)=x2+1,x0k,x=0，在x=0处连续. 答案：B A0 B1 C2 D-1 11当k=时，函数f(x)=ex+2,x0在x=0k,x=0处连续 答案：D 三、解答题 计算极限limx2-3x+2x2x
17、2-4 解 limx2-3x+2x2x2-4=lim(x-1)(x-2)x-11x2(x+2)(x-2)=limx2x+2=42计算极限limx2+5x-6x1x2-1 解 limx2+5x-6(x+6)(xx1x2-1=lim-1)x+67x1(x+1)(x-1)=limx1x+1=2 3.limx2-9x3x2-2x-3 解：原式lim(x+3)(x-3)x3(x+1)(x-3)=limx+3x2x+1=32. 4计算极限limx2-6x+8x4x2-5x+4 解 limx2-6x+8(x-4)(x-2)x-22x4x2-5x+4=limx4(x-4)(x-1)=limx4x-1=3 x2
18、-6x+85计算极限lim x2x2-5x+6解 3曲线y=xx-12在点(1,1)处的切线方程是 答案：2y+x=3 x2-6x+8(x-4)(x-2)x-44(2)=2xln21dx x5设y=f(x)是可微函数，则df(cos2x)= 答案：D A2f(cos2x)dx Dlim 答案：x2x2-5x+6=limx2(x-3)(x-2)=limx2x-3=2 2x或16.计算极限lim1-x-1x0x 解 2x-ln2x lim1-x-1(1-x-1)(1-x+1)5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y(0) = 答案：x0x=limx0x(1-x+1)-6 =lim-x=
19、lim-116已知f(x)=x3+3x，则f(3)= 答案：x0x(1-x+1)x01-x+1=-2 27(1+ln3) 答案：77已知f(x)=lnx，则f(x)= 计算极限lim1-x-1x0sin4x 解 )-1x2lim(1-x-1)(1-x+1= 答案：x0sin4x(1-x+1)=lim-xx04x(1-x+1)=-1.8若f(x)=xe-x，则f8(0)-2 9函数y=3(x-1)2的单调增加区间是 答案：(1,+) 8计算极限limsin4x10函数f(x)=ax2+1在区间(0,+)内单调增加，则ax0x+4-2 应满足 答案：a0 解 二、单项选择题 sin4xx+4+2(
20、x+4+2)2limx0(x+4-2)()=16.1函数y=(x+1)在区间(-2,2)是 答案：D x+4+2)=lim4xx0xA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增 2满足方程f(x)=0的点一定是函数y=f(x)的答案：C. A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点 一、填空题 13若f(x)=e-xcosx，则f(0)= 答案：C 曲线f(x)=x+1在(1,2)点的斜率是 答A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 案：14设y=lg2x，则dy= 答案：B 22曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是 答A12xdx B1xln10dx Cln10xdx 案：x-y+1
21、=0 Bf(cos2x)sin2xd2x C2f(cos2x)sin2xdx D-f(cos2x)sin2xd2x 6曲线y=e2x+1在x=2处切线的斜率是 答案：C Ae4 Be2 C2e4 D2 7若f(x)=xcosx，则f(x)=答案：C Acosx+xsinx Bcosx-xsinx C-2sinx-xcosx D2sinx+xcosx 8若f(x)=sinx+a3，其中a是常数，则f(x)=答案C Acosx+3a2 Bsinx+6a C-sinx Dcosx 9下列结论中不正确 答案：C Af(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微. Bf(x)在x=x0处不连续，则一定在x
22、0处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若f(x)在a，b内恒有f(x)0)，则f(x)dx=. 答案：A A. x+x+c B. x2+x+c C. 3x2+32x2+c D. 132222x+3x+c 5以下计算正确的是 答案：A A3xdx=d3xdx2ln3 B1+x2=d(1+x) 1=dx Dlnxdx=d xx6xf(x)dx=答案：A Cdxxf(x)-f(x)+c B. xf(x)+c 12C. xf(x)+c D. (x+1)f(x)+c 27da-2xdx= 答案：C A. 使所用的建筑材料最省. 5xedx 解 -xde-x=-xe-x+e-xdx=-x
23、e-x-e-x+c=-(x+1)e-x+c-1111118米和12米时，才能xdcos2x=-xcos2x+cos2xdx=-xcos2x+sin2x+答：这块土地的长和宽分别为c22224-x四、极值应用题 五、证明题 1函数f(x)=x-ex在 1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 lnadx B-2a-2xdx Da-2xdx+c CaAa-2x-2x8如果等式f(x)edx=-e+C，则f(x)= 答案B -1x-1x1解： 设矩形ABCD的一边AB=x厘米，则BC=60-x厘米， 当它沿直线AB旋转一周后，得
24、到圆柱的体积 V=px(60-x),(0x0；当x(20,60)时，V0) 于是围墙的长度为L=3x+14xsindexdx24323 解 ln(x+1)dx= . 答案：0 6x2令L=3-2=0得x=12(取正) 1dxx0112x sin7edx= 答案： -xdx=-sin1d(1)=cos1+c 2易知，当x=12时，L取得唯一的极小值即最小值，x2xxx8微分方程y=y,y(0)=1的特解为 . 答案：1216=18 此时x4xsin2xdx x或y=e x=20是函数V的极大值点，也是最大值点. 此时60-x=40 p2 p2(x5-4x+cosx)dx=_.答案：-2或2 9微
25、分方程y+3y=0的通解为 . 答案：e-3x或y=ce-3x10微分方程(y)3+4xy(4)=y7sinx的阶数为 答案：2或4 二、单项选择题 1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点的曲线为答案：A Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 Cy=x2+2Dy=x2+1 2若10(2x+k)dx= 2，则k = 答案：A A1 B-1 C0 D12 3下列定积分中积分值为0的是 答案：A 1 Aex-e-x-12dx1 Bex+e-x-12dxCp3-p(x+cosx)dx Dp(x2-p+sinx)dx 4f(x)a设是连续的奇函数，则定积分-af(x)dx=答案：D p52-
26、psinxdx=答案：D 2A0 Bp Cp2 D2 6下列无穷积分收敛的是答案：B + A0exdx+ B-x+10edx C1xdx+D11xdx 7下列无穷积分收敛的是答案：B A+0sinxdx B+2x0e-dx C+11xdx D+11xdx 81x10xde=xex10-exdx=e-ex100=e-(e-1)=1下列微分方程中，是线性微分方程答案：D Ayx2+lny=y Byy+xy2=ex4pxsinx Cy+xy=ey02dx pDysinx-yex=ylnx -2p0xdcosxxx9微分方程y=0的通解为2=-2xcos2+4sin2=4 0答案：CpAy=Cx By
27、=x+C Cy=C 5 20xsinxdx Dy=0 pppp10下列微分方程中为可分离变量方程的是 答案：B -20220xdcosx=-xcosx+0cosxdx=0+sinx02=1A. dydx=x+y； B. dydx=xy+y； C. dy=dy6求微分方程y+yx=x2+1满足初始条件y(1)=7dxxy+sinx； D. dx=x(y+x) 4的特 解 P(x)=1三、计算题 x,Q(x)=x2+1 1ln2xex)2通解y=e-P(x)dx0e(1+dx 解 P(x)dxQ(x)edx+cln20ex(1+ex)2dx=ln2ln20(1+ex)2d(1+ex)=1-3(1+ex)3 =e1xdx1(x2+1)exdxdx+c0 =e-lnx(x2+1)elnxdx+c =111913(1+eln2)3-(1+1)3=3(1+2)3-23=33 =x(x+x)dx+c或ln2x2x1x3ln19 (1+e)d(1+e)=(1+e)20=11412 0 3-3 =xx+x+c2e1+5lnx421xdx 解 即通解y=131c1e4x+2x+ 51(1+5lnx)d(1+5lxn)=1
